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高中数学第一章计数原理1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质练习(含解析)2_3

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1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
一、选择题 1.(x-y) 的展开式中,系数绝对值最大的是( A.第 4 项 【答案】 B 【解析】 (x-y) 的展开式,当 n 为偶数时,展开式共有 n+1 项,中间一项的二项式系数最大;当 n 为奇 数时,展开式有 n+1 项,中间两项的二项式系数最大,而(x-y) 的展开式中,系数绝对值最大的是中间两 项,即第 4、5 两项.
7 7

) D.第 3、4 两项

B.第 4、5 两项

C.第 5 项

n

? 3 1 ?n 2.若?x + 2? 展开式中的第 6 项的系数最大,则不含 x 的项等于( x ? ?
A.210 【答案】 A 【解析】 由已知得,第 6 项应为中间项,则 n=10. Tr+1=C10·(x )
r
3 10-r

)

B.120

C.461

D.416

? 1 ?r r 30-5r ·? 2? =C10·x . ?x ?
6

令 30-5r=0,得 r=6.∴T7=C10=210. 3.设(1+x) =a0+a1x+…+a8x ,则 a0,a1,…,a8 中奇数的个数为( A. 2 【答案】 A 【解析】 ∵a0=a8=C8=1,a1=a7=C8=8,a2=a6=C8=28,a3=a5=C8=56,a4=C8=70,∴奇数的个数是 2,故选 A. 4.设 n 为自然 数,则 Cn2 -Cn2 A. 2
n
0 n 1 n-1 0 1 2 3 4 8 8

)

B.3

C.4

D.5

+…+(-1) Cn2

k k n-k

+…+(-1) Cn=(

n n

)

B.0

C.-1

D.1

【答案】 D 【解析】 原式=(2-1) =1,故选 D.
n

? 2 2?8 4 5.?x + ? 的展开式中 x 项的系数是( ?
x?
A.16 【答案】 D 【解析】 考查二项式定理的展开式. ]设第 r+1 项含有 x ,则 Tr+1=C8(x )
4 4

) D.1120

B.70

C.560

r

2 8-r

(2x ) =C8·2 ·x
4 4

-1 r

r

r

16-3r



∴16-3r=4,即 r=4,所以 x 项的系数为 C82 =1120. 6.(2- x) 展开式中不含 ..x 项的系数的和为(
8 4

)
1

A.-1 【答案】 B

B.0

C.1

D.2

【解析】 (2- x) 的通项式为 Tr+1=C82
8 4

8

r 8-r

(- x) =(-1) ·2

r

r

8-r r 8 2

r

C x ,则 x 项的系数为 1,展开式中所有

4

项的系数之和为(2- 1) =1,故不含 x 项的系数之和为 0,故选 B. 二、填空题

? 2 1 ?n 7. 若?x + 3? 展开式的各项系数之和为 32, 则 n=________, 其展开式中的常数项为________(用数字作答). x ? ?
【答案】 5 10 【解析】 令 x=1,得 2 =32,得 n=5,则 Tr+1=C5·(x ) 数项为 T3=10. 8.将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,得到如图所示的 0—1 三角数表.从上往下数,第 1 次全行的 数都为 1 的是第 1 行,第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行,…,第 n 次全行的数都为 1 的是第______行; 第 61 行中 1 的个数是______.
n r
2 5-r

? 1 ?r r 10-5r,令 10-5r=0,r=2.故常 ·? 3? =C5·x ?x ?

【答案】 2

n-1

32

【解析】 用不完全归纳法,猜想得出. 三、解答题 9.设(1-2x)
2010

=a0+a1x+a2x +…+a2010x

2

2010

(x∈R).

(1)求 a0+a1+a2+…+a2010 的值. (2)求 a1+a3+a5+…+a2009 的值. (3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2010|的值. 【解析】 (1)令 x=1,得:a0+a1+a2+…+a2010=(-1) (2)令 x=-1,得:a0-a1+a2-…+a2010=3
2010 2010

=1①


2010

与①式联立,①-②得:2(a1+a3+…+a2009)=1-3 1-3 ∴a1+a3+a5+…+a2009= 2 (3)∵Tr+1=C2010·1
* 2010



.
r r r r

r

2010-r

·(-2x) =(-1) ·C2010·(2x) ,
*

∴a2k-1<0(k∈N ),a2k>0(k∈N ). ∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2010|=a0-a1+a2-a3+…+a2010, 所以令 x=-1 得:a0-a1+a2-a3+…+a2010=3
2010

.

2

10.求(1+x-2x ) 展开式中含 x 的项. 【解析】 方法一:(1+x-2x ) =[1+(x-2x )] , 则 Tr+1=C5·(x-2x ) ·(x-2x ) 展开式中第 k+1 项为 Tk+1=Crx 令 r+k=4,则 k=4-r. ∵0≤k≤r,0≤r≤5,且 k、r∈N, ∴?
?r=2 ? ? ?k=2
r
2 r 2 r 2 5 2 5

2 5

4

k r-k

·(-2x ) =(-2) ·Cr·x

2 k

k

k

x+k

.

或?

?r=3 ? ? ?k=1
4

或?

?r=4 ? ? ?k=0
2

.
2 2 3 1 4 0 0 4 4

∴展开式中含 x 的项为[C5·(-2) ·C2+C5·(-2)·C3+C5·(-2) ·C4]·x =-15x . 方法二:(1+x-2x ) =(1-x) ·(1+2x) , 则展开式中含 x 的项为 C 5 ·C 5 ·(2x) + C 5 ·( - x)·C 5 ·(2x) + C 5 ·( - x) ·C 5 (2x) + C 5 ·( - x) ·C 5 ·(2x) + C 5 ·( -
0 4 x)4·C0 5·(2x) =-15x . 0 4 4 1 3 3 2 2 2 2 3 3 1 4 4 2 5 5 5

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