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2012届高考数学一轮复习课后强化作业8.6抛物线(文理合用 人教A版)


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2012 届高考数学一轮复习课后强化作业 8.6 抛物线
一、选择题 1. (2010?北京西城区抽检)抛物线 y=ax 的准线方程为 y=-1, 则实数 a 的值是( A. 1 4 B. 1 2
2

)

1 C.- 4 [答案] A

1 D.- 2

1 1 1 2 2 [解析] 将抛物线方程 y=ax 化为 x = y,由条件知 =1,∴a= . a 4a 4 2.(2010?东北师大附中模拟)抛物线 y =8x 的焦点到双曲线 - =1 的渐近线的距 12 4 离为( A.1 C. 3 3 ) B. 3 D. 3 6
2

x2

y2

[答案] A 3 [解析] 抛物线 y =8x 的焦点 F(2,0)到双曲线 - =1 的渐近线 y=± x 的距离 d 12 4 3
2

x2

y2

=1. → → 2 3.(文)设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y =4x 的焦点,A 为抛物线上一点,若OA?AF= -4,则点 A 的坐标为( A.(2,±2 2) C.(1,2) [答案] B [解析] 设点 A 的坐标为(x0,y0),∴y0=4x0① → → 又 F(1,0),∴OA=(x0,y0),AF=(1-x0,-y0), → → 2 2 ∵OA?AF=-4,∴x0-x0-y0=-4,② 解①②组成的方程组得?
? ?x0=1 ?y0=2 ?
2

) B.(1,±2) D.(2,2 2)

或?

? ?x0=1 ?y0=-2 ?

.

[点评] 向量与解析几何相结合,向量往往要化为坐标的形式. (理)(2010?山东聊城模考)已知 A、B 为抛物线 C:y =4x 上的不同两点,F 为抛物线 C
2

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) 3 B.± 2 4 D.± 3

→ → 的焦点,若FA=-4FB,则直线 AB 的斜率为( 2 A.± 3 3 C.± 4 [答案] D

→ → → → [解析] ∵FA=-4FB, ∴|FA|=4|FB|, 设|BF|=t, 则|AF|=4t, ∴|BM|=|AA1|-|BB1| =|AF|-|BF|=3t,又|AB|=|AF|+|BF|=5t,∴|AM|=4t,

4 4 ∴tan∠ABM= ,由对称性可知,这样的直线 AB 有两条,其斜率为± . 3 3 4.(2010?浙江杭州)若直线 l 与抛物线 C:y =2px(p>0)交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两
2

? ? 点, F? ,0?是抛物线 C 的焦点, 则“弦长|AB|=x1+x2+p”是“直线 l 经过点 F”的( ?2 ?
p
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 [答案] C B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

[解析] 由抛物线的定义知,|AF|=x1+ ,|BF|=x2+ ,∴|AF|+|BF|=x1+x2+p, 2 2 ∴|AF|+|BF|=|AB|, ∴|AB|=x1+x2+p 是直线 l 经过点 F 的充要条件. 5.(2010?山东文)已知抛物线 y =2px(p>0),过焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、
2

p

p

B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为(
A.x=1 C.x=2 [答案] B [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则线段 AB 的中点( B.x=-1 D.x=-2

)

x1+x2 y1+y2
2 , 2

),∴

y1+y2
2

=2,

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?y1=2px1 ? ? 2 ?y2=2px2 ?
2 2

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y1-y2 2p p = = , ∵kAB=1, ∴p=2, x1-x2 y1+y2 2

① ②

①-②得 y1-y2=2p(x1-x2), ∴kAB=

2

2

∴y =4x,∴准线方程为:x=-1,故选 B. 6.(文)抛物线 y =8x 上的点(x0,y0)到抛物线焦点的距离为 3,则|y0|=( A. 2 C.2 [答案] B [解析] 设点 A(x0,y0),过点 A 作 AA1⊥l(l 为准线),则|AF|=|AA1|=x0+2=3 即 x0 =1,代入抛物线方程得|y0|= 8x0=2 2,故选 B. (理)(2010?河北许昌调研)过点 P(-3,1)且方向向量为 a=(2, -5)的光线经直线 y= -2 反射后通过抛物线 y =mx,(m≠0)的焦点,则抛物线的方程为( A.y =-2x C.y =4x [答案] D → [解析] 设过 P(-3,1),方向向量为 a=(2,-5)的直线上任一点 Q(x,y),则PQ∥a, ∴
2 2 2 2

