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人教版高中数学课件 第三册:二次曲线复习_图文

二次曲线小结 二次曲线小结
曹杨职校
授课 人: 陈开运

学 习 导 航 与 要 求

圆 椭圆

二次曲线小结

双曲线 双曲线
抛物线
双曲线定义的盲点 双曲线的渐近线
直线与双曲线关系

概 念 的 精 细 化

离心率分析
几种曲线定义

曲线与方程 曲线的切线

观 看 网 上 动 态 曲 线

曲 线 的 个 性 与 共 性

二次曲线发展史 技 巧 与 题 型 归 类 目标诊断题

附 录

纲要信号图表
一般二次方程的讨论

Excel作图

圆的学习要求和导航
? ?

继续
d>r相离,d=r相切,d<r相交 圆与圆关系 两圆的圆心(a1,b1),(a2,b2),两圆的半径r1,r1 两圆的圆心距 d ? ( a ? a ) ? ( b ? b )
2 1 2 1 2

学习要求:

? ? ? ? ?

? ? ? ?

掌握由圆的定义推导圆的标准方程,理 解参数 a,br的几何意义,掌握一般方程 和标准方程的互化,用圆方程解决有关 问题,解决直线与圆、圆与圆的位置关 系。 学习导航: 圆的定义与标准方程 圆的几何定义 几何量间的关系d(P,M)=r 代数等 2+(y-b)2=r2 ,a,b,r的意义。 式 (x-a) 由(x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2+Dx+Ey +F=0 且与Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0比 较,得出圆方程 A=C≠0,B=0, 2+E2-4F>0 且D x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心(-D/2,-E/2) 半径 r= D ? E4 ? 4 F 圆与直线的关系,圆心M(a,b),半径r 直线 Ax+By+C=0, d ? Aa ? Bb ? C
2 2

2

d的 范围

0

~
内含

|r1-r2|

~
相交

r1+r2
外切

d>r1+r2

位置 关系

同心

内切

外离

关于相切: (1) 过圆上一点(x0,y0) 公式法: (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 判别式法:设切线y-y0=k(x-x0)代入圆方 程,消去 y得相应x的二次方程,由 判别式Δ=0可求得 k 从而得切线。 几何法:由圆心到切线距离r确定k而得切 线。 (2)圆外一点(x0,y0)的切线可仿上述判 别式法、几何法处理。

A

2

? B

2

圆的公式 图形
圆心在原点,半径为 r
圆心在(r,0),半径为r

直角坐标方程
*

参数方程
x=rcosθ y=rsinθ

过圆上一点( x0,y0)的切线 x0x+y0y=r2
xox+yoy=r(x+xo) (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2

x2+y2=r2
x2+y2=2rx

* x=r(1+cosθ) y=rsinθ * x=a+rcosθ y=b+rsinθ

圆心在(a,b),半径为r

(x-a)2+(y-b)2=r2

圆心在(-D/2,-E/2),半 径为 D ? E ? 4 F
2 2

x2+y2+Dx+Ey+F=0
x2+y2 x x12+y12 x1 x22+y22 x2 x32+y32 x3 y 1 y1 1 y2 1 =0 y3 1

x0x+y0y+D(x+x0)/2+E(y+y0)/2 +F=0

4

*过三点A(x1,y1), B(x2,y2)C(x3,y3)的圆

**过圆 x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和 圆x2+y2+D2x+E2y+F2=0 的交点的圆

m(x2+y2+D1x+E1y+F1 )+ n(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 其中m,n不同时为零

? ? ? ? ?

?

?
? ? ?

学习要求 知道椭圆定义并推出椭圆标准方程, 理解参数a,b,c,e 的相互关系和几何意义。 能灵活应用椭圆定义、方程及性质解 决问题(椭圆作图)。 学习导航 椭圆方程的定义及参数a,b,c,(e)是椭圆 所特有的,与坐标无关。 a>b>0,c2=a2b2,(e=c/a)必须牢固掌握。 椭圆的性质(有心、封闭的曲线), 椭圆曲线的范围,掌握曲线(椭圆) 对称性的判别,与坐标轴的交点。 特别: 1.椭圆的焦点一定在长轴上, 2. a,b,c三个参数的关系是满足以 a为斜 边的 直角三角形勾股定理a2=b2+c2。 3.标准方程中a对应的变量x(或y),表 明焦点就在x轴(或y轴)。

椭圆的学习要求与导航

? ?

? ?

直线与椭圆的位置关系: 把直线与椭圆的方程组消元后 得一元二次方程,它的判别式 Δ>0直线与椭圆相交 Δ=0直线与椭圆相切 Δ <0直线与椭圆相离

标准方程 图形

椭圆的标准方程与性质
x
2

a

2

?

y

2

b

2

? 1( a ? b ? 0 )

y

2

a

2

?

x

2

b

2

? 1( a ? b ? 0 )

顶点 对称轴

(-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b) x轴y轴,长轴长2a,短轴长2b

(0,-a)(0,a)(-b,0)(b,0) x轴y轴,长轴长2a,短轴长2b (0,0) (0,-c)(0,c),焦点在y轴

对称中心 (0,0) 焦点 (-c,0)(c,0),焦点在x轴

焦距
(离心率)

|F1F2|=2c,c2=a2-b2
e=c/a

|F1F2|=2c.c2=a2-b2
e=c/a

双曲线的学习要求和学习导航
? ?

? ?

?

?

