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河北省保定市唐县一中2013届高三下学期第二次摸底考试数学 Word版含答案

保定市唐县一中高三下学期第二次摸底考试

数学试卷
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项。 1、

i3 A. 3 ? i B. ? 3 ? i x?2 2、 lim 2 的值为 x ?2 x ? 6 x ? 8
A.0 B.1

?1 ? i ??? 2 ? i ? ?

( C. ? 3 ? i D. 3 ? i ( C. ?



)

1 2

D.

1 3
( )

3、有以下四个命题:

其中真命题的序号是

①若 m // ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m // n ; ②若 m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n ; ③若 m ? ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m ? n ;④若 m // ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m // n . ①② A、

B、③④

① C、 ④

②③ D、

?x ? 0 x ? 2y ? 3 ? 4、设 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,则 取值范围是 x ?1 ? 4 x ? 3 y ? 12 ?





A. [3,11]

B. [ 2 , 6 ]

C. [3,10]

D. [1,5]

5、某次文艺汇演,要将 A、B、C、D、E、F 这六个不同节目编排成节目单,如下表: 序号 节目 如果 A、 两个节目要相邻, B 且都不排在第 3 号位置, 则节目单上不同的排序方式有 ( A.192 种
? ?

1

2

3

4

5

6



B.144 种
? ?

C.96 种
? ?

D.72 种

6、已知

a, b 为非零向量,命题 p : a ? b ? 0 ,命题 q : a 、b 的夹角为锐角,则命题 p 是命题
)

q 的(

第 - 1 - 页 共 16 页

A.充分不必要的条件 C.充要条件
2 2

B. 既不充分也不必要的条件 D. 必要不充分的条件
x

7 、 已 知 圆 C : x ? y ? 4( x ? 0, y ? 0)与函数f ( x) ? log 2 x, g ( x) ? 2 的 图 象 分 别 交 于
2 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), 则x12 ? x2 的值为





A、 16

B、

B、 8
?

C、 4

D、 2

8、在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数 f ( x) 的图象恰好 通过 n(n ? N ) 个整点,则称函数 f ( x) 为 n 阶整点函数。有下列函数: ①

f ( x) ? sin 2 x ;

② g ( x) ? x )

3

③ h( x ) ? ( ) ;
x

1 3

④ ? ( x) ? ln x ,

其中是一阶整点函数的是( A.①②③④ B.①③④

C.①④

D.④

高三月考理科数学试题
第Ⅱ卷(共 110 分)
注意事项: 1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 题号 一 1--8 9 10 二 11 12 13 14 5 分数 得分 评卷人 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在题中 横线上。 1 16 7 三 1 8 总分 1 19 0 2

9、双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点到一条渐近线的距离为______________ 9 16

第 - 2 - 页 共 16 页

10、 n 为等差数列 ? 4,?2,0, ?中的第 8 项, 若 则二项式 ( x 2 ? 2 ) n 展开式中常数项是第 x D1 11、如图,棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 为 BC 中点, A1 则直线 D1 M 与平面 ABCD 所成角的正切值为 若正方体的八个顶点都在同一球面上,则此球的表面积 为 .
?

项 C1 B1

; D A B C M

12、在 ?ABC 中, a, b, c 分别为三个内角 A、B、C 所对的边,设向量 m ? ? b ? c, c ? a ? ,
?

n ? ? b, c ? a ? ,若向量 m ? n ,则角 A 的大小为

?

?

13、顺义二中对文明班的评选设计了 a, b, c, d , e 五个方面的多元评价指标,并通过经验公

a c 1 ? ? 来计算各班的综合得分, S 的值越高则评价效果越好.若某班在自测过 b d e 程中各项指标显示出 0 ? c ? d ? e ? b ? a ,则下阶段要把其中一个指标的值增加 1 个单
式S ? 位,而使得 S 的值增加最多,那么该指标应为 . (填入 a, b, c, d , e 中的某个字母)

14、一种计算装置,有一个数据入口 A 和一个运算出口 B ,执行某种运算程序. (1)当从 A 口输入自然数 1 时,从 B 口得到实数 ,记为 f (1) ?

