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2015高考数学试题分类汇编解析几何部分


2015 年高考理科数学试题分类汇编解析几何部分 (新课标全国 II ) 7 .过三点 A(1,3) , B(4, 2) , C (1, ?7) 的圆交 y 轴于 M , N 两点,则 | MN |? ( ) A.2 6 【答案】C 【解析】 由已知得 k AB ? B.8 C.4 6 D.10

3? 2 1 2?7 ?? , kCB ? ? ?3 , 所以 k AB kCB ? ?1 , 所以 AB ? CB , 1? 4 3 4 ?1

即 ?ABC 为 直 角 三 角 形 , 其 外 接 圆 圆 心 为 (1, ?2) , 半 径 为 5 , 所 以 外 接 圆 方 程 为

( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 25 ,令 x ? 0 ,得 y ? ?2 6 ? 2 ,所以 MN ? 4 6 ,故选 C.
考点:圆的方程. (新课标全国 II)11.已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,?ABM 为等腰 三角形,且顶角为 120° ,则 E 的离心率为( ) A. 5 【答案】D 【解析】 试题分析:设双曲线方程为 B. 2 C. 3 D. 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , 如 图 所 示 , AB ? BM , a 2 b2

?ABM ? 1200 , 过 点 M 作 MN ? x 轴 , 垂 足 为 N , 在 R t? B M N中 , BN ? a,

MN ? 3a ,故点 M 的坐标为 M (2a, 3a) ,代入双曲线方程得 a2 ? b2 ? a2 ? c2 ,即
c 2 ? 2a 2 ,所以 e ? 2 ,故选 D.
考点:双曲线的标准方程和简单几何性质.

(新课标全国 II)20. (本题满分 12 分)

l 与 C 有两个交 已知椭圆 C : 9 x2 ? y 2 ? m2 (m ? 0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,
点 A , B ,线段 AB 的中点为 M . (Ⅰ )证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ )若 l 过点 (

m , m ) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P ,四边形 OAPB 能否为平行四边形? 3

若能,求此时 l 的斜率,若不能,说明理由. 【答案】(Ⅰ )详见解析; (Ⅱ )能, 4 ? 7 或 4 ? 7 . 【解析】 试题分析:(Ⅰ )题中涉及弦的中点坐标问题,故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方 法求解:设端点 A, B 的坐标,代入椭圆方程并作差,出现弦 AB 的中点和直线 l 的斜率;设 直线 l 的方程同时和椭圆方程联立,利用韦达定理求弦 AB 的中点,并寻找两条直线斜率关 系; (Ⅱ ) 根据(Ⅰ )中结论, 设直线 OM 方程并与椭圆方程联立, 求得 M 坐标, 利用 xP ? 2xM 以及直线 l 过点 (

m , m ) 列方程求 k 的值. 3

试题解析:(Ⅰ )设直线 l : y ? kx ? b (k ? 0, b ? 0) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , M ( xM , yM ) . 将

y ? kx ? b





9 x2 ?

2 y ?

2 得 m

(k 2 ? 9) x2 ? 2kbx ? b2 ? m2 ? 0





xM ?

x1 ? x2 kb ?? 2 , 2 k ?9
9b y 9 .于是直线 OM 的斜率 kOM ? M ? ? ,即 kOM ? k ? ?9 .所以直 k ?9 xM k
2

yM ? kxM ? b ?

线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. (Ⅱ )四边形 OAPB 能为平行四边形. 因为直线 l 过点 (

m , m ) ,所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k ? 0 , k ? 3 . 3

9 由 (Ⅰ ) 得 OM 的 方 程 为 y ? ? x . 设 点 P 的 横 坐 标 为 xP . 由 k

9 ? ? y ? ? x, 得 k ? ?9 x 2 ? y 2 ? m 2 , ?

xP 2 ?

m m(3 ? k ) k 2 m2 ? km , 即 xP ? . 将点 ( , m ) 的坐标代入直线 l 的方程得 b ? , 2 3 3 9k ? 81 3 k2 ? 9

因此 xM ?

mk (k ? 3) . 四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分, 3(k 2 ? 9)

即 xP ? 2xM .于是

? km 3 k2 ? 9

?

2?

mk (k ? 3) .解得 k1 ? 4 ? 7 , k2 ? 4 ? 7 .因为 ki ? 0, ki ? 3 , i ? 1 , 2 ,所以当 l 3(k 2 ? 9)

的斜率为

4 ? 7 或 4 ? 7 时,四边形 OAPB 为平行四边形.
考点:1、弦的中点问题;2、直线和椭圆的位置关系. (新课标全国 I)5.已知 M(x0,y0)是双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1上的一点,F1、F2 是 C 2

上的两个焦点,若 MF1 ? MF2 <0,则 y0 的取值范围是 (A) (-

3 3 , ) 3 3
2 2 2 2 , ) 3 3

(B) (-

3 3 , ) 6 6
2 3 2 3 , ) 3 3

(C) (?

(D) (?

【答案】A

考点:向量数量积;双曲线的标准方程 (新课标全国 I)14.一个圆经过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的三个顶点,且圆心在 x 轴上,则 16 4

该圆的标准方程为



3 25 【答案】 ( x ? ) 2 ? y 2 ? 2 4

【解析】
3 2 试题分析: 设圆心为 (a, 0) , 则半径为 4? | a | , 则4 , 解得 a ? ? , ( |? )| a | |2 2 ? a2 ? 2

3 25 故圆的方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ? .学科网 2 4
考点:椭圆的几何性质;圆 的标准方程

[来源:学科网]

(新课标全国 I)20(本小题满分 12 分)