学习要求 知道双曲线的定义,理解双曲 线标准方程的参数a,b,c,e的几何 意义和相互关系,根据条件熟 练写出双曲线的标准方程,灵 活应用双曲线的定义,方程及 性质解有关问题。 学习导航 学习时,要与椭圆的标准方程 进行比较,加深这两种曲线之 间的区别和联系。 必须理解双曲线参数 a,b,c,e是双 曲线所固有的,与坐标的建立 无关。 双曲线有心但不封闭,所以存 在这样的特殊情况,直线平行

?

双曲线的渐进线但与双曲线仅 有一个交点,而并不相切。因 此,直线与双曲线只有一个交 点,是直线与双曲线相切的必 要而非充分条件。

什么时候直线与双曲线有一个交 点?两个交点?没有交点?

双曲线的标准方程与性质
标准方程 图形
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1

y a

2 2

?

x b

2 2

?1

顶点 对称轴

(-a,0) (a,0) X轴y轴,实轴2a,虚轴2b

(0,-a) (0,a) X轴y轴,实轴2a,虚轴2b

对称中心 (0,0)
焦点 (离心率) 焦距 渐进线 (-c,0) (c,0) e=c/a |F1F2|=2c c2=a2+b2 y=±bx/a

(0,0)
(0,-c) (0,c) e=c/a |F1F2|=2c c2=a2+b2 y=±ax/b

双曲线定义的三个“盲点”
? ?

?
?

? ?

双曲线定义:“平面内与两个定点 F1F2的距离之差的绝对值是常量(小 于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。” 定义内有三个盲点:“小于|F1F2|”, “绝对值”,“常数”,稍有不慎, 就回出错。 盲点1:“小于|F1F2|” 将“小于|F1F2|”改成“大于|F1F2|”, 经过演示,点的轨迹不存在。将 “小于|F1F2|”改成“等于|F1F2|”,经 过演示,点的轨迹不再是双曲线, 而是以F1F2为起点的两条射线。 盲点2: “绝对值” 若将“绝对值”去掉,经过演示点 的轨迹不再是两支曲线,只有一支, 即左支或右支。

? ?

? ?

盲点3 :“常数” 若常数等于零,点的轨迹是什 么?经过演示,不难发现点的 轨迹是线段F1F2的中垂线。 思考题: 学习椭圆,抛物线的定义要注 意什么?

双曲线与它的渐近线
? 1 可得 y ? ? x ?a 双曲线方程 a b a 可以看出,随着 x无限变大,y也无限变大 所以双曲线是无界的,为了更好研究它无限 伸展的趋势,把上式改为 y ? ? b x 1 ? a a x a 当x无限变大时, 趋近于0 x 这时,y就渐近于±b/a x,说明当x无限增大, 双曲线愈来愈接近直线y=± b/a x, 并且不论x 有多大,在第一象限内总有:
2

x

2

?

y

2 2

b

2

2

2

2

2

2

y ?

b a

x 1?

a x

2 2

?

b a

x

说明了①在第一象限内,对同样的x渐近 线的值大于双曲线的值,②x无限增大, y1-y0 也无限趋向于0

X无限变大,双曲线无限逼近渐近线,但永远 不会相连接。 设在第一象限内取x0 ,渐近线对应y1,双曲线 b b x ? a 对应y0 ,有 y ? y ? x ?
2 2
1

0

a

0

a

0

? ?

b a b a

( x0 ? ( x0 ?

x0 a
2

2

? a

2

) ) ? 0

思考题: ①你能说说离心率e与双曲线渐近线开口 大小的关系吗? ②你能举出其他已学的函数或方程的曲 线的渐近线的例子吗?

x0

2

? a

2

抛物线的学习要求和学习导航
?
?

?
?

? ?

学习要求 掌握抛物线的定义,熟记四种标准方 程,了解 焦参数 p 的几何意义,掌 握抛物线的几何性质并能运用解决有 关问题。 学习导航 掌握抛物线的定义,推导和建立抛物 线的标准方程。用定义解题有时更简 洁,虽然抛物线只一个参数,只须一 个条件就可以求出,但有四个标准方 程,所以必须掌握它的特征和对应的 抛物线的开口方向,对称轴,焦点位 置和准线的关系。 了解二次曲线的几种定义,对提高解 题能力是有帮助的。 直线与抛物线的位置关系,特别注意 相切的情况。由于抛物线与对称轴只 一个交点,而它不是抛物线的切线,

所以直线与抛物线相切并不是直线 与抛物线只有一个公共点的充要条 件。

图形
y2=2px y=0
y2=-2px x2=2py x2=-2py

方程
对称轴

y=0

x=0

x=0 (0,-p/2) y=p/2

焦点 准线

(p/2,0) (-p/2,0) (0,p/2)
x=-p/2 x=p/2
y=-p/2

坐标平移
二次曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 通过坐标平移可以消去一次项,简化方 程的表达式。 坐标系的改变,曲线的位置形状和大小 都没有改变,点的坐标和方程也随之改 变。 坐标的平移公式:x=x’+h x’=x-h y=y’+k y’=y-k 主要题目类型: 1。已知原坐标系,新坐标原点,求一些 点和方程的在新坐标系中的表达式。 2。已知新坐标系,原坐标的原点,求一 些点和方程的在原坐标系中的表达 式。 3。二次曲线方程经过配方成完全平方式
?

?

用平移公式简化。 4。把x=x’+h , y=y’+k 代入曲线 方程,使一次项系数为0,简化 曲线方程。

你还想学点吗?
?

?

?