1 3

1 ; 3

( 2 ) 当 从 A 口 输 入 自 然 数 n(n ? 2) 时 , 在 B 口 得 到 的 结 果 f (n) 是 前 一 结 果

f (n ? 1)的

2(n ? 1) ? 1 倍. 2(n ? 1) ? 3
;要想从 B 口得到

当从 A 口输入 3 时,从 B 口得到 入自然数 .

1 ,则应从 A 口输 2303

第 - 3 - 页 共 16 页

选择题题卡

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 得分 评卷人 15. (本小题满分 13 分) (1)、已知函数 f ( x) ?

1 ? 2 cos(2 x ? sin(x ?

?

?
2

) 4 .

)

若角 ?在第一象限且cos? ?
2

3 , 求f (? ). 5

(2) 函数 f ( x) ? 2 cos x ? 2 3 sin x cos x 的图象按向量 m ? ( , ?1) 平移后,得到一个函数 g(x)的图象,求 g(x)的解析式.

? 6

第 - 4 - 页 共 16 页

得分

评卷人

16、 (小题满分 13 分) 如图,直角三角形 ABC 的顶点坐标 A(?2, ,直角顶点 B(0, ?2 2) ,顶点 0)

C 在 x 轴上,点 P 为线段 OA 的中点
(Ⅰ)求 BC 边所在直线方程; (Ⅱ) M 为直角三角形 ABC 外接圆的圆心,求圆 M 的方程; (Ⅲ) 若动圆 N 过点 P 且与圆 M 内切, 求动圆 N 的圆心 N 的轨 迹方程.
A P

y

O

C

x

B

得分

评卷人

第 - 5 - 页 共 16 页

17、 (本小题 13 分)

如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, PB ? BC, PD ? CD , P 且 PA ? 2 , E 为 PD 中点. (Ⅰ)求证: PA ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 E ? AC ? D 的大小; (Ⅲ)在线段 BC 上是否存在点 F ,使得点 E 到平 面 PAF 的距离为 E

2 5 ?若存在,确定点 F 的位置; 5

A

D

若不存在,请说明理由.

B

C

得分

评卷人

18、 (本小题满分 13 分)

将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在 下落的过程中,将 3 次遇到黑色障碍物,最后落入 A 袋或 B 袋中.已知小球每次遇到黑色障 碍物时,向左、右两边下落的概率都是

1 . 2 (Ⅰ)求小球落入 A 袋中的概率 P( A) ;
第 - 6 - 页 共 16 页

(Ⅱ)在容器入口处依次放入 4 个小球,记 ? 为落入 A 袋中的小球个数,试求 ? ? 3 的概 率和 ? 的数学期望 E? .

得分

评卷人

19、 (本小题满分 14 分)

1 f (x) 对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? . 2 1 1 n ?1 (Ⅰ)求 f ( ) 和 f ( ) ? f ( ) (n ? N ? ) 的值. 2 n n 1 2 n ?1 (Ⅱ)数列 ?a n ?满足: a n = f (0) + f ( ) ? f ( ) ? ?? ? f ( ) ? f (1) ,数列 ?a n ?是等差 n n n
数列吗?请给予证明; (Ⅲ)令 bn ?

4 4a n ? 1

2 2 2 , Tn ? b12 ? b2 ? b3 ? ?? ? bn , S n ? 32 ?

16 . n

试比较 Tn 与 S n 的大小.

第 - 7 - 页 共 16 页

得分

评卷人

20、 (本小题 14 分)

已知:在函数 f ( x) ? mx ? x 的图象上,以 N (1, n) 为切点的切线的倾斜角为
3

? . 4

(Ⅰ)求 m , n 的值; (Ⅱ)是否存在最小的正整数 k ,使得不等式 f ( x) ? k ? 1993 对于 x ? [?1, 3] 恒成立? 如果存在,请求出最小的正整数 k ;如果不存在,请说明理由; (Ⅲ)求证: | f (sin x) ? f (cos x) |? 2 f (t ?