在直角坐标系 xoy 中,曲线 C:y=

x2 与直线 y ? kx ? a ( a >0)交与 M,N 两点, 4

(Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由。 【答案】 (Ⅰ) ax ? y ? a ? 0 或 ax ? y ? a ? 0 (Ⅱ)存在 【解析】 试题分析: (Ⅰ)先求出 M,N 的坐标,再利用导数求出 M,N.(Ⅱ)先作出判定, 再利用设而不求思想即将 y ? kx ? a 代入曲线 C 的方程整理成关于 x 的一元二次 方程,设出 M,N 的坐标和 P 点坐标,利用设而不求思想,将直线 PM,PN 的斜率 之和用 a 表示出 来,利用直线 PM,PN 的斜率为 0,即可求出 a , b 关系,从而找出 适合条件的 P 点坐标. 试题解析: (Ⅰ) 由题设可得 M (2 a , a) , 或 M (?2 2, a) , N (?2 2, a) , N (2 a , a) . ∵ y? ? 为
1 x2 x ,故 y ? 在 x = 2 2a 处的到数值为 a ,C 在 (2 2a, a) 处的切线方程 2 4

y ? a ? a ( x ? 2 a ) ,即 ax ? y ? a ? 0 .
故y?
x2 在 x =- 2 2a 处的到数值为- a ,C 在 (?2 2a, a) 处的切线方程为 4

y ? a ? ? a ( x ? 2 a ) ,即 ax ? y ? a ? 0 .
故所求切线方程为 ax ? y ? a ? 0 或 ax ? y ? a ? 0 . (Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下: 设 P(0,b)为复合题意得点, M ( x1, y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,直线 PM,PN 的斜率分 别为 k1 , k2 . ??5 分

将 y ? kx ? a 代入 C 得方程整理得 x2 ? 4kx ? 4a ? 0 . ∴ x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4a . ∴ k1 ? k2 ?
y1 ? b y2 ? b 2kx1 x2 ? (a ? b)( x1 ? x2 ) k ( a ? b) = = . ? a x1 x2 x1 x2

当 b ? ? a 时,有 k1 ? k2 =0,则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补, 故∠OPM=∠OPN,所以 P(0, ?a) 符合题意. ??12 分

考点:抛物线的切线;直线与抛物线位置关系;探索新问题;运算求解能力 (2015 安徽) (4)下列双曲线中,焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y ? ?2 x 的是( (A)x ?
2



y2 ?1 4

(B)

x2 ? y2 ? 1 4

(C)

y2 ? x2 ? 1 4

(D)

x2 y ? ?1 4
2

【答案】C 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 , 选 项 A, B 的 焦 点 在 x 轴 , 故 排 除 A, B , C 项 的 渐 近 线 方 程 为

y2 ? x 2 ? 0 ,即 y ? ?2 x ,故选 C. 4
考点:1.双曲线的渐近线.

(20)(2015 安徽) (本小题满分 13 分) 设椭圆 E 的方程为 点 B 的坐标为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ? a, 0? , a 2 b2

b? ,点 M 在线段 AB 上,满足 BM ? 0,
(I)求 E 的离心率 e;

? 2 MA ,直线 OM 的斜率为

5 . 10

(II)设点 C 的坐标为 ? 0, ? b? ,N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的

纵坐标为

7 ,求 2
E 的方程.

【答案】 (I)

x2 y 2 2 5 ? ?1. ; (II) 45 9 5

试题解析: (I)由题设条件知,点 M 的坐标为 ( a , b ) ,又 kOM ? 进而得

2 3

1 3

5 b 5 ? ,从而 , 10 2a 10

a ? 5b, c ? a 2 ? b2 ? 2b ,故 e ?

c 2 5 ? . a 5
x y ? ? 1 ,点 N 的坐标为 5b b

(II)由题设条件和(I)的计算结果可得,直线 AB 的方程为

(

7 5 1 b, ? b) ,设点 N 关于直线 AB 的对称点 S 的坐标为 ( x1 , ) ,则线段 NS 的中点 T 的 2 2 2

坐标为 (

x 5 1 7 b ? 1 ,? b ? ). 又 点 T 在 直 线 AB 上 , 且 kN S? k 4 2 4 4

A B

? ?1 , 从 而 有

? 5 x 1 7 b? 1 ? b? ? 2 ? 4 4 ?1 ? 4 b 5b ? x2 y 2 ? E b ? 3 ? ?1. 解得 ,所以 ,故椭圆 的方程 为 b ? 3 5 ? 7 1 45 9 ? b ? 2 2 ? 5 ? 5b ? x1 ? ? ? 2
科。网 Z。X。X。K]

[来源:学。

考点:1.椭圆的离心率;2.椭圆的标准方程;3.点点关于直线对称的应用. (2015 北京)10.已知双曲线 .

x2 ? y 2 ? 1? a ? 0? 的一条渐近线为 3x ? y ? 0 ,则 a ? a2

【答案】

3 3

考点:双曲线的几何性质 (2015 北京)19.(本小题 14 分)
2 x2 y 2 1? 和点 A? m , n ? ? m ≠ 0? 都 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的离心率为 , 点 P?0, 2 a b

在椭圆 C 上,直线 PA 交 x 轴于点 M . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程,并求点 M 的坐标(用 m , n 表示) ; (Ⅱ)设 O 为原点,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,直线 PB 交 x 轴于点 N .问: y 轴上是 否存在点 Q ,使得 ?OQM ? ?ONQ ?若存在,求点 Q 的坐标;若不存在,说明理由. 【答案】 【解析】 试题分析:椭圆 C :
2 x2 y 2 1? 在椭圆上,利用 ,点 P ? 0 , ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的离心率为 2 2 a b
2

条件列方程组,解出待定系数 a

1? 和点 ? 2,b 2 ? 1 ,写出椭圆方程;由点 P ? 0 ,

A? m , n ? ? m ≠ 0? , 写出 PA 直线方程, 令 y ? 0 求出 x 值, 写出直线与 x 轴交点坐标;
由点 P(0,1),B(m ,?n ),写出直线 PB 的方程, 令 y ? 0 求出 x 值,写出点 N 的坐标, 设 Q(0,y 0 ),

?OQM ? ?ONQ ,? tan ?OQM ? tan ?ONQ 求出 tan ?OQM 和
使得 2)

tan ?ONQ ,利用二者相等,求出 y 0 ? ? 2 ,则存在点 Q(0, ?
?OQM ? ?ONQ .