除了书本上二次曲线的定义外,还 有一种统一的定义:平面上,一个 动点到一个定点和一条定直线的距 离之比是一个常数,动点的轨迹叫 做圆锥曲线。这一定点叫做焦点, 定直线叫做准线,这个常数叫做离 心率。离心率小于1时叫做椭圆, 离心率大于1时叫做双曲线,离心 率等于1时叫做抛物线。 以焦点F为原点,经过焦点作准线l 的垂线为x轴,(取垂足到焦点的 方向为正方向)建立直角坐标系。 设焦点到准线的距离为p ,离心率为 e,可得到直角坐标系中圆锥曲线 的统一方程: (1-e2)x2+y2-2e2px-e2p2=0

?

圆 锥 截 线

又以焦点F为极点,经过焦点作 准线l的垂线为极轴(取垂足到 焦点的方向为正方向),建立 极坐标系,得到极坐标系中圆 锥曲线的统一方程
? ?
ep 1 ? e cos ?

思考题 1,一个动点到两个定点(-3,0) (3,0)的斜率的积为-1,这轨 迹是什么曲线? 若斜率的积为-1/4,是什么曲线? 若斜率的积为1/4,是什么曲线? 2,一个动点到两个定点(-3,0) (3,0)的距离的平方差为常 量,这轨迹是什么曲线?

你还想学点吗?---离心率概念分析
? ?

? ?

?

?

离心率是反映了二次曲线的形态及 性质的重要概念。 引入定义:椭圆的焦距2c与长轴2a 的比叫做椭圆的离心率,类似的给 出了双曲线,抛物线的离心率定义。 离心率定义 有两个要点:一个距离 与长度有序之比,e=c/a>0 离心率取值范围:椭圆:2c<2a,故 0<e<1,在双曲线:2c>2a,得 e>1,按抛 物线定义,e=1。 离心率与圆周率是几何中的两大比 率,它们的共同特点:均为两个定 量的有序之比,区别在于前者适用 于二次曲线,后者只适用于圆;e值 有相对的任意性(可变),π却具有 唯一性(无理常数)。 离心率深刻揭示了二次曲线的实质, 沟通了它们的关系。椭圆,双曲线, 抛物线三者关系密切,是同一定义

?

? ? ?

? ?

?

下的不同表现。三种曲线可统 一定义为:平面内到一定点和 一定直线的距离之比等于常数e 的动点轨迹叫二次曲线。 建立适当的坐标,轨迹上任一 点M(x,y),定点F(p,0)所以 (x ? p) ? y ? e 整理即得 x (1-e2)x2+y2-2px+p2=0当 0<e<1,e=1,e>1方程分别是椭圆, 抛物线,双曲线。 “对立统一,量变到质变” e 0椭圆 圆,e 1, 椭圆变得愈来愈扁,e=1为抛物 线,e>1为双曲线,e 增大,则 b/a= e 2 ? 1 也变大,双曲线开口 变大,反之,开口变小。 E趋 向于1时,渐近线倾斜角近于0。
2 2

圆锥曲线(圆锥截线)

点(点圆)



椭圆

双曲线

你能说出截面的 条件吗?
圆锥的顶角影响 曲线形状吗?
抛物线 圆锥曲线退化为两条直线, 一条直线

二次曲线的发展史
?

?

公元前四世纪,古希腊学者梅纳科莫斯 最早通过截割圆锥的方法得到三种不同 类型的曲线—椭圆(圆)、双曲线、抛 物线,统称圆锥曲线。许多学者继续研 究这一课题,最有成就的是生于小亚细 亚佩加城的阿波罗尼,他将自已的成果 写成八大卷的《圆锥曲线论》,成为这 一课题的经典文献。 十六世纪,著名天文学家开普勒发现行 星按椭圆形轨道运行,著名天文学家伽 里略证明了不计阻力的斜抛运动的轨迹 是抛物线。这说明了圆锥曲线并不是附 生于圆锥之上的静态曲线,而是自然界 中物体常见的运动形式。

?

?

?

1629年,法国数学家费马在《平面和立 体轨迹引论》一书中,运用斜角坐标研 究圆锥曲线,证明了圆锥曲线的方程都 是含有二个未知数且最高次幂是二次的 方程。反之,一般二元二次方程点的轨 迹是圆锥曲线。1655年,英国数学家沃 利斯在《圆锥截线论》中,干脆把圆锥 曲线叫作二次曲线。 1748年,著名数学家欧拉在《无穷小分 析引论》一文中,详细讨论了形如: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 的一般二次方程,证明经过平移、转轴 变换,任何一个二次方程可以化为椭圆 (圆)、双曲线、抛物线及它们的退化 形式,所以二次曲线就是圆锥曲线。

椭圆双曲线抛物线基本性质
椭圆 图形 标准方程 中心 顶点 轴 焦点 离心率 范围 准线
x a
2 2

双曲线

抛物线

?

y b

2 2

?1 (a>b>o)

x a

2 2

?

y b

2 2

?1

(a>0,b>0)

y2=2px
无心曲线

(0,0) 有心 封闭曲线 (±a,0),(0,±b) 对称轴:x轴,y轴 长轴:2a 短轴:2b

(0,0) (±a,0)

有心开放曲线

对称轴:x轴,y轴 实轴:2a 虚轴:2b

对称轴:x轴 F(p/2,0)

