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专题+导函数的综合题--讲义


题一题面: 曲线 y =

x 与曲线 y =alnx 相切的定义如下:

1.两条曲线有公共点; 2.在公共点处有公切线。称这样的公共点为切点。 (1)求曲线 y =

x 与曲线 y =alnx 的切点; x ,g (x) = alnx,

(2)设 h(x)= f (x) ?g (x),其中 f (x)=

记 P(a)为 h (x)的最小值,变化 a,求 P(a)的最大值。

题二题面: f (x) =

1 2 x ?ax +(a?1)lnx (a>1), 2

(1)讨论 f (x)的单调情况; (2)设 1<a<5,对 ? x1,x2∈(0,+ ? ),x1≠x2。 求证:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) >?1. x1 ? x2

题三题面: f (x) = (x?a)2lnx, (1)求 a 使 x =e 是 f (x)的极值点; (2)对 ? x∈(0,3e],都有 f (x)≤ 4e2,求 a 的取值范围。

讲义详解
题一答案:(1)(e 2,e) (2)1. 题二答案: (1)当 1<a<2 时,函数 f (x)在(0,a?1],[1,+ ? )上单调递增, 在[a?1,1]上单调递减;当 a=2 时,f (x)在(0,+ ? )上单调递增;当 a>2 时, f (x)在(0,1],[a?1,+ ? )上单调递增,在[1,a?1]上单调递减。

(2)证明略。 题三答案: (1)e 或 3e (2)a∈ [3e ?

2e ,3e] . ln 3e

课后练习
题一题面:已知函数 f ( x) ? mx3 ? 2nx2 ? 12 x 的减区间是 (?2, 2) . ⑴试求 m、n 的值; ⑵求过点 A(1, ? 11) 且与曲线 y ? f ( x) 相切的切线方程; ⑶过点 A(1,t)是否存在与曲线 y ? f ( x) 相切的 3 条切线?若存在求实数 t 的取值范围;若 不存在,请说明理由.

题二题面:已知函数 f ( x) ? (a ? 1)ln x ? ax2 ? 1. (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)设 a ? ?2 ,证明:对任意 x1 , x2 ? (0, ??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | x1 ? x2 | .

题三题面:设函数 f ( x) ? (Ⅰ)讨论函数 h( x ) ?

a ? x ln x , g ( x) ? x3 ? x2 ? 3 . x

f ( x) 的单调性; x

(Ⅱ)如果存在 x1 , x2 ?[0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,求满足上述条件的 第 -1- 页

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最大整数 M ; (Ⅲ)如果对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f (s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围.

1 2

课后练习详解
题一答案: (1)m=1,n=0; (2)9 x ? y ? 2 ? 0 或 45 x ? 4 y ? 1 ? 0 ; (3)存在,?12 ? t ? ?11 . 详解:⑴ 由题意知:f ′(x) ? 3mx2 ? 4nx ? 12 ? 0 的解集为 (?2, 2) , 所以,?2 和 2 为方程 3mx2 ? 4nx ? 12 ? 0 的根, 由韦达定理知

0??

4n ?12 ,即 m=1,n=0. , ?4? 3m 3m

3 2 ⑵ ∵ f ( x) ? x ? 12 x ,∴ f ?( x) ? 3x ?12 ,∵ f (1) ? 13 ?12 ?1 ? ?11

当 A 为切点时,切线的斜率 k ? f ?(1) ? 3 ? 12 ? ?9 , ∴切线为 y ? 11 ? ?9( x ? 1) ,即 9 x ? y ? 2 ? 0 ;
2 当 A 不为切点时,设切点为 P( x0 , f ( x0 )) ,这时切线的斜率是 k ? f ?( x0 ) ? 3x0 ?12 ,
2 3 切线方程为 y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ,即 y ? 3( x0 ? 4) x ? 2 x0
2 3 因为过点 A(1,-11) , ?11 ? 3( x0 , ? 4) ? 2x0

3 2 ? 3x0 ? 1 ? 0, ( x0 ?1) (2 x0 ? 1) ? 0 , ∴ 2 x0

2

1 1 47 ), ,而 x0 ? 1 为 A 点,即另一个切点为 P (? , 2 2 8 1 1 45 ∴ k ? f ?(? ) ? 3 ? ? 12 ? ? , 2 4 4 45 ( x ? 1) ,即 45x ? 4 y ? 1 ? 0 切线方程为 y ? 11 ? ? 4
∴ x0 ? 1 或 x0 ? ? 所以,过点 A(1, ? 11) 的切线为 9 x ? y ? 2 ? 0 或 45 x ? 4 y ? 1 ? 0 . 第 -2- 页