1 . ) ( x? R,t ? 0) 2t

参考答案及评分标准
一、选择题 本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 号题 1 2 3 4 5 6 7 8

第 - 8 - 页 共 16 页

答案

B

C

D

A

B

D

D

C

二、

填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 9、 4 ; 10、 9 ; 11、

2 5 , 3?a 2 ; 5

12、

? ; 3

13、

C

;

14、

1 ,24(第一空 2 分,第二空 3 分) 35

三 、解答题: 15、 、由已知条件,得 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ( ) ? (1)
2 2

3 5

4 . 5

????2 分

1 ? 2 cos(2? ? ) 1 ? 2 (cos 2? cos ? sin 2? sin ) 4 ? 4 4 ??6 分 所以 f (? ) ? ? cos? sin(? ? ) 2
? 1 ? cos 2? ? sin 2? 2 cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? cos? cos?
????9 分

?

?

?

? 2(cos? ? sin ? ) ?
(2) gx ) c 、 ( o ? s

14 . 5

????10 分 ????13 分 ????1 分 ????3 分

x 2

16、解(Ⅰ)∵ k AB ? ? 2, AB ? BC, ∴ kCB ?

2 , 2 2 x ? 2 2. 2

∴ BC : y ?

????5 分 ????6 分 ????7 分 ????8 分

(Ⅱ)在上式中,令 y ? 0, 得: C (4, 0), ∴圆心 M (1, 0), . 又∵ AM ? 3, . ∴外接圆的方程为 ( x ? 1) ? y ? 9.
2 2

????9 分

(Ⅲ)∵ P(?1, 0), M (1, 0), ∵圆 N 过点 P(?1, 0), ,∴ PN 是该圆的半径, 又∵动圆 N 与圆 M 内切,

第 - 9 - 页 共 16 页

∴ MN ? 3 ? PN , 即 MN ? PN ? 3, . ∴点 N 的轨迹是以 M, 为焦点,长轴长为 3 的椭圆. P ∴a ? ????11 分 ????12 分

5 3 2 2 ,. ,c ?1 b ? a ?c ? 4 2
x2 y2 ? ? 1. 9 5 4 4

∴轨迹方程为

????13 分

17、 (本小题满分 14 分) 解法一: (Ⅰ)证明:∵底面 ABCD 为正方形, ∴ BC ? AB ,又 BC ? PB , ∴ BC ? 平面 PAB , ∴ BC ? PA . 同理 CD ? PA , ∴ PA ? 平面 ABCD . ??????5 分 (Ⅱ)解:设 M 为 AD 中点,连结 EM , 又 E 为 PD 中点, 可得 EM // PA ,从而 EM ? 底面 ABCD . 过 M 作 AC 的垂线 MN ,垂足为 N ,连结 EN . 由三垂线定理有 EN ? AC , ∴ ?ENM 为二面角 E ? AC ? D 的平面角. 在 Rt?EMN 中,可求得 EM ? 1, MN ? ∴ tan ENM ? ??????7 分 ??????2 分 ??????4 分

2 , 2
??????9 分 ??????10 分 P

EM ? 2. MN

∴ 二面角 E ? AC ? D 的大小为 arctan 2 . (Ⅲ)解:由 E 为 PD 中点可知,
第 - 10 - 页 共 16 页

E

要使得点 E 到平面 PAF 的距离为

2 5 , 5

即要点 D 到平面 PAF 的距离为

4 5 . 5

过 D 作 AF 的垂线 DG ,垂足为 G , ∵ PA ? 平面 ABCD , ∴平面 PAF ? 平面 ABCD , ∴ DG ? 平面 PAF , 即 DG 为点 D 到平面 PAF 的距离. ∴ DG ?

4 5 , 5 2 5 . 5
??????12 分

∴ AG ?