F1(-c,0) F2(c,0) |F1F2|=2c
e=c/a 0≤ e<1
c ? a ?b
2 2

F1(-c,0) F2(c,0) |F1F2|=2c
e=c/a e>1
c ? a ?b
2 2

e=1 x≥0,y∈R 开放曲线 x=-p/2

|x|≤a,|y|≤b 封闭曲线 x=±a2/c

|x|≥a. y∈R

开放曲线

x=±a2/c 渐进线 y=±bx/a

一些常用技能技巧的梳理
在巩固求曲线方程、应用曲线方程 的基础上,练习常用的技能技巧, 提高解题能力。 1. 建立适当的坐标系 应用解几方法解题,必须建立坐标系, 而且选定恰当的坐标系(一般是以 原点、坐标轴对称的,或以原点为 起点),简化曲线方程。 2.充分利用圆锥曲线特有的几何性质。 例如:m为何值时,直线2x-y+m=0和圆 x2+y2=5①无公共点?②截得弦长 为2?③交点处两条半径互相垂直? m 解:圆心(0,0)到直线距离d= m 5 圆半径r= 5 ,① d ? ? 5 时即m<-5或 5 m>5时圆和直线无公共点。②∵弦 过中点的半径垂直于弦∴r2-d2=1即 5-m2/5=1∴当m=± 2 5 时圆在直线 上截得弦长为2 ③此时弦与过
? ? ? ?

弦两端的半径组成等腰直角三角形 m 2 2 5 2 5?m ? ? ∴ d ? r ,即 ? 2 2 2 5 时过弦两端的半径互相垂直。

3 .圆锥曲线定义的应用 有些题目从表象上看较难,但用圆锥曲 线定义解题,问题迎刃而解。

一些常用技能技巧的梳理
?

如图

?

?

? ?

? ?1 双曲线方程 的左焦点 16 9 作弦交曲线于A,B,连接AF2和 BF2,求|AF2|+|BF2|-|AB| 的值 解:||AF2|-|AF1||=2a=8, ||BF2||BF1||=2a=8, |AF2|+|BF2|-|AB| 的值 为16。 曲线系方程的应用 方程f1(x,y)+λf2(x,y)=0表示的曲线经 过曲线f1(x,y)=0和曲线f2(x,y)=0的交 点

x

2

y

2

(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0表示 过直线A1x+B1y+C1=0,A2x+ B2y+C2=0的 交点的一系列直线。 你能写出圆系列方程和双曲线系列方程 吗? 例题:一个圆经过已知圆x2+y2-x+y-2=0 和x2+y2=5的交点,且圆心在直线 3x+4y-1=0上求圆方程。 解:设所求圆方程为( x2+y2-x+y-2)+ λ(x2+y2-5)=0即 (1+λ)x2+(1+λ)y2-x+y-(2+λ)=0 其圆心为(1/(2+2λ),-1/(2+2λ)) 3 4 ? 在已知直线上, 2 (1 ? ? ) 2 (1 ? ? ) ? 1 ? 0 得λ=-1.5,所求方程为: X2+y2+2x-2y-11=0

韦达定理的应用: 例题1:已知直线l 过(1,0)点,倾斜 角为π/4,求 l在椭圆x2+2y2=4 上截得 的长? 解:直线方程为y=x-1代入椭圆方程 x2+2y2=4 ,得3 x2 -4x-2=0 设所截交点为AB |AB|2 =(x2-x1)2+(y2-y1)2 =2(x2-x1)2 =2((x2+x1)2 -4 x2x1 ) =80/9 |AB|= 4 5
?
3

一些常用技能技巧的梳理

一般二次方程的讨论
?

?
?

一般二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 经过旋转变换,适当选取θ角,化成 A’x’2+C’y’2+D’x’+E’y’+F’=0 关键看A’C’是否有一个为零?都不为零时 它们是同号还是异号来决定。经过变换, -4A’C’=B2-4AC。Δ= B2-4AC为二次方程 判别式。

方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 条 件 类 型 一 般 情 况 特 殊 情 况

B2-4AC<0
B2-4AC>0 B2-4AC=0

椭圆型
双曲线型 抛物线型

椭圆
双曲线 抛物线

一点或没有轨迹
两条相交直线 两条平行线或一条直线或没有轨迹

选择题

课堂训练题

点的坐标是:

1.如果方程x2+ky2=2表示焦点在 y轴上的 椭圆, A.(4,2 2 )或(4,-2 2 )B.(5, 5 )或(5,- 5 ) 那么实数k 的取值范围是: C.(4.5,3)或(4.5,-3) D(6,2 3 )或(6,-2 3 ) A.(0, +∞)B.(0,2) C(1,+∞)D(0,1) 6.以坐标轴为对称轴,中心在原点,实轴长为 2.焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线 方程是: A.y2=8(x+1) B. y2=-8(x+1) C. y2=8(x-1) D. y2=-8(x-1) 3.椭圆x2+9/5 y2=36的离心率为: A.1/3 B.2/3 C.1/2 D.3/4 4. 设椭圆 ? ? 1 的两个焦点分别是F1和 5 4 F2, 短轴的一个端点是B,则△B F1 F2的周长是: A. B. 1 ? 5 C. 2 ? 5 D. 2 ? 2 5 5.若抛物线y2=2x上一点到焦点距离为5,则该
5 ?3
x
2

10,焦距为12 的双曲线方程是: A.x2/25 -y2/11 =1 或.y2/25 –x2/61 =1

B. .x2/25 -y2/11 =1 或y2/25 –x2/11 =1
C. x2/61 -y2/25 =1 或y2/25 –x2/61 =1 D. x2/61 -y2/25 =1 或y2/25 –x2/11 =1
x
2

7.若方程

25 ? k

?

y

2

k ? 16

?1

表示双曲线,则

y

2

k 的值的范围是: A.k<16 B.k>25 C.16<k<25 D.k<16或k>25

你能做对多少题?