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⑶ 存在满足条件的三条切线. 设点 P( x0 , f ( x0 )) 是曲线 f ( x) ? x3 ? 12 x 的切点, 则在 P 点处的切线的方程为

y ? f( 0 x ) ? ?f ( 0x ) ( ? x

0

2 3 即 x ) y ? 3( x0 ? 4) x ? 2 x0

2 3 3 2 因为其过点 A(1,t) ,所以, t ? 3( x0 ? 4) ? 2 x0 ? ?2 x0 ? 3x0 ? 12 ,

由于有三条切线,所以方程应有 3 个实根, 设 g ( x) ? 2 x3 ? 3x 2 ? t ? 12 ,只要使曲线有 3 个零点即可. 设 g ?( x) ? 6 x 2 ? 6 x =0, ∴ x ? 0或x ? 1 分别为 g ( x) 的极值点, 当 x ? (??,0)和(1, ??) 时 g ?( x) ? 0 , g ( x ) 在 (??,0) 和 (1, ??) 上单调递增, 当 x ? (0,1) 时 g ?( x) ? 0 , g ( x ) 在 (0,1) 上单调递减, 所以, x ? 0 为极大值点, x ? 1 为极小值点.

? g (0) ? 0 ?t ? 12 ? 0 所以要使曲线与 x 轴有 3 个交 点,当且仅当 ? 即? , ? g (1) ? 0 ?t ? 11 ? 0
解得 ?12 ? t ? ?11 . 题二答案:省略 详解:(Ⅰ) f (x)的定义域为(0,+ ? ), f ?( x) ?

a ?1 2ax 2 ? a ? 1 ? 2ax ? . x x

当 a ≥ 0 时, f ?( x ) >0,故 f (x)在(0,+ ? )上单调递增; 当 a ≤-1 时, f ?( x ) <0, 故 f (x)在(0,+ ? )上单调递减; 当-1<a<0 时,令 f ?( x ) =0,解得 x= ?

a ?1 .当 x∈(0, 2a ?

?

a ?1 )时, f ?( x ) >0; 2a

x∈( ?

a ?1 ,+ ? )时, f ?( x ) <0, 故 f (x)在(0, 2a

a ?1 )单调递增,在 2a

( ?

a ?1 ,+ ? )单调递减. 2a

(Ⅱ)不妨假设 x1 ≥ x2.由于 a ≤-2,故 f (x)在(0,+ ? )单调递减.

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所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 等价于

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4x1 ? 4x2 即 f ( x2 ) ? 4x2 ? f ( x1 ) ? 4x1
令 g ( x) ? f ( x) ? 4x ,则

g ?( x) ?

a ?1 2ax 2 ? 4 x ? a ? 1 ? 2ax +4= . x x

于是 g ?( x ) ≤

?4 x 2 ? 4 x ? 1 ?(2 x ? 1) 2 = ≤0. x x

从而 g ( x) 在(0,+ ? )单调递减,故 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , 故对任意 x1,x2∈(0,+ ? ) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 . 题三答案: (1)省略; (2) M ? 4 ; (3) a ? 1 . 详解:(Ⅰ) h( x) ?

a 2a 1 x 2 ? 2a , , ? ln x ? h ( x ) ? ? ? ? x x2 x3 x3

( x) ? 0 ,函数 h( x)在(0,??)上单调递增 ① a ? 0,h?
② a ? 0 , h? (x) ? 0, x ?

2a ,函数 h( x)的单调递增区间为( 2a ,??)

h? (x) ? 0,0 ? x ?

2a ,函数 h( x)的单调递减区间为(0, 2a )

(Ⅱ)存在 x1 , x2 ?[0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立 等价于: [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? M ,
2 考察 g ( x) ? x3 ? x2 ? 3 , g '( x) ? 3 x ? 2 x ? 3 x( x ? ) ,

2 3

x
g '( x )

0

2 (0, ) 3

2 3

2 ( , 2] 3

2

0
极(最) 小值 ?3

?
递减

0
极(最)小 值 ? 85

?
递增

g ( x)

1

27

2 85 由上表可知: g ( x) min ? g ( ) ? ? , g ( x) max ? g (2) ? 1 , 3 27

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[ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? g ( x) max ? g ( x) min ?
所以满足条件的最大整数 M ? 4 ; (Ⅲ)当 x ? [ , 2] 时, f ( x) ?

