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基本不等式的应用(第二课时)


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均值不等式及其变形. ①a2+b2≥2ab(a、b ∈R)

?ab ? a ? b ? 2 变形 ??? ?? 2 2 ?( a ? b ) 2 ? a ? b ? 2 2
2 2

②a,b∈R+时,a+b≥2

2 a ? b ab ?? ?? ab ? ( ) 2 变形

最值求法:
? 若xy为定值,则x+y有最小值,当且仅当 x=y时,“=”成立。 ? 若x+y为定值,则xy有最大值,当且仅当 x=y时,“=”成立。
? 口诀:

一正,二定,三相等

? ? ? ? ? ? ?

一、学习目标: 1、理解利用基本不等式求最值的原理 2、掌握利用基本不等式求最值的条件 3、会用基本不等式解决简单的最值问题 二、学习重点与难点: 重点:运用基本不等式求最值 难点:利用基本不等式求最值满足的条件

1 例1、若x ? 0, 求f ( x) ? x ? 的最小值。 x 1 变式1:若x ? 0,求f ( x) ? x ? 的最大值。 x
1 变式2:若x ? 2, 求f ( x) ? x ? 的最小值。 x

反思:利用均值不等式求最值应具备三个条 件 ? 正:两项必须都是正数; ? 定:求两项和的最小值,它们的积应为定 值; 求两项积的最大值,它们的和应为定 值。 ? 等 : 等号成立的条件必须存在. 简单概括就是三个字:正、定、等

1 例2、若x ? 1, 求f ( x) ? x ? 的最小值。 x ?1
5 1 变式1:若x ? , 求f ( x) ? 4 x ? 的最大值。 4 4x ? 5

4 变式2:求 ? a(a ? 2)的取值范围。 a?2

例3、若0 ? x ? 1, 求y ? x(1 ? x)的最大值.

1 变式:若0 ? x ? ,求y ? x(1 ? 2 x)的最大值 2

y 例4、已知x ? 0, y ? 0, 满足x ? ?1 2
2

2

求x 1 ? y 的最大值。
2

小结: 本节课我们主要学习了利用均值 不等式求函数最值:
1、应注意与均值不等式使用条件(一正二 定三相等) 2、在利用均值不等式时,我们常要进行 “拆” 或“凑”项处理

? ?

谢谢指导 再见


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