圆的目标诊断题
1. 写出圆心在(0,-3),半径是 3 的 圆方程。(A1) 2. 下列方程表示社么图形: (1) (x-3)2+y2=0; (2) x2+y2-2x+2y-2=0; (3) x2+y2+2ab=0。(B1) 3. 写出过圆x2+y2-25=0上一点M(-2 ,1) 6 的切线的方程。(B2) 4.求下列条件所决定的圆的方程: (1)圆心在(3,4),且与直线 6x+8y-15=0相切;(C1) (2) 经过点A(2,-1),与直线x-y-1相切; 且圆心在直线y=-2x上; (3)经过A(5,1), B(-1,2), C(1,-3)三点。 5. 求经过点P(0,10),且与x轴切于原点的圆 的方程,并判断点A(-5,5), B( 2 ,6), , C(3,-10),在圆内,在圆外,还 是在圆上。 6.判断直线3x+4y-24=0与圆x2+y2+6x4y-12=0的位置关系。 7. 求证:两圆x2+y2+-4x-4=0与 x2+y2+6x+10y+16=0互相外切。 8.求圆的切线方程: (1)与圆(x+1)2+(y-3)2=25切 于点A(3,6)的切线方程。 (2)若圆x2+y2=13的切线平行于直 线4x+6y-5=0,求这切线的方程。 (3)过点A(4,0)向圆x2+y2=1引 切线,求这切线的方程。 9.一圆拱桥跨度长12米,拱高3米, 以拱弦所在的直线为x 轴,弦的 中点为原点建立直角坐标系, 求这圆拱曲线的方程。

圆的目标诊断题答案
? ?

? ?

?
? ? ? ? ? ? ? ?

1. x2+(y-3)2=3 2.(1)点(3,0)(2)以(1,-1) 为圆心、2为半径的圆(3)x2+ (y+b)2=b2 3. 2 6 x ? y ? 25 ? 0 4 .(1)(x-3)2+(y-4)2=49/4 (2)(x-1)2+(y+2)2=2或 (x-9)2+(y+18)2=338 (3)7x2+7y2 –25x-3y-54=0 5. x2+(y-5)2=25,A点在圆上,B点 在圆内,C点在圆外 6.直线与圆相切 7. o o ? 5 2 ? r ? r 故两圆外切 8.(1)4x+3y-30=0,(2)2x+3y±=13=0 15 (3)y ? ? 15 ( x ? 4 ) 9 . x2+(y+9/2)2=225/4(y≥0)
1 2 1 2

椭圆目标诊断题
? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ?

?

1.求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a= 3 ,b=1,焦点在x轴上 (2)a=5,c= 17 ,焦点在y轴上 (3)a=6,e=1/3,焦点在x轴上 (4)b=4,e=3/5,焦点在y轴上 2.利用椭圆的面积公式 S= πab,求下 列椭圆的面积 (1) 9x2+25y2 =225 (2)36x2+5y2 =180 3.求下列椭圆长轴和短轴的长,离心 率,焦点坐标,顶点坐标和准线方 程,并画出草图。 (1)4x2+9y2 =36 (2)9x2+y2 =81 4.求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)长轴是短轴的5倍, 且过点 (7,2)焦点在x轴上

? ? ? ?

焦点坐标是(0,-4),(0,4) 且经过点( 5 , ? 3 3 ) 5.求直线x-y+ 5 =0和椭圆x2/4+ y2 =1的交点 6.点P与一定点F(4,0)的距离 和它到一定直线x=25/4的距离之 比是4/5,求点P 的轨迹方程。 7 .地球的子午线是一个椭圆,两 个半轴之比是299/300,求地球 子午线的离心率。

椭圆目标诊断题的答案 1.(1)x /3+y =1,(2) x /8+y /25=1
2 2 2 2

(3) x2 /36+y2 /32=1,(4) x2 /16+y2 /25=1 2.(1)15 π,(2)6 5 π 3. (1)2a=6,2b=4,e= 5 ,F(± 5 ,0) 3 顶点(±3,0),(0,±2)准线方程 9 (2)2a=18.2b=6,e= 2 2 x ? ? 5 3 5 ? 6 2 )顶点(±3,0),(0,±9) F(0, 27 准线方程:y ? ? 4 2 4. (1)x2 /149+25y2 /149=1 (2) x2 /20+y2 /36=1 5. ( ? 4 5 , 5 ) 5 5 6. x2 /25+y2 /9=1 7. 599
300

双曲线目标诊断题
1.求适合下列条件的双曲线标准方程: (1)a=3,b=4,焦点在x轴上 (2)a= 5 ,c=3,焦点在 y轴上 (3) a=6,e=3/2 ,焦点在x轴上 (4) b= 14 ,e=3/2,焦点在x轴上 2. 求下列双曲线的实轴和虚轴长,顶点和 焦点坐标,离心率,渐近线和准线方 程,并画出草图。 (1) x2 -4y2=4
?

?
? ?

?

(2) 9x2 -16y2=-144 3.求双曲线的标准方程 (1)实半轴是 2 5 ,经过点 ( 2 , ? 3 5 ) 焦点在y 轴上 (2)两渐近线方程是y=±3/2x,经过 点 ( 2, ? 2)

? ?