设 BF ? x , 由 ?ABF 与 ?DGA 相似可得

AB DG , ? BF GA 2 ∴ ? 2 ,即 x ? 1. x
∴在线段 BC 上存在点 F ,且 F 为 BC 中点,使得点 E 到平面 PAF 的距离为 ??????14 分 解法二: (Ⅰ)证明:同解法一. (Ⅱ)解:建立如图的空间直角坐标系 A ? xyz , 则 A(0,, ), (2,, ), (0, 1) . 0 0 C 2 0 E 1 , 设 m ? ( x, y, z ) 为平面 AEC 的一个法向量, 则 m ? AE , m ? AC .
第 - 11 - 页 共 16 页

2 5 . 5

??????6 分

z P

E

又 AE ? (0 ,1 ,1), AC ? (2 ,2 ,0),

? y ? z ? 0, ?? ?2 x ? 2 y ? 0.
令 x ? 1, 则 y ? ?1, z ? 1, 得 m ? (1, ? 1, 1) . ??????8 分

又 AP ? (0,0,2) 是平面 ACD 的一个法向量, ??????9 分 设二面角 E ? AC ? D 的大小为 ? , 则 cos? ? cos ? m, AP ??

m ? AP m ? AP

?

2 3 . ? 3 3?2
3 . 3
??????10 分

∴ 二面角 E ? AC ? D 的大小为 arccos

(Ⅲ)解:设 F (2, 0) (0 ? t ? 2), n ? (a, b, c) 为平面 PAF 的一个法向量, t, 则 n ? AP , n ? AF . 又 AP ? (0,0,2) , AF ? (2 , t ,0),

?2c ? 0, ?? ?2a ? tb ? 0.
令 a ? t , 则 b ? ?2, c ? 0, 得 n ? (t ,?2,0) . 又 AE ? (0 ,1 ,1), ∴点 E 到平面 PAF 的距离 ? ??????12 分

AE ? n n

?

2 t ?4
2





2 t ?4
2

?

2 5 , 5

解得 t ? 1 ,即 F (2, 0) . 1 ,
第 - 12 - 页 共 16 页

∴在线段 BC 上存在点 F ,使得点 E 到平面 PAF 的距离为

2 5 ,且 F 为 BC 中点. 5
??????14 分

18、解: (Ⅰ)记“小球落入 A 袋中”为事件 A , “小球落入 B 袋中”为事件 B ,则事件 A 的 对立事件为 B ,而小球落入 B 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下,故

?1? ?1? 1 P( B) ? ? ? ? ? ? ? , ?2? ?2? 4
从而 P( A) ? 1 ? P( B) ? 1 ?

3

3

1 3 ? ; 4 4

??????5 分

(Ⅱ)显然,随机变量 ? ~ B(4, ) ,故

3 4

? 3 ? 1 27 3 , P(? ? 3) ? C4 ? ? ? ? ? ? 4 ? 4 64

3

3 E? ? 4 ? ? 3 . 4
19、解: (Ⅰ)因为 f ( ) ? f (1 ? ) ? f ( ) ? f ( ) ?

??????13 分

1 1 1 1 1 1 1 .所以 f ( ) ? . ??2 分 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 n ?1 1 令 x ? ,得 f ( ) ? f (1 ? ) ? ,即 f ( ) ? f ( ?????4 分 )? . n n n 2 n n 2 1 n ?1 (Ⅱ) a n ? f (0) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) n n n ?1 1 又 a n ? f (1) ? f ( ??????5 分 ) ? ? ? f ( ) ? f (0) n n
两式相加

1 n ?1 n ?1 . 2an ? [ f (0) ? f (1)] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? ? [ f (1) ? f (0)] ? n n 2 n ?1 所以 a n ? ??????7 分 ,n? N , 4 n ?1?1 n ?1 1 又 a n ?1 ? a n ? ? ? .故数列 {a n } 是等差数列. ??????9 分 4 4 4 4 4 ? (Ⅲ) bn ? 4a n ? 1 n
2 2 Tn ? b12 ? b2 ? ? ? bn

第 - 13 - 页 共 16 页

1 1 1 ? 2 ??? 2 ) 2 2 3 n 1 1 1 ? 16[1 ? ? ??? ] 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? 16[1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 2 3 n ?1 n 1 16 ? 16(2 ? ) ? 32 ? ? Sn n n ? 16(1 ?
所以 Tn ? S n

??????10 分 ??????12 分

???????????????????14 分

2 20、解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3mx ? 1 ,依题意,得 f ?(1) ? tan

?
4

,即 3m ? 1 ? 1 , m ?