试题解析: (Ⅰ)由于椭圆 C :

2 x2 y 2 1? 且离心率为 , ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 过点 P ? 0 , 2 2 a b

1

b2
x2
2

? 1,b 2 ? 1, e 2 ?

c2 a2 ? b 2 1 1 ? ? 1 ? 2 ? , a 2 ? 2 ,椭圆 C 的方程为 2 2 2 a a a

? y 2 ? 1.

P(0,1),A(m ,n ),直线 PA 的方程为: y ?

n ?1 m x ? 1 ,令 y ? 0,x ? , m 1?n

? M( ,0); 1?n

m

考点:1.求椭圆方程;2.求直线方程及与坐标轴的交点;3.存在性问题. (2015 福建) 3. 若双曲线 E :

x2 y 2 ? ? 1 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 , 点 P 在双曲线 E 上, 9 16

且 PF 1 ? 3 ,则 PF2 等于( ) A.11 【答案】B 【解析】 试题分析:由双曲线定义得 PF1 ? PF2 ? 2a ? 6 ,即 3 ? PF2 ? 6 ,解得 PF2 ? 9 ,故 选 B. 考点:双曲线的标准方程和定义. B.9 C.5 D.3

x2 y 2 2 (2015 福建)18..已知椭圆 E: 2 + 2 = 1(a > b > 0) 过点 (0, 2) ,且离心率为 . a b 2
( Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

(Ⅱ)设直线 x = my - 1 ,(m

9 R)交椭圆 E 于 A,B 两点,判断点 G (- ,0)与以线段 AB 为 4

直径的圆的位置关系,并说明理由. 【答案】(Ⅰ)

9 x2 y 2 + = 1 ;(Ⅱ) G (- ,0)在以 AB 为直径的圆外. 4 4 2

G 在圆上.
试题解析:解法一:(Ⅰ)由已知得

ì b = 2, ? ì a =2 ? ? 2 ? ? c = , 解得 í b = 2 í 2 ? ? a ? ? a 2 = b2 + c2 , ?c= 2 ? ?
x2 y 2 + =1 . 所以椭圆 E 的方程为 4 2



|AB|2 5 25 5m2 3(m2 +1) 25 17m2 + 2 2 |GH| = my0 + (m +1) y1 y2 + = + = >0 4 2 16 2(m2 + 2) m2 + 2 16 16(m2 + 2)
2

所以 |GH|>

|AB| 9 ,故 G (- ,0)在以 AB 为直径的圆外. 2 4 9 4 9 4

解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设点 A( x1 y1 ),B( x2 , y 2 ), ,则 GA = ( x1 + , y1 ), GB = ( x2 + , y2 ).

ì x = my - 1 ? 2m 3 由 í x2 y 2 得(m2 + 2) y 2 - 2my - 3 = 0, 所以 y1 + y 2 = 2 , y1 y 2 = 2 , m +2 m +2 ? + =1 ? ? 4 2
从而 GA GB = ( x1 + )( x2 + ) + y1 y2 = (my1 + )(my 2 + ) + y1 y2

[来源:学科网 ZXXK]

9 4

9 4

5 4

5 4

5 25 5m2 3(m2 +1) 25 17m2 + 2 = (m2 +1) y1 y2 + m( y1 + y2 ) + = + = >0 4 16 2(m2 + 2) m2 + 2 16 16(m2 + 2)
所以 cos狁 GA,GB > 0, 又GA, GB 不共线,所以 ?AGB 为锐角. 故点 G (- ,0)在以 AB 为直径的圆外. 考点:1、椭圆的标准方程;2、直线和椭圆的位置关系;3、点和圆的位置关系. (2015 广东)5.平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 且与圆 x ? y ? 5 相切的直线的方程是
2 2

9 4

A . 2x ? y ? 5 ? 0 或 2x ? y ? 5 ? 0

B. 2x ? y ? 5 ? 0 或 2x ? y ? 5 ? 0

C. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 【答案】 D .

D. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0

【考点定位】本题考查直线与圆的位置关系,属于容易题. (2015 广东)7.已知双曲线 C : 双曲线 C 的方程为 A.

5 x2 y 2 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ,且其右焦点 F2 ? 5,0? ,则 2 4 a b

x2 y2 ? ?1 4 3

B.

x2 y2 ? ?1 16 9

C.

x2 y2 ? ?1 9 16

D.

x2 y2 ? ?1 3 4

【答案】 B . 【解析】因为所求双曲线的右焦点为 F2 ? 5,0? 且离心率为 e ?

c 5 ? ,所以 c ? 5 , a ? 4 , a 4

b2 ? c 2 ? a 2 ? 9 所以所求双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,故选 B . 16 9

【考点定位】本题考查双曲线的 标准方程及其简单基本性质,属于容易题. (2015 广东)20. (本小题满分 14 分) 已知过原点的动直线 l 与圆 C1 : x2 + y 2 - 6 x + 5 = 0 相交于不同的两点 A , B . (1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k ,使得直线 L : y = k ( x - 4) 与曲线 C 只有一个交点:若存在, 求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由. 【答案】 (1)? 3,0 ? ; (2)? x ? ? ? y 2 ?

? ?

3? 2?

