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高二数学寒假试题


高二数学
一、单项选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1 .命题“对任意 x ? R ,都有 x ? 0 ”的否定为(
2


2

A.对任意 x ? R ,都有 x ? 0
2

B.不存在 x ? R ,都有 x ? 0 D.存在

C.存在

x0 ? R ,使得 x02 ? 0
”是“ 且

x0 ? R ,使得 x02 ? 0


2.“

”的 (

A. 必要不充分条件 C. 充分必要条件

B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. f ( x) ? A cos(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? R) ,则“ f ( x) 是奇函数”是 ? ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )
2

?
2

的(



4. 如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式成立的是( A.

1 1 ? a b

B. ab ? b

2

C. ?ab ? ?a

D. ? )

1 1 ?? a b

5. 在数列 ?an ? 中, a1 = 1 , an+ 1 = 3an ,则 a4 的值是( A.9 B.10 C.27

D.81 )

6. 在等差数列 ?an ? 中,已知 a5 ? 15 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 的值为( A. 30 7.等比数列 A. 10
2

B. 45

C. 60 )

D. 120

?an ?中,已知 a4 ? 5 ,则 a3 a5 =(
B. 25 ) C. 50

D.75

8.不等式 3 ? 5 x ? 2 x ? 0 的解集是( A. {x | x ? 3 或 x ? ? } 9. 不等式

1 2

B. {x | ?

1 ? x ? 3} 2


C. {x | x ? 3 或 x ? ? }

1 2

D.R

x ( x ? 2) ? 0 的解集为( x?3

A. {x | x ? ?2, 或0 ? x ? 3} C. {x | x ? ?2, 或x ? 0}

B. {x | ?2 ? x ? 2, 或x ? 3} D. {x | x ? 0, 或x ? 3}

x2 y 2 ? ? 1 的焦点到渐近线的距离为( 10. 双曲线 4 12
1



A. 2 3

B. 2

C.

3

D. 1 )

11.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( A.

4 5

B.

3 5


C.

2 5

D.

1 5

12.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三角 形,则椭圆的离心率是(

A.

2 2

B.

2 ?1 2

C. 2 ? 2

D. 2 ? 1

二、填空题(每题 5 分,共 20 分. )
13. 设 x, y 满足约束条件:

? x ? y ? 1, ? ? y ? x, ? y ? 0, ?

则 z ? 2 x ? y 的最大值是

.

14. 已知 x, y ? R ? ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为 _____

4 的值域为 . x ?1 1 16. 已知椭圆的中心在原点,离心率 e ? ,且它的一个焦点与抛物线 y 2 ? ?4 x 的焦点重合, 2
15. 已知 x ? ?1 ,则函数 y ? x ? 则此椭圆方程为___________.

三、解答题:(本大题共 70 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。)
17. 设 a ? 0, b ? 0, 且a ? b ? 1 。 (1)求 a ? b 的最大值; (2)求

2 8 ? a b

的最小值。

2

18. △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? 且 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b 。

? . 3

19. 设锐角三角形 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 b= 2a sin B (1)求 A 的大小; (2)若 b ? 6, c ? 3 ? 1 ,求 a 。

20.已知等差数列 ?

an ?

满足:

a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 Sn .

(1)求 an 及 Sn ;

bn ?
(2)令

1 an ? 1
2

( n ? N ),求数列 ?
?

bn ?

的前 n 项和 Tn .

3

3 x2 y 2 21. 设椭圆 C: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点(0,4) ,离心率为 5 a b
(1)求 C 的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为

4 的直线 l 被椭圆 C 所截线段的中点坐标。 5

x2 ? y2 ? 1 xOy (0 , 2) k l 22.直角坐标系 中,经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 2 有两个不同的交点 P 和 Q .
(1)求斜率 k 的取值范围; (2) 设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A,B , 是否存在常数 k , 使得向量 OP ? OQ 与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.

4


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