2 . 3

????????????2 分 ∵

1 f (1) ? n , ∴ n ? ? . 3
2

????????????3 分

(Ⅱ)令 f ?( x) ? 2 x ? 1 ? 0 ,得 x ? ?

2 . 2

????????????4 分

当 ?1 ? x ? ?

2 2 时, f ?( x) ? 2 x ? 1 ? 0 ; 2

当?

2 2 2 ?x? 时, f ?( x) ? 2 x ? 1 ? 0 ; 2 2



2 ? x ? 3 时, f ?( x) ? 2 x 2 ? 1 ? 0 . 2
2 2 2 2 1 )? )?? , f (? , f( , f (3) ? 15 . 2 3 2 3 3

又 f (?1) ?

因此,当 x ? [?1, 3] 时, ?

2 ? f ( x) ? 15 . 3

????????????7 分

要使得不等式 f ( x) ? k ? 1993 对于 x ? [?1, 3] 恒成立,则 k ? 15 ? 1993 ? 2008 . 所以,存在最小的正整数 k ? 2008 ,使得不等式 f ( x) ? k ? 1993 对于

x ? [?1, 3] 恒成立.

????????????9 分

第 - 14 - 页 共 16 页

(Ⅲ)方法一: | f (sin x) ? f (cos x) | ?| ( sin 3 x ? sin x) ? ( cos3 x ? cos x) |

2 3

2 3

2 ?| (sin 3 x ? cos3 x) ? (sin x ? cos x) | 3 2 ?| (sin x ? cos x)[ (sin 2 x ? sin x cos x ? cos2 x) ? 1] | 3 2 1 ?| sin x ? cos x | ? | ? sin x cos x ? | 3 3 ?
2 2 1 1 ? . | sin x ? cos x |3 ? | 2 sin(x ? ) |3 ? 3 3 3 4
???????11 分

1 1 ? 2 , t 2 ? 2 ? 1. 2t 4t 1 2 1 3 1 ∴ 2 f (t ? ) ? 2[ (t ? ) ? (t ? )] 2t 3 2t 2t
又∵ t ? 0 ,∴ t ?

? 2(t ?

2 1 2 2 1 2 2 1 1 . ???????13 分 )[ (t ? 2 ) ? ] ? 2 2 ( ? ) ? 3 3 3 2t 3 3 4t

综上可得, | f (sin x) ? f (cos x) |? 2 f (t ?

1 ) ( x ? R , t ? 0 ). 2t
??????????14 分

方法二:由(Ⅱ)知,函数 f (x) 在 [-1,?

2 2 2 ]上是增函数;在[ ? , ]上是减函数; 2 2 2

在[

2 ,1]上是增函数. 2
2 2 2 2 1 1 )? )?? , f (? , f( , f (1) ? ? . 2 3 2 3 3 3 2 2 2 ? f ( x) ? ,即 | f ( x) |? . 3 3 3

又 f (?1) ?

所以,当 x∈[-1,1]时, ?

∵ sin x , cos x ∈[-1,1],∴ | f (sin x) |?

2 2 , | f (cos x) |? . 3 3
2 2 2 2 ? ? . 3 3 3

∴ | f (sin x) ? f (cos x) |?| f (sin x) | ? | f (cos x) |?

????????????11 分

第 - 15 - 页 共 16 页

又∵ t ? 0 ,∴ t ? ∴ 2 f (t ?

1 ? 2 ? 1 ,且函数 f (x) 在 [1,??) 上是增函数. 2t
???????13 分

1 2 2 2 . ) ? 2 f ( 2 ) ? 2[ ( 2 ) 3 ? 2 ] ? 2t 3 3

综上可得, | f (sin x) ? f (cos x) |? 2 f (t ?

1 ) ( x ? R , t ? 0 ).?????14 分 2t

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