2

9?5 ? ? 3 3? ? 2 5 2 5 ? (3)k ? ?? , ? ? ? , ?. ? ? x ? 3? ; 4? 3 7 ? ? ? 4 4? ? 7
2

【解析】 (1)由 x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 得 ? x ? 3? ? y 2 ? 4 , ∴ 圆 C1 的圆心坐标为 ? 3,0 ? ; (2)设 M ? x, y ? ,则

∵ 点 M 为弦 AB 中点即 C1M ? AB , ∴ kC1M ? k AB ? ?1 即

y y ? ? ?1 , x ?3 x
2

3? 9?5 ? ? ∴ 线段 AB 的中点 M 的轨迹的方程为 ? x ? ? ? y 2 ? ? ? x ? 3 ? ; 2? 4? 3 ? ?
(3) 由 (2) 知点 M 的轨迹是以 C ? ,0 ? 为圆心 r ?

?3 ?2

? ?

3 为半径的部分圆弧 EF(如下图所示, 2

不包括两端点) ,且 E ? ,

?5 2 5 ? ?5 2 5? ,F ? ? ? 3,? 3 ? ? ,又 直线 L : y ? k ? x ? 4? 过定点 D ? 4,0? , ?3 3 ? ? ? ? ?
L y

E D O C F x

[来源:Z+xx+k.Com]

当 直 线 L 与 圆 C

相 切 时 , 由

?3 ? k ? ? 4? ? 0 2 ? ? k 2 ? 12

?

3 3 得 k?? , 又 4 2

k DE ? ?k DF

? 2 5? 0??? ? 3 ? 2 5 ? 3 3? ? 2 5 2 5 ? ? ?? ? , 结合上图可知当 k ? ?? , ? ? ? , ? 时,直 5 7 7 ? ? 4 4? ? 7 4? 3

线 L : y ? k ? x ? 4? 与曲线 C 只有一个交点. 【考点定位】本题考查圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用, 属于中高档题. 13.(2015 湖南)设 F 是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点,若 C 上存 在点 P,使线段 PF a 2 b2

的中点恰为其虚轴的一 个端点,则 C 的离心率为 【答案】 5 . .

考点:双曲线的标准 方程及其性质. (2015 湖南)20.已知抛物线 C1 : x2 ? 4 y 的焦点 F 也是椭圆 C2 : 一个焦点, C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6 . (1)求 C2 的方程; (2)过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A、B 两点,与 C2 相交于 C、D 两点,且 AC 与 BD 同向 (ⅰ)若 | AC |?| BD | ,求直线 l 的斜率 (ⅱ)设 C1 在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M,证明:直线 l 绕点 F 旋转时, ?MFD 总是 钝角三角形 【答案】 (1) 【解析】 试题分析: (1)根据已知条件可求得 C2 的焦点坐标为 (0,1) ,再利用公共弦长为 2 6 即可 求解; (2) (i)设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1.由 ?

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

y 2 x2 6 ? ? 1; (2) (i) ? , (ii)详见解析. 9 8 4

? y ? kx ? 1 2 得 x +16kx-64=0, 2 ? x ? 4y

根据条件可知 AC = BD ,从而可以建立关于 k 的方程,即可求解; ( ii)根据条件可说明

FA ? FM =

x12 2

- y1 ? 1 =

x12 4

+1>0,因此 ?AFM 是锐角,从而 ?MFD ? 180 ? ?AFM 是
o

钝角,即可得证

试题解析: (1)由 C1 : x2 ? 4 y 知其焦点 F 的坐标为(0,1) ,因为 F 也是椭圆 C2 的一焦点,
1 又 C 与 C 的公共弦的长为 2 6 ,C 与 C 都关于 y 轴对称,且 C 的方 所以 a ? b ? 1 ○ 1 2 1 2 1
2 2

程为 x2 ? 4 y ,由此易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为( ? 6,
1 ,○ 2 得 a =9, b =8,故 C 的方程为 联立○ 2
2 2

3 9 6 2 , ) ,所以 2 ? 2 ? 1 ○ 2 4a b

x2 y 2 3 ; ? ?1 ○ (2)如图 f ,设 A( x1 , y1 ) 9 8

B( x2 , y2 )C( x3 , y3 )D( x4 , y4 ). (i)因 AC 与 BD 同向,且|AC|=|BD|,所以 AC = BD ,从而 x3 ? x1 = x4 ? x2 ,即

x1 ? x2 = x3 ? x4 ,于是 ? x1 ? x2 ? -4 x1 x2 =
2

? x3 ? x4 ?

2

3 -4 x3 x4 ○

设直线 l 的斜率为 k, 则 l 的方程为 y=kx+1.由 ?

? y ? kx ? 1 2 得 x +16kx-64=0.而 x1 ,x 2 是这个 2 ? x ? 4y

? y ? kx ? 1 ? 2 2 4 , 方程的两根.所以 x1 ? x2 =4k,x1 x2 =-4○ 由 ? x2 y 2 得 (9+8 k )x +16kx-64=0.而 x3 , ?1 ? ? 9 ?8

x 4 是这个方程的两根.所以

x3 ? x4 =即

16k 64 4 ? 64 16k 2 5 , 4 ○ 5 带入○ 3 , , ○ 将○ 得 16 ( k +1) = + , x3 x4 =2 2 2 2 2 9 ? 8k 9 ? 8k 9 ? 8 k ? 9 ? 8k ?

16( k +1)=

2

162 ? 9(k 2 ? 1)

? 9 ? 8k ?

2 2

,所以 9 ? 8k

?

2 2

?

= 16 ? 9 ,解得 k= ?

6 ,即直线 l 的斜率为 4

?

6 . 4

(ii)由 x ? 4 y 得 y =
2
'

x x ,所以 C1 在点 A 处的切线方程为 y- y1 = 1 (x- x1 ) ,即 2 2
x1 x x ,即 M( 1 ,0),所以 FM =( 1 ,-1).而 FA =( x1 , y1 ? 1 ).于是 2 2 2
+1>0,因此 ?AFM 是锐角,从而 ?MFD ? 180 ? ?AFM 是
o

y= x1 x -

x12 4

.令 y=0 得 x=

FA ? FM =

x12 2

- y1 ? 1 =

x12 4

钝角. 故直线 l 绕点 F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形. 考点:1.椭圆的标准方程及其性质;2.直线与椭圆 位置关系. (2015 江苏)10.在平面直角坐标系 xOy 中,以点 (1,0) 为圆心且与直线

m x ? y ? 2m ? 1 ? 0(m ? R) 相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为
【答案】 ( x ? 1)2 ? y2 ? 2.