)

B.2 2 D.4

)

3 2 B.y =- x 2 D.y =-4x
2

x+3 y-1
2 = -5

,∴5x+2y+13=0,此直线关于直线 y=-2 对称的直线方程为 5x+2(-4-

?m ? y)+13=0,即 5x-2y+5=0,此直线过抛物线 y2=mx 的焦点 F? ,0?,∴m=-4,故选 D. ?4 ?
7.(文)已知点 P 是抛物线 y =2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该 抛物线准线的距离之和的最小值为( A. 17 2 ) B.3 D. 9 2
2

C. 5 [答案] A

?1 ? 2 [解析] 记抛物线 y =2x 的焦点为 F? ,0?,准线是 l,由抛物线的定义知点 P 到焦点 ?2 ?
F 的距离等于它到准线 l 的距离,因此要求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到抛物线的准线的
距离之和的最小值,可以转化为求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小 值,结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点 F 与点(0,2)的距离,因此所求的最小值等 于

?1?2+22= 17,选 A. ?2? 2 ? ?
(理)(2010?福州市质检)已知 P 为抛物线 y =4x 上一个动点,Q 为圆 x +(y-4) =1
2 2 2

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A.5 C. 17-1 [答案] C

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)

上一个动点,那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( B.8 D. 5+2

[解析] 抛物线 y =4x 的焦点为 F(1,0),圆 x +(y-4) =1 的圆心为 C(0,4),设点 P 到抛物线的准线距离为 d,根据抛物线的定义有 d=|PF|,∴|PQ|+d=|PQ|+|PF|≥(|PC| -1)+|PF|≥|CF|-1= 17-1. 8.(文)(福建厦门)已知抛物线 y =4x 的焦点为 F,准线与 x 轴的交点为 M,N 为抛物线 上的一点,且|NF|= A. C. π 6 π 3 3 |MN|,则∠NMF=( 2 B. D. π 4 5π 12 )
2

2

2

2

[答案] A [ 解析] 3 ?|MN|. 2 在 Rt△NMP 中,sin∠NMP= |NP| 3 π = ? ∠NMP= |NM| 2 3 如图,过点 N 向准线引垂线,垂足为 P,由抛物线的定义知 |NP|= |NF|=

π ? ∠NMF= ,故选 A. 6 7 2 (理)已知点 P 为抛物线 y =2x 上的动点, 点 P 在 y 轴上的射影是 M, 点 A 的坐标是 A( , 2 4),则|PA|+|PM|的最小值是( A. C. 11 2 9 2 ) B.4 D.5

[答案] C

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1 [解析] 如图,焦点 F( ,0), 当 P、A、 F 三点共线时|PA|+|PM|才有最小值,此时|PA| 2 1 1 +|PM|=|PA|+|PF|- ,即|PA|+|PM|的最小值为|FA|- = 2 2 9 ,故选 C. 2 7 1 2 1 1 2 ( - ) +4 - =5- = 2 2 2 2

9.(09?山东)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y =ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴交于点

2

A.若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为(
A.y =±4x C.y =4x [答案] B
2 2

)

B.y =±8x D.y =8x
2

2

? ? [解析] 由抛物线方程知焦点 F? ,0?, ?4 ?
a
∴直线 l 方程为 y=2?x- ?, ? 4? 与 y 轴交点 A?0,- ?. 2? ? 1 ∴S△OAF= ?|OA|?|OF| 2 1 ? a? ?a? a = ??- ??? ?= =4. 2 ? 2? ?4? 16 ∴a =64,a=±8.故 y =±8x.故选 B.
2 2 2

?

a?

?

a?

1 2 10.已知抛物线 C 的方程为 x = y,过点 A(0,-4)和点 B(t,0)的直线与抛物线 C 没有 2 公共点,则实数 t 的取值范围是( A.(-∞,-1)∪(1,+∞) )

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B.?-∞,-

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? ?

2? ? 2 ? ?∪? ,+∞? 2? ? 2 ?

