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正弦定理第二课时演示文稿2


第一章:解三角形

全椒慈济中学高一数学备课组

一、展示目标
1、知识目标 (1)使同学们能应用正弦定理解斜三角形 (2)在已知两边及一边对角解三角形时能 正确掌握解的个数 2、能力目标 培养同学们分析归纳的能力、分析问题 解决问题的能力

二、复习回顾:
(1)解三角形常用公式:

A? B ?C ? ?

三角形面积公式:S?ABC
正弦定理:

1 1 1 ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2


a b c ? ? sin A sin B sin C

2R

(2)正弦定理应用范围:
① 已知两角和任意边,求其他两边和一角

② 已知两边和其中一边的对角,求另一边

的对角。(注意解的情况)

(3)、正弦定理的变形形式

⑴a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC ⑵a:b:c=sinA:sinB:sinC
(4)在?ABC中,a ? b ? A ? B ? sin A ? sin B.

(5)、正弦定理,可以用来判断三角 形的形状,其主要功能是实现三角形边 角关系的转化

三、新课(正弦定理应用之二):

问题:
已知两边和其中一边的对角,求其 他边和角时,三角形什么情况下有 一解,二解,无解?

两边和其中一边的对角(已知a,b和∠A) 解三角形时解的情况: ⑴若A为锐角时:
?a ? b sin A    无 解 ? ?a ? b sin A    一 解 ? ?b sin A ? a ? b  两 解 ? ?a ? b        一 解

C

C

C a b a A
B1

b
A

a
A H

b

b
a H
B2

C

a
B

B

A

H

a<bsinA 无解

a=bsinA 一解

bsinA<a<b 两解

a>=b 一解

两边和其中一边的对角解三角形时解的情况:
?a ? b    无 解 ⑵若A为直角或钝角时: ? ?a ? b    一 解

C

a
b A

C

a b
A

a ? b 无解

a ? b 一解

已知两边和其中一对角时,三角形解 的个数分布表(如已知a,b,角A)

例 1 已知a=16, b= 16 3 , A=30° . 求角B,C和边c
a b ? 解:由正弦定理 sin A sin B
b sin A 16 3 sin 30? 3 得 sin B ? ? ? a 16 2
16 3
300

C
16 16

所以 B=60°, 或B=120° 当 B=60°时 C=90°

A

B

B

c ? 32.
a sin C c? ? 16 . sin A

当B=120°时

C=30°

变式: a=30, b=26, A=30°求角B,C和边c
a b 解:由正弦定理 ? sin A sin B b sin A 26 sin 30? 13 A 得 sin B ? ? ? a 30 30
C
26
300

30

B

所以 B=25.70,

或B=1800-25.70=154.30
故B只有一解 (如图)

由于154.30 +300>1800 C=124.30,

a sin C c? ? 49.57 sin A

例2、判断下列三角形解的情况: (1)已知 b ? 11, c ? 12, B ? 60 0 (2)已知 (3)已知

a ? 7, b ? 3, A ? 110

0

b ? 6, c ? 9, B ? 45

0

小练习
(1)在ΔABC中,已知a = 2 2, b = 2 3,A = 45 0 ,

60 或120 则B = _________
30。 则B = ________





有两解
0

(2)在ΔABC中,已知a = 2 6,b = 2 3,A = 45 ,
有一解

(3)在ΔABC中,已知a = 2 2,b = 2 3,A = 1200 , 无解 无解 则B = _______

(4)下列判断中正确的是(B ) A.a ? 7,b ? 14,A ? 30?,有两解 B.a ? 30,b ? 25,A ? 150?,有一解 C.a ? 6,b ? 9,A ? 45?, 有两解 D.b ? 9,c ? 10,B ? 60?,无解
当堂巩固:(见学案或教案)

归纳总结: 已知两边和其中一边对角解斜三角形
有两解或一解或无解三种情况
⑴若A为锐角时: C C b A a<bsinA 无解 a b a B A b

C
a a b

C a

A

B2

B1 A

a=bsinA 一解 两解

一解
无解

一解
一解

bsinA<a<b 两解

a b 一解



B

bsinA



a

作三角形

两边和其中一边的对角解三角形时解的情况:
?a ? b    无 解 ⑵若A为直角或钝角时: ? ?a ? b    一 解

C

a
b A

C

a b
A

a ? b 无解

a ? b 一解

1、 (1)在?ABC中,已知 A ? 450 , a ? 2, b ? 2, 求B 10 3 (2)在?ABC中,已知A ? 60 , a ? 4, b ? , 求B 3
0

2、在△ABC中,已知a= 4 ,b=2 2 , A=45°,解三角形.


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