112 , 27

1 2

a ? x ln x ? 1 恒成立 x

等价于 a ? x ? x 2 ln x 恒成立, 记 h( x) ? x ? x2 ln x ,所以 a ≥h ( x )max

h '( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x ,

h '(1) ? 0 .

记 h '( x) ? (1 ? x) ? 2ln x , x ? [ ,1) , 1 ? x ? 0, x ln x ? 0, h '( x) ? 0 即函数 h( x) ? x ? x2 ln x 在区间 [ ,1) 上单调递增, 记 h '( x) ? (1 ? x) ? 2ln x , x ? (1, 2] , 1 ? x ? 0, x ln x ? 0, h '( x) ? 0 即函数 h( x) ? x ? x2 ln x 在区间 (1, 2] 上单调递减,

1 2

1 2

x ? 1, h( x) 取到极大值也是最大值 h(1) ? 1
所以 a ? 1 另解: m( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x , m '( x) ? ?3 ? 2ln x , 由于 x ? [ , 2] , m '( x) ? ?3 ? 2ln x ? 0 , 所以 m( x) ? h '( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x 在 [ , 2] 上单调递减, 当 x ? [ ,1) 时, h '( x) ? 0 , x ? (1, 2] 时, h '( x) ? 0 , 即函数 h( x) ? x ? x2 ln x 在区间 [ ,1) 上单调递增, 在区间 (1, 2] 上单调递减, 所以 h( x)max ? h(1) ? 1,所以 a ? 1 . 题一题面:已知点 P 为曲线 y =x2 与 y =alnx(a ≠0)的公共点,且两条曲线在点 P 处的 切线重合,则 a = .

1 2

1 2

1 2

1 2

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题二题面:已知函数 f ( x) ? 函数 f ( x) 的单调性.

1 2 x ? m ln x ? (m ? 1) x , m ? R .当 m ? 0 时,讨论 2

题三题面:设函数 f ( x) ? ( x ? a)2 x, a ? R . (Ⅰ)若 x ? 1 为函数 y ? f ( x) 的极值点,求实数 a ; (Ⅱ)求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x ∈ (??, 2] ,恒有 f ( x) ≤4 成立.

课后练习详解
题一答案:2e. 详解:设 f(x)=x2 与 g(x)=alnx 在公共点(x0,y0)处的切线相同. f ′(x)=2x, g ' ( x ) ?

a . x

由题意知 f(x0)=g(x0),f ′(x0)=g ′(x0)

a ? ?2 x0 ? x 即? ,解得 a =2e.故答案为:2e. 0 ? x 2 ? a ln x 0 ? 0
题二答案:省略

m x 2 ? (m ? 1) x ? m ( x ? 1)( x ? m) ? 详解:∵ f ?( x) ? x ? ? (m ? 1) ? , x x x
∴(1)当 ?1 ? m ? 0 时,若 x ? ? 0, ?m?时, f ?( x) ? 0, f ( x) 为增函数;

x ? ? ?m,1?时, f ?( x) ? 0, f ( x) 为减函数; x ??1, ???时, f ?( x) ? 0, f ( x) 为增函数.
(2)当 m ? ?1 时,若 x ? ? 0,1?时, f ?( x) ? 0, f ( x) 为增函数;

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x ??1, ?m?时, f ?( x) ? 0, f ( x) 为减函数; x ? ? ?m, ???时, f ?( x) ? 0, f ( x) 为增函数.
题三答案: (1) a ? 1 或 a ? 3 ; (2) 2 ? 2 ? a ? 3 详解:(Ⅰ)

f ?( x) ? ( x ? a)(3x ? a)

f ?(1) ? (1 ? a)(3 ? a) ? 0

a ? 1 或 a ? 3 ,检验知符合题意
(Ⅱ) ( x ? a)2 x ? 4 在 x ∈ (??, 2] 时恒成立 当 x ? 0 时,显然恒成立 当 0 ? x ? 2时
2 由 ( x ? a) x ? 4 得 a ? x ?

2 x

在 x ∈ (0, 2] 时恒成立

x?

2 2 在 x ∈ (0, 2] 时恒成立 ? a ? x? x x

令 g ( x) ? x ?

2 2 , h( x ) ? x ? , x ? (0, 2] , x x
在 (0, 2] 单调递增 ∴ g ( x)max ? g (2) ? 2 ? 2

g ( x) ? x ?

2 x

h?( x) ? 1 ?

1 x x

?

x x ?1 x x

0 ? x ? 1 时, h( x) 单调递减 , 1 ? x ? 2 时 h( x) 单调递增
∴ h( x) min ? h(1) ? 3 ∴2? 2 ? a ? 3

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