C.(-∞,-2 2)∪(2 2,+∞) D.(-∞,-2 2)∪( 2,+∞) [答案] B 1 ? ?x =2y 由题意知方程组? x y ? ?t+-4=1
2

① 无实数解 ②

[解析]

4x 由②得 y= -4,代入①整理得,

t

4x 16 2 2x - +4=0,∴Δ = 2 -32<0,

t

t

∴t>

2 2 或 t<- ,故选 B. 2 2

1 2 [点评] 可用数形结合法求解, 设过点 A(0, -4)与抛物线 x = y 相切的直线与抛物线 2 切点为 M(x0,y0), 则切线方程为 y-y0=4x0(x-x0), ∵过 A 点,∴-4-2x0=4x0(0-x0), ∴x0=± 2,∴y0=4, ∴切线方程为 y-4=±4 2x-8, 令 y=0 得 x=± 2 2 ,即 t=± , 2 2 2 2 或 t> . 2 2
2

由图形易知直线与抛物线无公共点时,t<- 二、填空题

11.(文)(2010?延边州质检)抛物线的焦点为椭圆 + =1 的左焦点,顶点在椭圆中 9 4 心,则抛物线方程为______. [答案] y =-4 5x [解析] 由 c =9-4=5 得 F(- 5,0), ∴抛物线方程为 y =-4 5x. (理)若点(3,1)是抛物线 y =2px 的一条弦的中点,且这条弦所在直线的斜率为 2,则 p =________. [答案] 2
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2 2 2 2

x2 y2

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[解析] 设弦两端点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),
?y1=2px1 ? 则? 2 ?y2=2px2 ?
2

,两式相减得,

y1-y2 2p = =2, x1-x2 y1+y2

∵y1+y2=2,∴p=2. 12. (文)已知 F 为抛物线 C: y =4x 的焦点, 过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A、 B 两点. 设 |FA|>|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于________. [答案] 3+2 2 [解析] 分别由 A 和 B 向准线作垂线,垂足分别为 A1,B1,则由条件知, |AA1|+|BB1|=|AB|, ? ? ? 2 |AA1|-|BB1|= |AB| ? 2 ? 2+ ? |AA |= ? 4 ,解得? 2- ? ?|BB |= 4
1 1 2

2 |AB| 2 |AB| ,



|AA1| |FA| =3+2 2,即 =3+2 2. |BB1| |FB|
2

(理)(2010?泰安质检)如图, 过抛物线 y =2px(p>0)的焦点的直线 l 依次交抛物线及其 准线于点 A、B、C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是________.

[答案] y =3x [解析] 解法 1:过 A、B 作准线垂线,垂足分别为 A1,B1,则|AA1|=3,|BB1|=|BF|, ∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|,∴|AC|=2|AA1|=2|AF|=6,∴|CF|=3, 1 3 2 ∴p= |CF|= ,∴抛物线方程为 y =3x. 2 2 解法 2:由抛物线定义,|BF|等于 B 到准线的距离,由|BC|=2|BF|得∠BCM=30°,又 |AF|=3, 3 ?p 3 3 3? 2 从而 A? + , ?在抛物线上,代入抛物线方程 y =2px,解得 p=2. ?2 2 2 ? 13.圆心在第一象限,且半径为 1 的圆与抛物线 y =2x 的准线和双曲线 - =1 的渐 16 9 近线都相切,则圆心的坐标是________.
2

2

x2

y2

?1 13? ?1 7? [答案] ? , ?或? , ? ?2 8 ? ?2 8?
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1 2 ∵y =2x 的准线方程为 x=- , 2

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[解析] 设圆心为(a,b),则 a>0,b>0.

- =1 的渐近线方程为 3x±4y=0. 16 9 1 1 由题意知 a+ =1,则 a= , 2 2 |3a±4b| 13 7 =1,解得 b= 或 b= , 5 8 8

x2

y2

?1 13? ?1 7? ∴圆心坐标为? , ?或? , ?. ?2 8 ? ?2 8?
14.(文)(2010?全国Ⅱ理)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的准线为 l,过 M(1,0)且斜率 → → 为 3的直线与 l 相交于点 A,与 C 的一个交点为 B.若AM=MB,则 p=________. [答案] 2 1 [解析] 如图,设 B(x0,y0),由题意知 MK= BH, 2
2

∴x0+ =2?1+ ?,∴x0= +2. 2 ? 2? 2

p

?

p?

p

? ? ∵p>0, 2 2 ∴y0= p +4p, 又直线 AB 方程为 y= 3(x-1), 代入得 p +4p= 3? +2-1?, ?2 ?
p
∴p=2. → → 2 (理)已知点 A(2,0)、B(4,0),动点 P 在抛物线 y =-4x 上运动,则AP?BP取得最小值 时的点 P 的坐标是______. [答案] (0,0)

