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2012-2013学年高中数学常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题50 轨迹方程的求法


第 50 讲:轨迹方程的求法
【考纲要求】 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 【知识要点】 1、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义

(1) 列式:用坐标表示条件错误!未找到引用源。,列出方程错误!未找到引用源。; (2)化简:化方程错误!未找到引用源。为最简形式; (3)检验:检验某些特殊点是否满足题意,把不满足的点排除,把满足的点补充上来。 3、求轨迹方程的四种主要方法 (1)待定系数法:通过对已知条件的分析,发现动点满足某个曲线(圆、圆锥曲 线)的定义,然后设出曲线的方程,求出其中的待定系数。 (2)代入法:如果点错误!未找到引用源。的运动是由于点错误!未找到引用源。 的运动引起的,可以先用点错误!未找到引用源。的坐标表示点错误!未找到引用源。的 坐标,然后代入点错误!未找到引用源。满足的方程,即得动点错误!未找到引用源。的 轨迹方程。 (3)直接法:直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程。 (4)参数法:动点错误!未找到引用源。的运动主要是由于某个参数错误!未找到 引用源。的变化引起的,可以选参、设参,然后用这个参数表示动点的坐标,即错误!未 找到引用源。,再消参。

例 1 线段错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。互相垂直平分于点错误! 未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,动点错误!未找到引 用源。满足错误!未找到引用源。,求动点错误!未找到引用源。的轨迹方程. 解:如图 1,以错误!未找到引用源。中点错误!未找到引用源。为原点,直线错 误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。轴建立直角坐标系. 设错误!未找到引用源。,易知错误!未找到引用源。.

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。. 整理得错误!未找到引用源。, 故动点错误!未找到引用源。的轨迹方程为错误!未找到引用源。.

例 2 已知圆错误!未找到引用源。:错误!未找到引用源。 ,由动点错误!未找到 引用源。向圆错误!未找到引用源。引两条切线错误!未找到引用源。、错误!未找到引 用源。,切点分别为错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。,并且错误!未找到 引用源。,求点错误!未找到引用源。的轨迹。 解:设错误!未找到引用源。,由题得错误!未找到引用源。是直角三角形,且错误! 未找到引用源。 在直角三角形错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 所以动点 P 的轨迹方程为错误!未找到引用源。它是以点错误!未找到引用源。为圆 心,4 为半径的圆。

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P 使得△PAB 与△ PMN 的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由。

通过已知条件的分析可以得到动点满足某种曲线(圆、圆锥曲线)的定 义。 (1)分析出动点满足的方程;(2)证明动点满足某曲线(圆、圆锥曲 解题 线)的定义;(3)设出该曲线的待定系数方程;(4)求出待定系数,即 步骤 得所求的轨迹方程。 例3 已知动圆 P 与两定圆错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。都外切, 求动圆圆心的轨迹方程. 解:设半径为错误!未找到引用源。的动圆圆心为错误!未找到引用源。,

方法 二 使用 情景

待定系数法

因为圆错误!未找到引用源。与圆错误!未找到引用源。,圆错误!未找到引用 源。都外切, 则错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。. 因此点错误!未找到引用源。的轨迹是焦点为错误!未找到引用源。中心在错误! 未找到引用源。的双曲线的左支. 故所求轨迹方程为错误!未找到引用源。.

例4 在面积为 1 的错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。.建立适当坐 标系,求 以错误!未找到引用源。为焦点且过错误!未找到引用源。的椭圆方程. 解:如图 2,以直线错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。轴,错误! 未找到引用源。的垂直平分线为错误!未找到引用源。轴,建立直角坐标系. 设所求椭圆方程为错误!未找到引用源。,焦点为错误!未 找到引用源。, 由错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。, 得直线错误!未找到引用源。, ① 直线错误!未找到引用源。 ② ①,②联立,求得点错误!未找到引用源。. 又错误!未找到引用源。, 可得错误!未找到引用源。,则点错误!未找到引用源。. 又错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。, 则错误!未找到引用源。. 又错误!未找到引用源。, 故所求椭圆方程为错误!未找到引用源。. 【点评】此题已知已经告诉是椭圆,所以直接利用待定系数法,先定式,后定量。 【变式演练 2】 在错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。上的两条中线 长度之和为 39,求错误!未找到引用源。的重心的轨迹方程.

例 5 已知抛物线错误!未找到引用源。和点错误!未找到引用源。,错误!未找 到引用源。为抛物线上一点,点错误!未找到引用源。在线段错误!未找到引用源。上且 错误!未找到引用源。,当点错误!未找到引用源。在该抛物线上移动时,求点错误!未 找到引用源。的轨迹方程.

