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广东省高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数练习新人教A版必修1


2.3 1.幂函数的定义 α 幂函数 形如 y=x (α ∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常数.对于幂函数,只讨论 1 α =1,2,3, ,-1 时的情形. 2 2.五种幂函数的图象 3.五种幂函数的性质 函数性质 y=x R y=x2 R y=x3 R y=x 1 2 y=x-1 (-∞,0)∪(0, +∞) (-∞,0)∪(0, +∞) 奇 定义域 [0,+∞) 值域 奇偶性 R 奇 [0,+∞) 偶 R 奇 [0,+∞) 非奇非偶 x∈[0,+∞)时, 单调性 增 增;x∈(-∞,0] 时,减 增 增 x∈(0,+∞)时, 减;x∈(-∞,0) 时,减 幂函数图象的规律 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限, 一定不会出现在第四象限, 至于是否出现在第二、 三象限,要看函数的奇偶性; (2)幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内; (3)如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点; (4)当 α 为奇数时,幂函数的图象关于原点对称;当 α 为偶数时,幂函数的图象关于 y 轴 对称. 1 (2017·杭州模拟)已知函数 h(x)=(m -5m+1)x (1)求 m 的值; 2 m+1 为幂函数,且为奇函数. ? 1? (2)求函数 g(x)=h(x)+ 1-2h?x?,x∈?0, ?的值域. ? 2? ? ? 1 1 α 1.设 α ∈?-2,-1,- , ,1,2?,则使 f(x)=x 为奇函数,且在(0,+∞)上单调递 2 2 ? ? 减的 α 的值的个数是( A.1 C.3 α ) B. 2 D. 4 α 解析:选 A 由 f(x)=x 在(0,+∞)上单调递减,可知 α <0.又因为 f(x)=x 为奇函数, 所以 α 只能取-1. 2.若幂函数 y=(m -3m+3)·xm -m-2 的图象不过原点,则 m 的取值是( A.-1≤m≤2 C.m=2 2 2 2 ) B.m=1 或 m=2 D.m=1 解析:选 B 由幂函数性质可知 m -3m+3=1,∴m=1 或 m=2.又幂函数图象不过原点,∴ m2-m-2≤0,即-1≤m≤2,∴m=1 或 m=2. ?3? ?2? ?2? 3. (1)设 a=? ? 5 ,b=? ? 5 ,c=? ? 5 ,则 a,b,c 的大小关系是________. 5 5 ? ? ? ? ?5? (2)若(a+1) - 1 3 2 3 2 <(3-2a) - 1 3 ,则实数 a 的取值范围是________. 2 1.已知函数 f(x)=(m -m-1)x 2 m 2+m-3 是幂函数,且 x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,则 m 的值为( A.-1 C.-1 或 2 ) B. 2 D. 3 2 解析:选 B ∵函数 f(x)=(m -m-1)x m 2+m-3 是幂函数,∴m -m-1=1,解得 m=-1 或 2 m=2.又∵函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴m2+m-3>0,∴m=2. 2.图中 C1,C2,C3 为三个幂函数 y=x 在第一象限内的图象,则解析式中指数 k 的值依次可 以是( ) k 1 A.-1, ,3 2 1 C. ,-1,3 2 解析:选 A 根据幂函数图象的规律知,选 A. 1 B.-1,3, 2 1 D. ,3,-1 2 3. (2017·昆明模拟)已知幂函数 f(x)=(n +2n-2)xn -3n(n∈Z)的图象关于

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