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基本不等式题型和例题


基本不等式题型
基础题型一:指数类最值的求法 1. 已知 a ? b ? 3 ,求 3a ? 3b 的最小值。 变式 1.已知 a ? 2b ? 3 ,求 3a ? 9b 的最小值。
1 的最小值。 3y 1 变式 3.已知 x ? 2 y ? ?3 ,求 2 x ? y 的最小值。 4 1 1 变式 4.已知点 ( x, y ) 在直线 y ? x ? 1 上,求 3x ? y 的最小值。 2 9

变式 2.已知 x ? y ? 2 ,求 3x ?

基础题型二:对数类最值的求法 2. 已知 x ? 0, y ? 0 ,且 2 x ? y ? 4 ,求 log 2 x ? log 2 y 的最大值。 变式 1.已知 x ? 0, y ? 0 ,且 x ? 2 y ? 4 ,求 log 1 x ? log 1 3 y 的最小值。
2 2

变式 2.已知点 ( x, y ) 是圆 x2 ? y 2 ? 6 在第一象限内的任一点,求 log 3 x ? log 能力题型一:常数变形(加或减去某个常数使两个因式的积为常数) 1 1. 已知 x ? 2 ,求 f ( x) ? x ? 1 ? 的最小值。 x?2 4 变式 1.已知 x ? 3 ,求 f ( x) ? 2 x ? 3 ? 的最小值。 x?2 4 变式 2.已知 x ? 1 ,求 f ( x) ? 2 x ? 的最大值。 x ?1 能力题型二:代换变形(把整式乘到分式中去以便于用基本不等式)
2 1 1. 已知 x ? 0, y ? 0 ,且 x ? 2 y ? 1 ,求 ? 的最小值。 x y 2 3 2. 变式 1.已知 x ? 0, y ? 0 ,且 2 x ? y ? 3 ,求 ? 的最小值。 x y 1 2 变式 2.已知 x ? 0, y ? 0 ,且 x ? 3 y ? ?2 ,求 ? 的最大值。 x y

3

y 的最大值。

能力题型三:指数与系数的变形(调整字母的系数和指数) 1. 已知 x ? 0, y ? 0 ,且 2 x2 ? y 2 ? 1 ,求 x 1 ? 2 y 2 的最大值。
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变式 1.已知 x ? 0, y ? 0 ,且 x2 ? 2 y 2 ? 3 ,求 2 x 1 ? y 2 的最大值。 变式 2.已知 a ? 0, b ? 0 ,且 a 2 ? b 2 ? 3 ,求 ?a 1 ? 2b2 的最小值。 能力题型四:对勾函数及其应用 1 1 【对勾函数】 y ? x ? ,由 x ? 得顶点的横坐标为 x ? ?1 。 x x
y ? ax ? b b b ,由 ax ? 得顶点的横坐标为 x ? ? 。 x x a b b b b ? a( x ? 1) ? ? a ,由 a( x ? 1) ? 得顶点的横坐标为 x ? 1 ? 。 x ?1 x ?1 x ?1 a

y ? ax ?

2 ( x ? [1, 4]) 的值域。 x 2 ( x ? [?2, ?1]) 的值域。 变式 1.求 y ? x ? x 2 ( x ? [2, 4]) 的值域。 变式 2.求 y ? 3 x ? x 4 ( x ? 2) 的值域。 例 2.求 y ? x ? x ?1

例 1.求 y ? x ?

变式 1.求 y ? 2 x ?

1 ( x ? 3) 的值域。 x?2

变式 2.求 y ? x ?

2 ( x ? ?2) 的值域。 x ?1 4 ? (0 ? x ? ) 的值域。 sin x 2 4 (0 ? x ? ? ) 的值域。 sin x ? 1 2 (0 ? x ? ? ) 的值域。 cos x ? 1

例 3.求 y ? sin x ?

变式 1.求 y ? sin x ?

变式 2.求 y ? cos x ?

基本不等式例题

例 1.已知

, 且

,求

的最小值及相应的
第 2 页 共 3 页

值.

例 2.

的最小值为________。

例 3.已知 ( )





成等差数列,

成等比数列,则

的最小值是

例 4 .函数

的图象恒过定点

,若点

在直线

上,则

的最小值为_________.

例 5. 若

,则

的最小值是( )

例 6.下列各函数中,最小值为 2 的是( )

A

B.

C.

D.

例 7(1)已知 x ?

5 1 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 的最大值. 4 4x ? 5 2 4 2 2 (2)求函数 y ? x ? 2 的最小值求 y ? 4 ? x ? 2 的最大值. x ?1 x ?2
,则 , ,且 的最大值为 . 求 的最大值及相应的 的值

练习. 设 例 8.已知

例 9 若 x,y 是正数,则 ( x ?

1 2 1 ) ? ( y ? ) 2 的最小值是 2y 2x
2 2

练习:已知实数 x,y 满足 x+y-1=0,则 x +y 的最小值 例 10.若实数 a、b 满足 a+b=2,是 3a+3b 的最小值是 基本不等式证明 例 已知 a,b 为正数,求证:

a b

?

b a

≥ a? b.



实际应用:某单位用木材制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为 x y(单位:m)的矩形,上部是等 腰直角三角形,要使框架围成的总面积为 8 m ,问 x y 分别为多少时用料最省?
2

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