解:设点错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,由错误!未找到引用 源。,知点错误!未找到引用源。分错误!未找到引用源。所成的比为错误!未找到引用 源。,则 错误!未找到引用源。 又错误!未找到引用源。点在抛物线上,则错误!未找到引用源。. 整理得错误!未找到引用源。为所求轨迹方程.

例6 已知曲线错误!未找到引用源。 (1)证明:当错误!未找到引用源。时,曲线错误!未找到引用源。是一个圆; (2)求证圆心在一条定直线上。 错误!未找到引用源。 【点评】(1)此题求圆心在一定直线上,就是求动点的轨迹是一条直线;(2)圆心 的运动主要是因为参数错误!未找到引用源。引起的,所以选用消参法解答。

【变式演练 4】 已知线段错误!未找到引用源。,直线错误!未找到引用源。垂直 平分错误!未找到引用源。于错误!未找到引用源。,在错误!未找到引用源。上取两点 错误!未找到引用源。,使有向线段错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。, 求直线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的交点错误!未找到引用源。的轨 迹方程.

【解析】设 A ? x1 ,y1 ? ,B ? x1 ,-y1 ? ,又知 A1 ? -a,0 ? ,A2 ? a,0 ? ,则 直线 A1 A 的方程为

y=

y1 ? x +a ? x1 +a



由 t1 ? t2 ,知 x1 ? x2 ,所以 x12 +x2 2 =a 2 。从而 y12 +y2 2 =b 2 ,因而 t12 +t2 2 =a 2 +b 2 为定值

y

M

A

O

B x

[解析](1)设 M 的坐标为(x,y),显然有 x>0, y ? 0 . 当∠MBA=90°时,点 M 的坐标为(2,, ±3) 当∠MBA≠90°时;x≠2.由∠MBA=2∠MAB,
| y| 2 | y| x ?1 ? ? 2 tan ?MAB 有 tan∠MBA= ,即 x ? 2 1 ? ( | y | ) 2 x ?1 1 ? tan 2 ?MAB

解得,m>1,且 m ? 2 设 Q、R 的坐标分别为 ( x0 , y0 ), ( xR , yR ) ,由 PQ ? PR 有

xR ? 2m ? 3(m 2 ? 1) , x0 ? 2m ? 3(m 2 ? 1)

【反馈训练】 1 已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q,使得 |PQ|=|PF2|,那么动点 Q 的轨迹是( ) A 圆 B 椭圆 C 双曲线的一支 D 抛物线
x2 y2 =1 的长轴两个端点,P1、P2 是垂直于 A1A2 的弦的端点,则 ? 9 4 直线 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程为( )

2

设 A1、A2 是椭圆

x2 y2 y2 x2 B ? ?1 ? ?1 9 4 9 4 x2 y2 y2 x2 C D ? ?1 ? ?1 9 4 9 4 3. 如图,定点 A 和 B 都在平面错误!未找到引用源。内,定点 P 错误! 未找到引用源。C 是错误!未找到引用源。内异于 A 和 B 的动点。且错误! 未找到引用源。那么动点 C 在平面错误! , 未找到引用源。 内的轨迹是 ( ) A. 一条线段,但要去掉两个点 B. 一个圆,但要去掉两个点 C. 一个椭圆,但要去掉两个点 D. 半圆,但要去掉两个点

A

5 sinB=

△ABC 中,A 为动点,B、C 为定点,B(-

a a ,0),C( ,0),且满足条件 sinC- 2 2

1 sinA,则动点 A 的轨迹方程为_________ 2 6 高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上,且相距 10 m,如果把两旗杆底部的 坐标分别确定为 A(-5,0)、B(5,0),则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程 是_________ E 7 已知 A、B、C 是直线 l 上的三点,且|AB|=|BC|=6,⊙O′切直线 F O' l 于点 A,又过 B、C 作⊙O′异于 l 的两切线,设这两切线交于点 P,求 D A B 点 P 的轨迹方程 C
8 双曲线

x2 y2 ? =1 的实轴为 A1A2,点 P 是双曲线上的一个动点,引 A1Q⊥A1P,A2Q a 2 b2

⊥A2P,A1Q 与 A2Q 的交点为 Q,求 Q 点的轨迹方程 9 已知双曲线

x2 y2 ? =1(m>0,n>0)的顶点为 A1、A2, m2 n2
y M A1 o A2 x P

与 y 轴平行的直线 l 交双曲线于点 P、Q (1)求直线 A1P 与 A2Q 交点 M 的轨迹方程; (2)当 m≠n 时,求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程 和离心率