?-y ,y?,则→ ? y ? → ? y ? → → ? y ? [解析] 设 P? AP=?- -2,y?,BP=?- -4,y?,AP?BP=?- -2? ? 4 4 4 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ?-y -4?+y2= y +5y2+8≥8,当且仅当 y=0 时取等号,此时点 P 的坐标为(0,0). ? 4 ? 16 2 ? ?
三、解答题
2 4

2

2

2

2

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2 2

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x y 3 2 15.(文)若椭圆 C1: + 2=1(0<b<2)的离心率等于 ,抛物线 C2:x =2py(p>0)的焦 4 b 2
点在椭圆 C1 的顶点上. (1)求抛物线 C2 的方程; (2)若过 M(-1,0)的直线 l 与抛物线 C2 交于 E、F 两点,又过 E、F 作抛物线 C2 的切线

l1、l2,当 l1⊥l2 时,求直线 l 的方程.
[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为 a=2,半焦距 c= 4-b ,
2 c 4-b 3 2 由离心率 e= = = 得,b =1. a 2 2 2

∴椭圆的上顶点为(0,1),即抛物线的焦点为(0,1), ∴p=2,抛物线的方程为 x =4y. (2)由题知直线 l 的斜率存在且不为零, 则可设直线 l 的方程为 y=k(x+1), E(x1, y1),
2

F(x2,y2),
1 2 1 ∵y= x ,∴y′= x, 4 2 1 1 ∴切线 l1,l2 的斜率分别为 x1, x2, 2 2 1 1 当 l1⊥l2 时, x1? x2=-1,即 x1?x2=-4, 2 2 由?
?y=k(x+1) ? ?x =4y ?
2 2

得:x -4kx-4k=0,

2

由 Δ =(-4k) -4?(-4k)>0,解得 k<-1 或 k>0. 又 x1?x2=-4k=-4,得 k=1. ∴直线 l 的方程为 y=x+1. (理)(2010?重庆一中)抛物线的顶点在原点,焦点在射线 x-y+1=0(x≥0)上 (1)求抛物线的标准方程; (2)过(1)中抛物线的焦点 F 作动弦 AB,过 A、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为

FA?FB M,求点 M 的轨迹方程,并求出 的值. →2 FM
[解析] (1)射线 x-y+1=0(x≥0)与 y 轴交点(0,1)为抛物线的焦点, ∴抛物线方程为 x =4y. (2)y′= ,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1= ,y2= ,则过抛物线上 A、B 两点的切 2 4 4
2

→ →

x

x2 1

x2 2

x1 1 2 x2 x 2 ?x1+x2,x1x2?, 线方程分别是 y= x- x1,y= x- ,其交点坐标 M? 4 ? 2 4 2 4 ? 2 ?
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2

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设直线 AB 的方程为 y=kx+1, 代入 x =4y 中得,x -4kx-4=0 ∴x1x2=-4,M?
2 2 2

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?x1+x2,-1?,所以点 M 的轨迹方程为 y=-1 ? ? 2 ?
2

x1 ? → ? x2 ? → ? ∵FA=?x1, -1?,FB=?x2, -1? 4 4 ? ? ? ?
→ → ?x1 ??x2 ? ∴FA?FB=x1x2+? -1?? -1? ? 4 ?? 4 ? 1 2 2 =- (x1+x2)-2 4 1 →2 ?x1+x2 ?2 2 -0? +(-1-1)2= (x2 而FM =? 1+x2)+2 4 ? 2 ? → → ∴ =-1. →2
2 2

FA?FB FM

16.(2010?全国Ⅰ)已知抛物线 C:y =4x 的焦点为 F,过点 K(-1,0)的直线 l 与 C 相 交于 A、B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D. (1)证明:点 F 在直线 BD 上; → → 8 (2)设FA?FB= ,求△BDK 的内切圆 M 的方程. 9 [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x1,-y1),l 的方程为 x=my-1(m≠0) (1)将 x=my-1(m≠0)代入 y =4x 并整理得
2

2

y2-4my+4=0,从而 y1+y2=4m,y1y2=4①
直线 BD 的方程为 y-y2= 即 y-y2= 4 ? y2? ?x- 4 ? y2-y1? ?
2

y2+y1 (x-x2) x2-x1

令 y=0,得 x= (2)由(1)知,

y1y2
4

=1,所以点 F(1,0)在直线 BD 上.

x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2, x1x2=(my1-1)(my2-1)=1
→ → → → 因为FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),FA?FB=(x1-1,y1)?(x2-1,y2)=x1x2-(x1 +x2)+1+4=8-4m , 8 4 2 故 8-4m = ,解得 m=± , 9 3
2

