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面面平行的判定及性质定理_图文

广饶一中三校区数学组

复习回顾:
1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线与平面 平行的方法呢? (1)定义法; (2)直线与平面平行的判定定理:

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行.
a

?

b

线线平行

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

线面平行

(3)直线与平面平行的性质定理:

一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任 一平面与此平面的交线与该直线平行。
?

a

?

b

? ? ? ?? ?b ?
线面平行

a // ? ? a ? ? ? ? a // b
线线平行

复习回顾:
2. 平面与平面有几种位置关系?分别是什么? (1)平行 (2)相交

α∥β

? ?? ? a

怎样判定平面与平面平行呢?

生活中有没有平面与平面平行的例子呢? 教室的天花板与地面给人平行的感觉, 前后两块黑板也是平行的。
(1)三角板的一条边所在直线与桌面平行, 这个三角板所在平面与桌面平行吗?

(2)三角板的两条边所在直线分别与桌面平 行,情况又如何呢?
当三角板的两条边所在直线分别与桌面平行时 , 这个三角板所在平面与桌面平行。

(1)平面?内有一条直线与平面?平行,?,? 平行吗? (2)平面?内有两条直线与平面?平行,?, ?平行吗? (1)中的平面α,β不 一定平行。如图,借助 长方体模型,平面ABCD 中直线AD平行平面 BCC'B',但平面ABCD与 平面BCC'B'不平行。

(2)分两种情况讨论: 如果平面β内的两条直线是平行直线,平面 α与平面β不一定平行。如图,AD∥PQ, AD∥平面BCC’B’,PQ∥BCC’B’,但平面ABCD 与平面BCC’B’不平行。

如果平面β内的两条直线 是相交的直线,两个平 面会不会一定平行?
P

Q

直线的条数不是关键

直线相交才是关键

两个平面平行的判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面,那么这两个平面平行 符号表示: a??,b??,a?b=P,a???,b???????? b P a 图形表示: ?

?
线面平行

线不在多 重在相交

面面平行

判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)若平面 ? 内的两条直线分别与平面? 平行,则? 与 ? 平行; × (2)若平面? 内有无数条直线分别与平面? 平行,则 ?与 ? 平行;× (3)平行于同一直线的两个平面平行; × (4)两个平面分别经过两条平行直线,这两个平面平 行; × (5)过已知平面外一条直线,必能作出与已知平面平 行的平面.× ( 6 )一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行 则两个平面平行。

例1:已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求证:平面 AB1D1//平面C1BD 证明:∵ABCD-A1B1C1D1为正方体, 所以 D1C1∥A1B1,D1C1=A1B1 又AB∥A1B1,AB=A1B1, ∴D1C1∥AB,D1C1=AB, ∴D1C1BA是平行四边形, ∴D1A∥C1B, 又D1A ?平面C1BD, CB ?平面C1BD.

由直线与平面平行的判定,可知

D1A∥平面C1BD,

同理 D1B1∥平面C1BD,又 D1A∩D1B1=D1,

所以,平面AB1D1∥平面C1BD。

变式:在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 若 M、N、E、F分别是棱A1B1,A1D1, B1C1,C1D1的中点,求证:平面AMN// 平面EFDB。
D1

F

N
A1

C1 B1

M

E

线面平行 线线平行

面面平行
D
A B

C

推论
D1 A1 B1 C1

D

C

A

B

如果一个平面有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线, 则这两个平面平行

如果两个平面平行,那么一个平 面内的直线与另一个平面的直线具有 什么位置关系?(以直线B1D1为例)
D1 C1

A1
D

B1 C

A

B

观察平面AC内的那些直线与直线B1D1平行? 连接BD,BD所在直线及平面AC内与BD平行 的直线与B1D1与平行。

平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行
已知平面α,β,γ 满足α ?γ? a, ∥β , α β?γ? b, 求 证 a ∥ b. 证明: ? ? ? ? ? a, ? ? ? ? b

?

?a ? ?,b ? ? ?? // ? ? a ? b ? ? ?a ? ? ,b ? ? ? a // b

面面平行

线线平行

例题分析
例1、求证:夹在两个平行平面间的两条

平行线段相等
已知:如图 ????,AB∥CD, A∈α ,C∈α, B∈β ,D∈β, 求证:AB=CD
β
C

α

A

D

B

线面平行

面面平行

线线平行

小结 本节课重点:理解并掌握两平面平行的 判定定理和性质定理,会用这个定理证 明两个平面的平行。


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