考点:直线与圆位置关系 (2015 江苏)12.在平面直角坐标系 xOy 中, P 为双曲线 x ? y ? 1 右支上的一个动点。
2 2

若点 P 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离大于 c 恒成立,则是实数 c 的最大值为 【答案】 【解析】
2 2

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

试题分析:设 P( x, y ), ( x ? 1) ,因为直线 x ? y ? 1 ? 0 平行于渐近线 x ? y ? 0 ,所以 c 的最大值 为直线 x ? y ? 1 ? 0 与渐近线 x ? y ? 0 之间距离,为 考点:双曲线渐近线,恒成立转化 (2015 江苏)18.(本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标 系 xOy 中,已知椭圆 且右焦点 F 到左 准线 l 的距离为 3. (1)求椭圆的标准方程; (2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P,C,若 PC=2AB,求直线 AB 的方程.
1 2 ? 2 . 2

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 , 2 a b 2

【答案】 (1)

x2 ? y 2 ? 1(2) y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 . 2

(2)当 ?? ? x 轴时, ?? ? 2 ,又 C? ? 3 ,不合题意. 当 ?? 与 x 轴不垂直时,设直线 ?? 的方程为 y ? k ? x ?1? , ? ? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? , 将 ?? 的方程代入椭圆方程,得 1 ? 2k

?

2

?x

2

? 4k 2 x ? 2 ? k 2 ? 1? ? 0 ,

则x

1,2

?

2k 2 ? 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2
2

? 2k 2 ?k ? , , C 的坐标为 ? 2 2 ? ,且 ? 1 ? 2k 1 ? 2k ?
2

?? ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?

?

?1 ? k ? ? x
2

2

? x1 ? ?
2

2 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2



若 k ? 0 ,则线段 ?? 的垂直平分线为 y 轴,与左准线平行,不合题意. 从而 k ? 0 ,故直线 ? C 的方程为 y ?

k 1? 2k 2 ? ? ? x ? ? ?, 1 ? 2k 2 k ? 1 ? 2k 2 ?

? 2 ? 3k 2 ? 1? 1 ? k 2 5k 2 ? 2 ? ? ? 则 ? 点的坐标为 ?2, ,从而 ?C ? . ? k ?1 ? 2k 2 ? ? k ?1 ? 2k 2 ? ? ?
因为 ?C ? 2 ?? ,所以

2 ? 3k 2 ? 1? 1 ? k 2 k ?1 ? 2k 2 ?

?

4 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2

,解得 k ? ?1 .

此时直线 ?? 方程为 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 . 考点:椭圆方程,直线与椭圆位置关系

(2015 陕西)14.若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线经过双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的一个焦点,则 p= .

【答案】 2 2

考点:1、抛物线的简单几何性质;2、双曲线的简单几何性质. (2015 陕西) 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 ? : 原点 ? 到经过两点

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) 的半焦距为 c , a 2 b2

(I)求椭圆 ? 的离心率;

? c, 0? , ? 0, b ? 的直线的距离为 2 c .
2 2

1

(II)如图, ?? 是圆 ? : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 求椭圆 ? 的方 程.

5 的一条直径,若椭圆 ? 经过 ? , ? 两点, 2

【答案】 (I) 【解析】

x2 y 2 3 ? ? 1. ; (II) 12 3 2

试题分析: (I)先写过点 ? c, 0 ? , ? 0, b ? 的直线方程,再计算原点 ? 到该直线的距离,进而 可得椭圆 ? 的离心率; (II) 先由 (I) 知椭圆 ? 的方程, 设 ?? 的方程, 联立 ?

? y ? k ? x ? 2? ? 1 ? , 2 2 2 x ? 4 y ? 4 b ? ?
2

消去 y ,可得 x1 ? x2 和 x1 x2 的值,进而可得 k ,再利用 ?? ? 10 可得 b 的值,进而可得 椭圆 ? 的方程. 试题解析: (I)过点(c,0),(0,b)的直线方程为 bx + cy - bc = 0 ,

则原点 O 到直线的距离 d ?

bc b ?c
2 2

?

bc , a

由d =

1 c 3 c ,得 a = 2b = 2 a2 - c2 ,解得离心率 = . 2 a 2
(1)

(II)解法一:由(I)知,椭圆 E 的方程为 x 2 + 4 y 2 = 4b2 . 依题意,圆心 M(-2,1)是线段 AB 的中点,且 | AB|= 10 . 易知,AB 不与 x 轴垂直,设其直线方程为 y = k ( x + 2) +1 ,代入(1)得

(1 + 4k 2 ) x2 +8k (2k +1) x + 4(2k +1)2 - 4b2 = 0
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x1 + x2 = 由 x1 + x2 = - 4 ,得 从而 x1 x2 = 8 - 2b2 . 于是 | AB |? 1 ? ?

8k (2k +1) 4(2k +1) 2 - 4b 2 , x x = . 1 2 1 + 4k 2 1 + 4k 2

8k (2k +1) 1 = - 4, 解得 k = . 2 1 + 4k 2

5 ?1? ? | x1 ? x2 |? 2 ?2?

2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 10(b 2 ? 2) .

2 2 由 | AB|= 10 ,得 10(b - 2) = 10 ,解得 b = 3 .