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直线 l 的方程为 3x+4y+3=0,3x-4y+3=0. 4 2 从而 y2-y1=± (4m) -4?4=± 7, 3 故 4

y2-y1

=±

3 7

因而直线 BD 的方程为 3x+ 7y-3=0,3x- 7y-3=0. 因为 KF 为∠BKD 的角平分线,故可设圆心 M(t,0),(-1<t<1),M(t,0)到直线 l 及 BD 3|t+1| 3|t-1| 的距离分别为 , , 5 4 由 3|t+1| 3|t-1| 1 3|t+1| 2 = 得 t= 或 t=9(舍去),故圆 M 的半径为 r= = , 5 4 9 5 3

? 1?2 2 4 所以圆 M 的方程为?x- ? +y = . 9 ? 9?
17.(文)(2010?揭阳市模考)已知点 C(1,0),点 A、B 是⊙O:x +y =9 上任意两个不 → → 同的点,且满足AC?BC=0,设 P 为弦 AB 的中点. (1)求点 P 的轨迹 T 的方程; (2)试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点: 它到直线 x=-1 的距离恰好等于到点 C 的距 离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.
2 2

1 → → [解析] (1)法一:连结 CP,由AC?BC=0 知,AC⊥BC,∴|CP|=|AP|=|BP|= |AB|, 2 由垂径定理知|OP| +|AP| =|OA| , 即|OP| +|CP| =9, 设点 P(x,y),有(x +y )+[(x-1) +y ]=9, 化简得,x -x+y =4.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y), 根据题意知,x1+y1=9,x2+y2=9,2x=x1+x2,2y=y1+y2, ∴4x =x1+2x1x2+x2,4y =y1+2y1y2+y2 故 4x +4y =(x1+y1)+(2x1x2+2y1y2)+(x2+y2)=18+2(x1x2+y1y2)① → → 又∵AC?BC=0,∴(1-x1,-y1)?(1-x2,-y2)=0 ∴(1-x1)?(1-x2)+y1y2=0,故 x1x2+y1y2=(x1+x2)-1=2x-1, 代入①式得,4x +4y =18+2(2x-1), 化简得,x -x+y =4. (2)根据抛物线的定义,到直线 x=-1 的距离等于到点 C(1,0)的距离的点都在抛物线
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

p y2=2px 上,其中 =1,∴p=2,故抛物线方程为 y2=4x,
2
? ?y =4x 由方程组? 2 2 ?x -x+y =4 ?
2 2

得,x +3x-4=0,

解得 x1=1,x2=-4, 由于 x≥0,故取 x=1,此时 y=±2, 故满足条件的点存在,其坐标为(1,-2)和(1,2). (理)(2010?安徽淮南)如图,A、B 是抛物线 C:y =2px(p>0)上的两个动点,F 是焦点, 直线 AB 不垂直于 x 轴且交 x 轴于点 D.
2

→ → π OA?OB (1)若 D 与 F 重合,且直线 AB 的倾斜角为 ,求证: 是常数(O 是坐标原点); 4 p2 (2)若|AF|+|BF|=8,线段 AB 的垂直平分线恒过定点 Q(6,0),求抛物线 C 的方程. [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2), (1)由已知可设直线 AB 方程是 y=x- 2
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p

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y =2px ? ? 由? p y=x- ? 2 ?

2

? x -3px+ =0 4

2

p2

? x1+x2=3p,x1x2= . 4

p2

x1x2+?x1- ??x2- ? → → 2?? 2? OA?OB x1x2+y1y2 ? ∴ = = 2 2 2 p p p
2x1x2- (x1+x2)+ 2 4

?

p??

p?

p

p2



p2

2? - ?3p+ 4 2 4 = 2

p2 p

p2

p

3 =- 为常数. 4 (2)由抛物线的方程可知其准线方程为 x=- ,则根据抛物线定义可得: 2 |AF|+|BF|=x1+ +x2+ =x1+x2+p=8 2 2 ∴x1+x2=8-p ∵Q(6,0)在线段 AB 的中垂线上,∴|QA|=|QB|, 即(x1-6) +y1=(x2-6) +y2, 又 y1=2px1,y2=2px2 ∴(x1-6) +2px1=(x2-6) +2px2 (x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0 ∵x1≠x2,∴x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0 ∴p=4,所求的抛物线方程为 y =8x.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

p

p

p

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