4.求直线3x-y+3=0和双曲线x2 y2 /4=1的交点 5.点P与定点(6,0)及定直线 x=16/3的距离之比是 3 2 : 4 求点P的轨迹方程 6.求以椭圆x2 /25 +y2/9=1 的焦点 为顶点,顶点为焦点的双曲线 方程。 7.两个观察点的坐标分别是A (200,0)、B(-200,0), 单位是米,A点听到爆炸声比B 点早1.08秒,求炮弹爆炸点的曲 线方程。 8.求证:当k<9,k≠4时,方程 x y ? ?1 所表示的圆锥曲 9?k 4?k 线有共同的焦点。
2 2

双曲线目标诊断题答案
?

1.(1)x2 /9-y2/16=1

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(2) y 2/5 -x2/4=1 (3)x2 /36-y2/45=1 (4) y 2/2-x2/14=1 2.(1)2a=4.2b=2,顶点(±2,0) F(? 5 ,0),e= 5 ,渐近线方 2 程 y=±1/2x,准线方程x=± 4 5 5 (2)2a=6,2b=8,顶点( 0,±3) F(0,±5),e=5/3,渐近线方程: Y=±3/4x,准线方程 y=±9/5 3.(1)y 2/20 -5x2/16=1 (2)9x2 -4y2=2 4.(-1,0)和(-13/5,-24/5) 5. x2 -8y2=32 6. x2/16-y2/9=1 x y 7. ? ? 1( x ? ? 183 . 6 )
2 2

8. (1)当k<4时 ,方程表示椭 圆,焦点在x轴,此a2=9-k, ? b2=4-k,c2=a2-b2=5,F( ? 5 ,0) (2) 当4<k<9时,方程表示双曲线, 焦点在x轴,a2=9-k, b2= k -4, ? c2=a2+b2=5,F( ? 5 ,0)所以 方程表示的椭圆和双曲线有共 同的焦点。
?

183 . 6

2

79 . 3

2

抛物线目标诊断题
1.抛物线y2=-2px(p>0)上一点M到焦点的距 离是4,求点M到准线的距离。 2. 写出适合下列条件的抛物线方程 (1)焦点是F(-3,0) (2)准线方程是x=-1/2 (3)焦点到准线的距离是1/2 3. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 (1) y2+4x=0 (2) 2x2-3y=0 4.推导抛物线的标准方程y2=-2px(p>0) 5.根据下列条件,求抛物线的方程,并描 点画出图形 (1)顶点在原点,对称轴是y轴,且顶点 与焦点的距离等于2 (2)顶点在原点,对称轴是x轴,且经过 (-3,2)点
? ?

6. 已知一等边三角形内接于抛 物线y2=2x,且一个顶点在原点, 求其他两个顶点的坐标。 7. 已知抛物线型的拱桥的顶点 距水面2米时,量得水面宽为8 米,当水面升高1米后,求水面 的宽。 8 .抛物线顶点是椭圆16x2

?

?

+25y2=-400的中心,焦点是 椭圆的右焦点,求这抛物线 的方程 9.把抛物线通径的两端分别 与准线和抛物线轴的交点连 接,证明这两条直线互相垂 直。

抛物线目标诊断题答案
1,4 2,(1) y2=-12x ,(2) y2=2x ? (3) y2=-±x,或x2=±y 3,(1)F(-1,0),准线方程:x=1, (2)F(0,3/8), 准线方程y=-3/8 5, (1) x2=±8y, (2) y2=--4/3x 6, ( 6 , ? 2 3 ) 7, 4 2 米 8, y2=12x , 9,通径两端为(p/2,p),(p/2,-p),准线与抛物 线轴的交点(-p/2,0),kAC*kBC=-1

椭 圆

双 曲 线

抛 物 线

定 义 性质
范围
对称性 顶点

除课本的定义外 还有准线定点, 极坐标、圆锥截 线等定义

概 念 精 细 化 Excel画
曲线图形
范围

直线与双曲线的位置关系
双曲线与渐近线的定量分析 再说说曲线与方程的两句话 曲线方程与函数的关系

JAVA 请你探索网络上的
二次曲线图形,归 纳为几句话.
求曲线轨迹 椭圆、双曲线、抛物线 定义和参数的题目 点、直线与曲线的位置 关系

范围 对称性 顶点

对称 性
顶点

实际应用
1.力学结构 拱桥 散热塔 网络结构 储槽容器 2. 光学性质 卫星天线 雷 达 激光器 光学器件

都是二次曲线

圆锥截线 准线定点 极坐标

3.运动轨迹 弹道 天体轨 道
4. 测量定位 卫星定位GPS B超 声纳

曲线作图 线

曲线的切

共性

对称性 离心率 都有焦点

二次曲线的实际应用

纲要信号图表

学生小结

竞 争 又 合 作

在“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义中 为什 么要作两条规定? 我们可以从集合的观点来认识这个问题。大家 知道,一条曲线和一个方程 f (x,y)=0可以是同 一个点集在“形”和“数”两方面的反映,只 有当 曲线所表示的点集C与方程 f (x,y)=0的解所表 示的点集F是同一个点集,也就是C=F时,曲 线才叫做方程的曲线,方程叫曲线的方程。而 两个集合C=F,必须从两个方面说明: 1,C中的任何一点属于F,记曲线上任一点的 坐标是f (x,y)=0的解 2,F中的任何一点也属于C,即以 f (x,y)=0的 解为坐标的点在曲线上。 说明了:曲线上的点与方程的解满足一一对应 的关系。 求曲线方程的依据,适合方程的解一 定在曲线上,不适合条件的点一定不在 曲线上。 直线视作曲线的特殊情况

概念的精细化

? ? ?

? ?

? ?