故椭圆 E 的方程为

x2 y 2 + =1 . 12 3
2 2 2

解 法二:由(I)知,椭圆 E 的方程为 x + 4 y = 4b . 依题意,点 A,B 关于圆心 M(-2,1)对称,且 | AB|= 10 . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x12 + 4 y12 = 4b2 , x22 + 4 y22 = 4b2 ,

(2)

两式相减并结合 x1 + x2 = - 4, y1 + y2 = 2, 得 -4( x1 - x2 ) +8 y1 - y2 = 0 . 易知,AB 不与 x 轴垂直,则 x1 ? x2 ,所以 AB 的斜率 k AB = 因此 AB 直线方程为 y =

(

)

y1 - y2 1 = . x1 - x2 2

1 ( x + 2) +1 ,代入(2)得 x2 + 4 x +8 - 2b2 = 0. 2
2

所以 x1 + x2 = - 4 , x1 x2 = 8 - 2b .

5 ?1? 于是 | AB |? 1 ? ? ? | x1 ? x2 |? 2 ?2?

2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 10(b 2 ? 2) .

2 2 由 | AB|= 10 ,得 10(b - 2) = 10 ,解得 b = 3 .

故椭圆 E 的方程为

x2 y 2 + =1 . 12 3

考点:1、直线方程;2、点到直线的距离公式;3、椭圆的简单几何性质;4、椭圆的方程; 5、圆的方程;6、直线与圆的位置关系;7、直线与圆锥曲线的位置.

y2 ? 1的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐 (2015 四川)5.过双曲线 x ? 3
2

近线于 A,B 两点,则 AB ? ( (A)

) (C)6 (D) 4 3

4 3 3

(B) 2 3

【答案】D

考点:双曲线.
2 2 2 9.(2015 四川) 设直线 l 与抛物线 y ? 4 x 相交于 A, B 两点, 与圆 ? x ? 5 ? ? y ? r ? r ? 0 ?
2

相切于点 M, 且 M 为线段 AB 的中点.若这样的直线 l 恰有 4 条, 则 r 的取值范围是 ( (A) ?1, 3? (B) ?1, 4? (C) ? 2, 3? (D) ? 2, 4?



6 5 4 3 2 1

y

A

M F C
2 3 4 5 6 7 8 9

x

–4

–3

–2

–1

O
–1 –2 –3 –4 –5 –6

1

B

【答案】D

考点:直线与圆锥曲线,不等式. (2015 四川)20.如图,椭圆 E:

x2 y2 2 + 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 ,过点 P(0,1)的 2 a b 2

动直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点,当直线 l 平行与 x 轴 时,直线 l 被椭圆 E 截得的线段长 为2 2 . (1)求椭圆 E 的方程; (2) 在平面直角坐标系 xOy 中, 是否存在与点 P 不同的定点 Q, 使得 若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

QA PA 恒成立? ? QB PB

【答案】 (1) 【解析】

x2 y 2 ? ? 1; (2)存在,Q 点的坐标为 Q (0, 2) . 4 2

试题分析: (1 )根据椭圆的对称性,当直线 l 与 x 轴平行时, B(? 2,1), A( 2,1) ,将这个 点的坐标代入椭圆的方程,得

2 1 c 2 2 2 2 ? 2 ? 1 .再根据离心率得 ? ,又 a ?b ?c ,三者 2 a b a 2

x2 y 2 ? ? 1 .(2)先利用 l 与 x 联立,解方程组即可得 a ? 2, b ? 2 ,进而得椭圆的方程为 4 2
轴平行和垂直这两种特殊情况找出点 Q 的坐标为 Q (0, 2) .接下来联立直线与椭圆的方程, 利 用根与系数的关系证明:对任意的直线 l ,均有

| QA | | PA | ? .设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由图 | QB | | PB |

可看出

| QA | | PA | | QA | | x1 | | PA | | x1 | ? ,为了证明 ,只需证明 ,为此作点 B 关于 y ? ? | QB | | PB | | QB | | x2 | | PB | | x2 |

轴对称的点 B?(? x2 , y2 ) ,这样将问题转化为证 Q, A, B? 三点共线. 试题解析: (1)由已知,点 ( 2,1) 在椭圆 E 上.

?2 1 ? a 2 ? b 2 ? 1, ? ? 2 2 2 因此, ?a ? b ? c , ? ?c ? 2 , ? 2 ?a
解得 a ? 2, b ? 2 .

x2 y 2 ? ? 1. 所以椭圆的方程为 4 2
(2)当直线 l 与 x 轴平行时,设直线 l 与椭圆相交于 C 、D 两点. 如果存在定点 Q 满足条件,则

| QC | | PC | ? ? 1 ,即 | QC |?| QD | . | QD | | PD |

[来源:Z。xx。k.Com]

所以 Q 点在 y 轴上,可设 Q 点的坐标为 (0, y0 ) . 当直线 l 与 x 轴垂直时,设直线 l 与椭圆相交于 M、N 两点.

则 M (0, 2), N (0, ? 2) , 由

| QM | | PM | |y ? 2| 2 ?1 ? ,有 0 ,解得 y0 ? 1 或 y0 ? 2 . ? | QN | | PN | | y0 ? 2 | 2 ?1

所以,若存在不同于点 P 的定点 Q 满足条件,则 Q 点的坐标 只可能为 Q (0, 2) . 下面证明:对任意的直线 l ,均有

| QA | | PA | ? . | QB | | PB |

当直线 l 的斜率不存在时,由上可知,结论成立. 当直线 l 的斜率存在时, 可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 , A、 B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) .

? x2 y 2 ?1 ? ? , 得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4kx ? 2 ? 0 . 联立 ? 4 2 ? y ? kx ? 1 ?
其判别式 ? ? 16k ? 8(2k ? 1) ? 0 ,
2 2

所以, x1 ? x2 ? ? 因此

4k 2 , x1 x2 ? ? 2 . 2 2k ? 1 2k ? 1

1 1 x1 ? x2 ? ? ? 2k . x1 x2 x1 x2

易知,点 B 关于 y 轴对称的点的坐标为 B?(? x2 , y2 ) .