Q

11、已知A,B,D三点不在一条直线上,且错误!未找到引用源。,错误!未找到 引用源。,错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。. (1)求错误!未找到引用源。点轨迹方程; (2)过错误!未找到引用源。作直线交以错误!未找到引用源。为焦点的椭圆于错 误!未找到引用源。两点,线段错误!未找到引用源。的中点到错误!未找到引用源。轴 的距 离为错误!未找到引用源。,且直线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。 点的轨迹相切,求椭圆方程.

12、一条双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 P( x1 , y1 ) , Q( x1 , ? y1 ) 是双 2

曲线上不同的两个动点。 (1)求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程式; (2) 若过点 H(0, h) h>1) ( 的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点, l1 ? l2 且 求 h 的值。
,

【变式演练详细解答】 【变式演练 1 详细解析】 (I)解:因为点 B 与 A (?1,1) 关于原点 O 对称,所以点 B 得坐标为 (1, ?1) . 设点 P 的坐标为 ( x, y ) 由题意得 化简得

y ?1 y ?1 1 ? ?? x ?1 x ?1 3

x 2 ? 3 y 2 ? 4( x ? ?1) .

故动点 P 的轨迹方程为 x 2 ? 3 y 2 ? 4( x ? ?1) (II)设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,点 M , N 得坐标分别为 (3, yM ) , (3, y N ) . 则直线 AP 的方程为 y ? 1 ?

y0 ? 1 y ?1 ( x ? 1) ,直线 BP 的方程为 y ? 1 ? 0 ( x ? 1) x0 ? 1 x0 ? 1

令 x ? 3 得 yM ?

4 y0 ? x0 ? 3 2 y ? x0 ? 3 , yN ? 0 . x0 ? 1 x0 ? 1

于是 ? PMN 得面积

S? PMN ?

| x ? y0 | (3 ? x0 ) 2 1 | yM ? y N | (3 ? x0 ) ? 0 2 | x0 2 ? 1|

又直线 AB 的方程为 x ? y ? 0 , | AB |? 2 2 , 点 P 到直线 AB 的距离 d ? 于是 ? PAB 的面积

| x0 ? y0 | 2

.

S? PAB ?

1 | AB |?d ?| x0 ? y0 | 2

故存在点 P 使得 ? PAB 与 ? PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 ( , ?

5 3

33 ). 9

【变式演练 2 详细解析】 以线段错误!未找到引用源。所在直线为错误!未找到引用源。轴,线段错误!未找 到引用源。的中垂线为错误!未找到引用源。轴建立直角坐标系,如图 1,错误!未找到 引用源。为重心,则有错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。点的轨迹是以错误!未找到引用 源。为焦点的椭圆, 其中错误!未找到引用源。.错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。所求错误!未找到引用源。的重 心的轨迹方程为错误!未找到引用源。. 注意:求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性. 【变式演练 3 详细解析】 设错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,由重心公式,得错误!未找到引 用源。错误!未找到引用源。 又错误!未找到引用源。在抛物线错误!未找到引用源。上,错误!未找到引用 源。. ③ 将①,②代入③,得错误!未找到引用源。, 即所求曲线方程是错误!未找到引用源。. 【变式演练 4 详细解析】 如图 2,以线段错误!未找到引用源。所在直线为错误!未找到引用源。轴,以线段 错误!未找到引用源。的中垂线为错误!未找到引用源。轴建立直角坐标系. 设点错误!未找到引用源。, 则由题意,得错误!未找到引用源。. 由点斜式得直线错误!未找到引用源。的方程分别为错误!未找到引用源。. 两式相乘,消去错误!未找到引用源。,得错误!未找到引用源。.

这就是所求点 M 的轨迹方程.