曲线方程与函数的关系? 曲线方程与函数的主要不同在于: (1)曲线方程反映了 x,y 的数量上的 相互制约关系,无“依从”关系,取定 一个x, y不一定唯一确定,同样取定 一个y后x 也不一定唯一确定,x与y无 “自变量”“应变量”的“主从” 关系。 (2)函数则反之,取定义域中每一 个x, 都有唯一的y与之对应。 就曲线而言,称x, y的取值范围, 对函数而言,分别趁x ,y的定义域 和值域。 (3)函数表达式y=f(x) 曲线方程表达式为f(x,y)=0

二次曲线题型之一
1,曲线与方程 1)判断已知点是否在曲线上 2)已知方程可分解为f1(x,y)=0,f2 (x,y)=0,….fn (x,y)=0,那么这方程的曲线由n个f1(x,y)=0, f2 (x,y)=0, ……. fn (x,y)=0 来确定。 2,求两条曲线交点 代入或加减法消元,用Λ判别几个解。 3,点、直线、圆与圆的位置关系 点与圆 点在圆上,圆外,圆内(点与圆心距 离和半径比较或点坐标代入方程>0,=0,<0 直线与圆 直线方程代入圆方程Λ判别,特别 是切线,圆上点和圆外点的 切线 例题1从点P(2,3)向圆(x-1)2+(y-1)2=1引切 线,求切线方程? 解:设切线斜率k,切线方程y-kx+2k-3=0。圆 方程的圆心(1,1),r=1,圆心到直线的 距离等于半径 1 ? k ? 2 k ? 3
1? k ? 1
2

K=3/4,切线方程 3x-4y+6=0还有一条切线 x=2 例题2:判断直线ax-by=0与圆x2+y2ax+by=0的位置关系。 解:圆x2+y2-ax+by=0 即(xa/2)2+(y+b/2)2=(a2+b2)/4 1 圆心(a/2,-b/2), r= a ? b 2 圆心到直线的距离为d,
2 2

a? d ?

a 2

? b(? a ?b
2

b 2
2

) ?

a ?b
2

2

? r

2

∴直线ax-by=0与圆x2+y2-ax+by=0相切。

有关曲线的 切线详情

二次曲线题型之二
例题3:已知圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=13 求过 A(1,-1)且与已知圆相切的切线方程? 解:以A(1,-1)代入圆方程得(1+1)2+(1-2)2=13,即A(1,-1)在圆上,可用 切线公式(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2写出切 线方程(1+1)(x+1)+(-1-2)(y-2)=13 即 2x-3y-5=0 *例题4:求圆心为(2,1)且与已知圆x2+y23x=0的公共弦所在的直线过点(5,-2) 的圆方程。 解:设所求的圆方程为(x-2)2+(y-1)2=r2 即: x2+y2-4x-2y+5-r2 =0……① 已知圆方程为: x2+y2-3x=0 ……② 由②- ①:得公共弦所在的直线方程为 x+2y-5+r2 =0 又直线过(5,-2)点∴ r2 =4 所求的圆方程(x-2)2+(y-1)2=4 圆与圆的位置关系 判断方法:一般是两圆心距离与两圆半径和或 差作比较。(略) 当两圆方程联立成方程组,消去x2,y2 项得一次方程,当两圆相交,则表示为 两圆的公共弦所在的直线,当两圆外切 时,则表示两圆外公切线方程,当两圆 内切时,则表示两圆的内公切线方程。 例题5:求以相交的两圆x2+y2 +4x+y+1 =0及 x2+y2 +2x+2y+1=0的公共弦为 直径的圆方程。 解:联立两圆方程 x2+y2 +4x+y+1=0 .① x2+y2 +2x+2y+1=0 ② ①-② :y=2x ……..③ ③代入① x2+(2x)2 +4x+2x+1=0 解之,x1=-1/5 x2=-1 y1=-2/5 y2=-2 两圆的交点(-1/5,-2/5),(-1,-2) 所求圆心是两圆交点的中点(-3/5,-6/5)
r ? 1 2 (? 1 5 ? 1) ? ( ?
2

2 5

? 2)

2

?

2 5

5

所求圆方程(x+3/5)2+(y+6/5)2=4/5

椭圆、双曲线、抛物线的题型 例题6:已知椭圆的焦距为6,长轴为10,求椭 圆的标准方程 解:因为椭圆的焦点位置未定,所以分步讨论。 1)焦点在x轴椭圆的标准为
x a
2 2

二次曲线题型之三
整理得x2-2xy+y2-6x-6y+15 =0 椭圆双曲线混合题 例题7:当k在什么范围内,下面的方程 表示的是椭圆或双曲线?
? ? 1 9 ? k 4 ? k 2 2 x y 解:1)若 9 ? k ? 4 ? k ? 1 x
2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )
2 2

y

2

2a=10,a=5,2c=6,c=3,b2=a2-c2=16,b=4 x y 所以椭圆的标准方程是 25 ? 16 ? 1 2)焦点在y轴椭圆的标准为
x b
2 2

表示椭圆

?

y a

2 2

? 1 ? ? ? (a ? b ? 0)
x
2

A=5,c=3,b=4 所求椭圆方程

?

y

2

?1

16

25

例题6:若抛物线的焦点为(2,2)准线方程 为 x+y-1=0, 求此抛物线? 解:设抛物线上任一点p(x,y), 焦点F(2,2) 由抛物线定义|PF|=d(d为P到准线的距离)
( x ? 2) ? ( y ? 2)
2 2