又 kQA ?

y1 ? 2 y ?2 1 1 1 ? k ? , kQB? ? 2 ? ?k ? ? k ? , x1 x1 ? x2 x2 x1

所以 kQA ? kQB? ,即 Q, A, B? 三点共线. 所以

| QA | | QA | | x1 | | PA | . ? ? ? | QB | | QB? | | x2 | | PB |

故存在与 P 不同的定点 Q (0, 2) ,使得

| QA | | PA | ? 恒成立. | QB | | PB |

考点: 本题考查椭圆的标准方程与几何性质、 直线方程、 直线与椭圆的位置关系等基础知识,

考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合 等数学思想.

x2 y 2 (2015 天津)6)已知双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线过点 2, 3 ,且双 a b
曲线的一个焦点在抛物线 y 2 ? 4 7 x 的准线上,则双曲线的方程为

?

?

(A)

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? 1 (C ) ? ? ? 1 (B) ? ? 1 (D) ? ?1 28 21 21 28 3 4 4 3

【答案】D

考点:1.双曲线的标准方程及几何性质;2.抛物线的标准方程及几何性质.

x2 y 2 (2015 天津) 19 .(本小题满分 14 分) 已知椭圆 2 + 2 =1(a > b > 0) 的左焦点为 F(-c,0) , a b
离心率为

b4 3 2 2 ,点 M 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x +y = 截得的线段的长 4 3

为 c, |FM|=

4 3 . 3

(I )求直线 FM 的斜率; (II)求椭圆的方程; (III)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 2 ,求直线 OP(O 为原点)的斜率的 取值范围. 【答案】(I) 【解析】 试题分析:(I) 由椭圆知识先求出 a, b, c 的关系,设直线直线 FM 的方程为 y ? k ( x ? c) ,

? 2 3? ? 2 2 3? x2 y2 3 , ? ? 1 ;(III) ? ??, ? ; (II) ? ? ?. 3 ? ? 3 3 ? 3 2 3 ?

求出圆心到直线的距离,由勾股定理可求斜率 k 的值; (II)由(I)设椭圆方程为

x2 y2 4 3 ? ? 1 ,直线与椭圆方程联立,求出点 M 的坐标,由 FM ? 可求出 c ,从而 2 2 3c 2c 3
可求椭圆方程.(III)设出直线 FP : y ? t ( x ? 1) ,与椭圆方程联立,求得

t?

6 ? 2 x2 ? 2 ,求出 x 的范围,即可求直线 OP 的斜率的取值范围. 3( x ? 1)2

c2 1 2 2 2 2 2 2 2 试题解析:(I) 由已知有 2 ? ,又由 a ? b ? c ,可得 a ? 3c , b ? 2c , a 3
设直线 FM 的斜率为 k (k ? 0) ,则直线 FM 的方程为 y ? k ( x ? c) ,由已知有

? kc ? ? c ? ? b ? 3 . ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ,解得 k ? 3 ? k ?1 ? ? 2 ? ? 2 ?
(II)由(I)得椭圆方程为 去 y ,整理得

2

2

2

x2 y2 ? ? 1 ,直线 FM 的方程为 y ? k ( x ? c) ,两个方程联立,消 3c 2 2c 2

5 3x 2 ? 2cx ? 5c 2 ? 0 ,解得 x ? ? c 或 x ? c ,因为点 M 在第一象限,可得 M 的坐标为 3

? 2 3 ? ?2 3 ? 4 3 c ? ,由 FM ? (c ? c)2 ? ? ,解得 c ? 1 ,所以椭圆方程为 c ? 0? ? ? c, 3 ? 3 3 ? ? ?

2

x2 y2 ? ?1 3 2
(III)设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,直线 FP 的斜率为 t ,得 t ?

y x ?1 ) ( x ? ?1 ) , ,即 y ? t ( x ?1

? y ? t ( x ? 1) ? 2 2 2 与椭圆方程联立 ? x 2 y 2 ,消去 y ,整理得 2 x ? 3t ( x ? 1) ? 6 ,又由已知,得 ? ? 1 ? 2 ?3

t?
?

6 ? 2 x2 ? 2 ,解得 3( x ? 1)2

3 ? x ? ? 1 或 ?1 ? x ? 0 , 2
设直线 OP 的斜率为 m ,得 m ?

y ,即 y ? mx( x ? 0) ,与椭圆方程联立,整理可得 x

m2 ?

2 2 ? . x2 3

①当 x ? ? ? , ?1? 时,有 y ? t ( x ? 1) ? 0 ,因此 m ? 0 ,于是 m ?

? 3 ? 2

? ?

2 2 ? ,得 x2 3

? 2 2 3? m?? , ? 3 ? ? 3
②当 x ? ? ?1,0? 时,有 y ? t ( x ? 1) ? 0 ,因此 m ? 0 ,于是 m ? ?

2 2 ? ,得 x2 3

? 2 3? m ? ? ??, ? ? 3 ? ?
综上,直线 OP 的斜率的取值范围是 ? ??, ?

? ?

2 3? ? 3 ?

? 2 2 3? , ? ? 3 ? ? 3

考点:1.椭圆的标准方程和几何性质;2.直线和圆的位置关系;3.一元二次不等式. (2015 浙江)5.如图,设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点
2

A, B, C ,其中点 A, B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则 ?BCF 与 ?ACF 的面积之比是( )

BF ? 1 A. AF ? 1
【答案】A. 【解析】 试题分析:

B.

BF ? 1 AF ? 1
2

2

BF ? 1 C. AF ? 1

D.

BF ? 1 AF ? 1
2

2

S ?BCF BC xB BF ? 1 ? ? ? ,故选 A. S ?ACF AC x A AF ? 1

考点:抛物线的标准方程及其性质

(2015 浙江)9.双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的焦距是 2

,渐近线方程是



【答案】 2 3 , y ? ? 【解析】

2 x. 2

试题分析:由题意得:a ? 渐近 线方程为 y ? ?