3. B【解析】因为错误!未找到引用源。,且 PC 在错误!未找到引用源。内的射影 为 BC,所以错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。。所以点 C 的轨迹是以 AB 为直径的圆且去掉 A、B 两点,故选 B。 4.D【解析】 因为 P 到错误!未找到引用源。的距离即为 P 到错误!未找到引用源。 的距离,所以在面错误!未找到引用源。内,P 到定点错误!未找到引用源。的距离与 P 到定直线 BC 的距离相等。由圆锥曲线的定义知动点 P 的轨迹为抛物线,故选 D。

5

16 x 2 16 y 2 a ? ? 1( x ? ) 2 2 4 a 3a

解析】

由 sinC-sinB=

1 1 sinA,得 c-b= a, 2 2

∴应为双曲线一支,且实轴长为

16 x 2 16 y 2 a a ? 1( x ? ) ,故方程为 2 ? 2 4 2 a 3a

答案

16 x 2 16 y 2 a ? ? 1( x ? ) 2 2 4 a 3a

8 【解析】 设 P(x0,y0)(x≠±a),Q(x,y) ∵A1(-a,0),A2(a,0)
y0 ? y ? x0 ? ? x ( x0 ? ? a ) ? x ? a ? x ? a ? ?1 ? ? 0 由条件 ? 得? x2 ? a2 y0 y y0 ? ? ? ? ? ?1 y ? ? x ? a x0 ? a ?

而点 P(x0,y0)在双曲线上,∴b2x02-a2y02=a2b2 即 b (-x )-a (
2 2 2

x2 ? a2 2 2 2 ) =a b y

化简得 Q 点的轨迹方程为 a2x2-b2y2=a4(x≠±a) 9 【解析】 (1)设 P 点的坐标为(x1,y1),则 Q 点坐标为(x1,-y1),又有 A1(-

m,0),A2(m,0),则 A1P 的方程为 y=

y1 ( x ? m) x1 ? m



A2Q 的方程为 y=-

y1 ( x ? m) x1 ? m
y1
2



①?②得

y2=-

x1 ? m 2
2

(x2 ? m2 )



又因点 P 在双曲线上,故

x1 y n2 2 2 ? 12 ? 1,即y1 ? 2 ( x1 ? m 2 ). m2 n m

2

2

代入③并整理得

x2 y2 ? 2 =1 此即为 M 的轨迹方程 m2 n

(2)当 m≠n 时,M 的轨迹方程是椭圆

10 【解析】 (1)∵点 F2 关于 l 的对称点为 Q,连接 PQ, ∴∠F2PR=∠QPR,|F2R|=|QR|,|PQ|=|PF2| 又因为 l 为∠F1PF2 外角的平分线,故点 F1、P、Q 在同一直线上,设存在 R(x0,y0),Q(x1,y1),F1(-c,0),F2(c,0) |F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2
x1 ? c ? ? x0 ? 2 ? 又? ? y ? y1 ? 0 2 ? 得 x1=2x0-c,y1=2y0 ∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2,∴x02+y02=a2 故 R 的轨迹方程为 x2+y2=a2(y≠0)

1 a2 |OA|?|OB|?sinAOB= sinAOB 2 2 1 当∠AOB=90°时,S△AOB 最大值为 a2 2
(2)如右图,∵S△AOB= 此时弦心距|OC|=

y C

B

| 2ak | 1? k2

A o x

在 Rt△AOC 中,∠AOC=45°,

?

| OC | | 2ak | 2 3 ? ? cos 45? ? ,? k ? ? . | OA | a 1 ? k 2 2 3

11、【解析】:(1)设错误!未找到引用源。,由错误!未找到引用源。知错 误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。中点,易知错误!未找到引用源。. 又错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。. 即错误!未找到引用源。点轨迹方程为错误!未找到引用源。; (2)设错误!未找到引用源。,中点错误!未找到引用源。. 由题意设椭圆方程为错误!未找到引用源。,直线错误!未找到引用源。方程为 错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。直线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。点的 轨迹相切, 错误!未找到引用源。,解得错误!未找到引用源。.

将错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。代入椭圆方程并整理,得错误! 未找到引用源。, 错误!未找到引用源。, 又由题意知错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。,解得错误!未找 到引用源。. 故所求的椭圆方程为错误!未找到引用源。.

(2)设 l1 : y ? kx ? h ,则由 l1 ? l2 知, l2 : y ? ? 将 l1 : y ? kx ? h 代入

1 x?h。 k

x2 ? y2 ? 1 得 2

x2 ? (kx ? h) 2 ? 1 ,即 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4khx ? 2h 2 ? 2 ? 0 , 2
由 l1 与 E 只有一个交点知, ? ? 16k 2 h 2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2h 2 ? 2) ? 0 ,即

1 ? 2k 2 ? h 2 。
同理,由 l2 与 E 只有一个交点知, 1 ? 2 ? 而 h 2 ? 1 ? 2k 2 ? 3 ,即 h ? 3 。

1 1 ? h 2 ,消去 h 2 得 2 ? k 2 ,即 k 2 ? 1 ,从 2 k k


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