9-k>0 k<9 则 4-k>0 k<4 2 即k<4 2 x y ? ? 1 表示双 2)若 9 ? k 4 ? k 曲线 则 9-k>0 或 9-k<0 4-k<0 4-k>0 解之4<x<9, 方程表示是双曲线

?

x ? y ?1 2

二次曲线题型之四
作图题 1,用课本介绍的列表,描点,对称的方法 2,用Excel作图法 坐标平移题 例题1:平移坐标轴,把原点移到o’(3,-4)求曲线 x2+y2 –6x+8y=0在新坐标系的方程 解: x=x’+3 代入方程x2+y2 –6x+8y=0得 y=y’-4 (x’+3)2+(y’-4)2 –6(x’+3)+8(y’-4)=0 化简x’2+y’2 =25 例题2:已知双曲线虚轴为8,顶点坐标(1,2) (-5,2)求双曲线的方程和渐近线方程 解:顶点(1,2)(-5,2),曲线中心(-2,2) 焦点在y=2上, x’=x+2, y’=y-2 ,2a=6,2b=8 2 2 x' y' A=3,b=4,双曲线方程是 ? ?1
9 16

求轨迹方程 1 .直接法求轨迹方程 例题9:动点P与二定点F1,F2的连线互 相垂直,试求动点P的轨迹方程 解:1)建系 取F1,F2所在的直线为x轴, F1,F2的中点为原点,建立直角坐标系, F1(-a,0)F2(a,0) 2)设动点P(x,y)为所求轨迹上任意点 3)kPF1· PF2 =-1, K y ? 0 y ? 0 ? ? ?1 4)化简整理 x ? a x ? a x2+y2=a2 (x≠± a) 2.间接法求轨迹方程 例题10:已知圆方程x2+y2=22 及点N(6,6) 求圆上的点与N点连线中点的轨迹。 解:设圆方程x2+y2=22 上一点M(a,b)有 a2+b2=22 ,设P(x,y)为轨迹上任意一点动点坐 标, x ? a ? 6 , y ? b ? 6 ,a=2x-6,b=2y-6代入
2 2

新坐标系中的渐近线方程

y'? ?

4 3

x'

圆方程得: x2+y2-6x-6y+68=0 *3 .参数方程

二次曲线题型之五
二次曲线的实际应用问题 1.选择适当的标准方程和坐标系 一般应用有: 力学结构:拱桥,散热塔,储槽容 器,建筑结构等。 光学性质:会聚和发散电磁波,卫 星天线,激光器,雷达 抛物线、双曲线、椭圆的光学性质。 (学生简叙) 运动轨迹:弹道,天体轨道,物理 运动。 测量定位:卫星定位GPS,声纳等检 测仪器。

一般曲线顶点在原点,与x,y轴对称 2.输入已知坐标点(或其他条件)求出曲线 方程。 3.输入要求的一点f(x0,y0)的值,解决问题。

二 次 曲 线 的 应 用

我们举例说明直线与双曲线的位置关系。 2 2 双曲线 x y
? ?1 16 9

直线与双曲线的位置关系

1.当y=±3/4 x时,直线与双曲线不相交 ( y=±3/4 x 代入双曲线方程, Δ判别 式为0) 2. 当y=kx+b时,-3/4<k<3/4时,直线与双曲线 的两支有两个交点 3.当y=kx+b 时,k< -3/4 或k>3/4时,y=kx+b 代入双曲线方程,Δ判别式为0,直线与 双曲线的两支曲线各有一个切点。 Δ判 别式 >0,直线与双曲线的一支有两个交 点。 4.当y=kx+b,k=3/4 时,b不等于0,直线与双曲 线的一支有一个交点,但并不相切。直 线与双曲线只有一个交点,是直线与双 曲线相切的必要而非充分条件

用Excel绘制二次曲线
?

用Excel绘制二次曲线图形直观, 有益于熟悉二次曲线标准方程, 你想学学吗?

切点(x0,y0)在曲线上

二次曲线的切线

圆: (x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r 椭圆: xx0/a2+yy0/b2=1 双曲线:xx0/a2-yy0/b2=1 抛物线: yy0 =p(x+ x0 )或xx0= p(y+y0) 焦点在y轴的曲线的切线依此类推。

椭圆x2/ b2 +y2/ a2 =1的切线 y ? kx ? a ? b k 双曲线x2/a2-y2/b2=1的切线 y ? kx ? a k ? b 2 2 2 双曲线x2/ b2 -y2/ a2 =-1的切线 y ? kx ? a ? b k 抛物线y2=2px的切线y=kx+p/2k 抛物线x2=2pyd 的切线y=kx-k2p/2
2 2 2
2 2 2

过已知曲线外一点( x0,y0),与曲线相 切的切线方程
设切线斜率为k,切线方程为y-y0=k(x-x0) 代入二次曲线,成为关于x 的一元二次方程, 令判别式Δ=0,求得k,获得切线方程。 一般判别式Δ=0能推得直线与曲线相切,反 依然,但对双曲线而言,这是充分而不必要 条件。

一般求已知切点的切线方程,把原二次曲线 的x2 项用xx0代替, y2项用yy0代替,x项用 1/2( x+ x0 ),y用1/2(y+y0)即可。

上述内容由汪槛同学提供。

已知切线的斜率k,求切线方程
椭圆x2/a2+y2/b2=1的切线方程
y ? kx ? a k ?b
2 2 2

浏览网上动态曲线
?

用引导探索法让学生们观察英国University of St Andrews MT网 站的二次曲线,改变a,b 值可观看动态的二次曲线的变化。


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