2 ,b ? 1 ,c ? a2 ? b2 ? 2 ?1 ? 3 ,∴焦距为 2c ? 2 3 ,

b 2 x?? x. a 2

考点:双曲线的标准方程及其性质 (2015 浙江)19.(本题满分 15 分) 已知椭圆

1 x2 ? y 2 ? 1上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 对称. 2 2

(1)求实数 m 的 取值范围; (2)求 AOB 面积的最大值(O 为坐标原点) .

【答案】 (1) m ? ?

6 6 2 或m ? ; (2) . 3 3 2

? x2 ? y2 ? 1 ? 1 ?2 试题分析: (1)可设直线 AB 的方程为 y ? ? x ? b ,从而可知 ? 有两个不同 m ?y ? ? 1 x ?b ? m ?
的解,再由 AB 中点也在直线上,即可得到关于 m 的不等式,从而求解; (2)令 t ?

1 ,可 m

考点:1.直线与椭圆的位置关系;2.点到直线距离公式;3.求函数的最值. (2015 重庆)8.已知直线 l:x+ay-1=0(a ? R)是圆 C: x ? y ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 的对称
2 2

轴.过点 A(-4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|= A、2 【答案】C B、 4 2 C、6 D、 2 10

【解析】
2 2 试题分析:圆 C 标准方程为 ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 4 ,圆心为 C (2,1) ,半径为 r ? 2 ,因此

2 ? a ?1 ? 1 ? 0



a ? ?1





A(? ?

4

,,

1

)

AB ?

AC ? r 2 ? (?4 ? 2)2 ? (?1 ? 1)2 ? 4 ? 6 .选 C.

2

考点:直线与圆的位置关系. (2015 重庆)10.设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右焦点为 1,过 F 作 AF 的垂 线与双 a 2 b2

曲线交于 B,C 两点,过 B,C 分别作 AC,AB 的垂线交于点 D.若 D 到直线 BC 的距离小于

a ? a2 ? b2 ,则该双曲线 的渐近线斜率的取值范围是
A、 (-1,0) ? (0,1) C、 (- 2 ,0) ? (0, 2 ) 【答案】A 【解析】 B、 (- ? ,-1) ? (1,+ ? ) D、 (- ? ,- 2 ) ? ( 2 ,+ ? )

b2 b2 试题分析:由题意 A(a, 0), B(c, ), C (c, ? ) ,由双曲线的对称性知 D 在 x 轴上,设 a a

D( x , 0) , 由 B D?

b2 b2 ?0 b4 a a A C 得 , 所 以 ? ? ?1 , 解 得 c ? x ? 2 a (c ? a) c? x a?c

b b4 b2 b4 2 2 2 2 2 c?x ? 2 ? a ? a ? b ? a ? c ,所以 2 ? c ? a ? b ? 2 ? 1 ? 0 ? ? 1 , a a a a (c ? a)
因此渐近线的斜率取值范围是 (?1,0) 考点:双曲线的性质. (2015 重庆)21. (本小题满分 12 分, (1)小问 5 分, (2)小问 7 分) 如题(21)图,椭圆

(0,1) ,选 A.

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , 过 F2 的直线 a 2 b2

交椭圆于 P, Q 两点,且 PQ ? PF1

(1)若 PF1 ? 2 ? 2, PF2 ? 2 ? 2 ,求椭圆的标准方程 (2)若 PF1 ? PQ , 求椭圆的离心率 e.

【答案】 (1)

x2 2 +y =1 ; (2) 6 ? 3 4

(2)解法一:如图(21)图,设点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆上,且 PF 1 ? PF 2 ,则

x0 2 y0 2 + 2 =1, x0 2 + y0 2 = c 2 2 a b
求得 x0 = ?

c 2 b2 a ? 2b2 , y0 ? ? . a c

由| PF | P F2 | ,得 x0 >0 ,从而 1 | = | PQ |>
2 ?c ? ?b ? | PF1 | = ? a 2 ? 2b 2 +c ? ? ? ? ? 2 ? a 2 ? b 2 ? ? 2a a 2 ? 2b 2 ? a ? a 2 ? 2b 2 ?a ? ? c ? 2 2 2

?

?.
2















| PF 1 | + | PF 2 |= 2a,| QF 1 | + | QF 2 |= 2a | P F | + | Q F

,







|

1

P F

|

=

,有 |2 P Q = 2|

|

| QF 1 |= 4a - 2 | PF 1|
2+ 2 | PF1 | =4a 又由 PF 1 ? PF 2 , | PF 1 | = | PQ | 知 | QF 1 |= 2 | PF 1 | ,因此
于是 2 + 2

(

)

(

)(a+

a2 - 2b2 = 4a.
2

)

1? ? 4 ? 解得 e ? ? 1? ?1 ? ? 2? ? ? 2? 2 ?

? ? ? 6 ? 3. ? ?

解法二:如图(21)图由椭圆的定义, | PF 1 | + | PF 2 |= 2a,| QF 1 | + | QF 2 |= 2a ,从而由

| PF 1 | = | PQ | = | PF 2 | + | QF 2 | ,有 | QF 1 |= 4a - 2 | PF 1|
又由 PF 1 ? PF 2 , | PF 1 | = | PQ | 知 | QF 1 |= 2 | PF 1 | ,因此 4a - 2 | PF 1 |= 2 | PF 1 |,

| PF 1 | =2(2- 2)a ,从而 | PF 2 | =2a- | PF 1 |= 2a - (2- 2)a = 2( 2 - 1)a
2 2 由 PF | PF2 |2 = (2c)2 = 4c2 ,因此 1 ? PF 2 ,知 | PF 1 | +| P F 2 | =

e=

| PF1 |2 + | P F2 |2 c = = (2 a 2a

2)2 + ( 2 - 1)2 = 9 - 6 2 = 6 - 3

考点:椭圆的标准方程,椭圆的几何性质.


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