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【导与练】2016高考数学二轮复习 专题五 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图 表面积与体积课件 理_图文

◆专题五 立体几何
第1讲 空间几何体的三视图、表面积

与体积

考向分析

核心整合

热点精讲

考向分析
考情纵览
2013 年份 2011 考点 三视图与 其直观图 由三视图 求面积、 体积 多面体与 球综合 15 2012 Ⅰ Ⅱ Ⅰ 2014 Ⅱ Ⅰ 2015 Ⅱ

6
7 11 8 6

7

12
6 11 6 6 9

真题导航
1.(2011新课标全国卷,理6)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如 图所示,则相应的侧视图可以为( D )

解析:由几何体的正视图和俯视图可知,该几何体的底面为半圆和等腰三
角形,其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形, 故应选D.

2.(2013新课标全国卷Ⅱ,理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz
中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图 中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为( A )

解析:在空间直角坐标系中作出四面体OABC的直观图如图所示,作顶点A、 C在zOx平面的投影A′,C′,可得四面体的正视图.故选A.

3.(2013新课标全国卷Ⅰ,理8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的 体积为( A )
(A)16+8π (B)8+8π

(C)16+16π

(D)8+16π

解析:由三视图可知该几何体为一组合体,组合体的上面部分为从同一顶点出发 的三棱长分别为 4、2、2 的长方体,下面部分为半圆柱,其中底面半径为 2 ,母线 长为 4,其直观图如图所示,故几何体的体积为 2×2×4+ 故选 A.
1 ×π×22×4=16+8π. 2

4.(2015新课标全国卷Ⅱ,理9)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C
为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为 (

C ) (B)64π (C)144π (D)256π

(A)36π

解析:因为 S△OAB 是定值,且 VO ? ABC = VC ? OAB , 所以当 OC⊥平面 OAB 时, VC ? OAB 最大, 即 VO ? ABC 最大. 设球 O 的半径为 R,

1 1 1 则( VO ? ABC )max= × R2×R= R3=36, 3 2 6
所以 R=6, 所以球 O 的表面积 S=4πR2=4π×62=144π.故选 C.

5.(2015 高考新课标全国卷Ⅰ,理 6) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富 的数学名著,书中有如下问题: “今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积 及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四 分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米 各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放 的米约有(
B )

(A)14 斛 (B)22 斛 (C)36 斛 (D)66 斛

1 16 解析:设圆锥底面的半径为 R 尺,由 ×2πR=8 得 R= ,从而米堆的体积 4 π

V=

1 1 320 320 × πR2×5= (立方尺),因此堆放的米约有 ≈22(斛).故 4 3 3π 3 ? 1.62 π

选 B.

备考指要
1.怎么考 (1)考查角度:

①给出三视图的两种视图,求另一视图.
②由三视图还原直观图求线段的长度、面积、体积等. ③给出空间几何体的直观图,求表面积或体积(特别是求体积). ④与球有关的“接”“切”问题. (2)题型难易度:选择题、填空题,中、低档. 2.怎么办 (1)熟练掌握简单几何体的结构特征及其表面积、体积计算.

(2)熟练掌握与球有关的“切”、“接”问题中的几何关系.

核心整合
1.棱柱、棱锥

(1)棱柱的性质
侧棱都相等,侧面是平行四边形;两个底面与平行于底面的截面是全等的 多边形;过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形;直棱柱的侧棱长与高 相等且侧面与对角面是矩形. (2)正棱锥的性质 侧棱相等,侧面是全等的等腰三角形,斜高(侧面等腰三角形底边上的高) 相等;棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形;棱锥

的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形;某侧面上的
斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形;侧棱在底面内的 射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形.

2.三视图 (1)正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方 观察几何体得到的投影图.画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽, 正侧一样高; (2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;侧视图 放在正视图的右面,高度和正视图一样,宽度与俯视图一样. 3.几何体的切接问题 (1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直 径即是棱柱的体对角线. (2)解决柱、锥的内切球问题的关键是找准切点位置,化归为平面几何问题. 4.柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆) (1)表面积公式 ①圆柱的表面积S=2π r(r+l); ②圆锥的表面积S=π r(r+l); ③圆台的表面积S=π (r′2+r2+r′l+rl); ④球的表面积S=4π R2.

(2)体积公式 ①柱体的体积 V=Sh;
1 ②锥体的体积 V= Sh; 3 1 ③台体的体积 V= (S′+ SS ? +S)h. 3

④球的体积 V=

4 3 πR. 3

温馨提示 在有关体积,表面积的计算应用中注意等积法的应用.

热点精讲
热点一
空间几何体的三视图

【例 1】 (1)(2015 北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱 的棱长为( (A)1 (B) 2 ) (C) 3 (D)2

解析:(1)该几何体是底面为正方形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,最长棱 的棱长为 12 ? 12 ? 12 = 3 ,故选 C.

(2)(2015江西九江二模)正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱A1B1,A1D1的
中点,如图是该正方体被过A,M,N和D,N,C1的两个截面截去两个角后所得 的几何体,则该几何体的正视图为( )

解析:(2)该几何体的正视图应为正方形,其中AM的投影为实线,DC1的投

影是虚线,故选B.

方法技巧

将三视图还原成直观图是解答该类问题的关键,其解题技巧是

熟练掌握常见简单几何体及其组合体的三视图,特别是正方体、长方体、 圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥等几何体的三视图.

举一反三1-1:如图,一个棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形,则 这个三棱柱的俯视图为( )

解析:由正视图和侧视图可知,这是一个横放的正三棱柱,一个侧面水
平放置,则俯视图应为D.

热点二 空间几何体的表面积和体积

【例 2】 (1)(2015 河北沧州 4 月质检)如图为一个几何体的三视图,则该 几何体的表面积为( (A)8+4 2 (C)8+2 2 ) (B)12+4 2 (D)12+2 2

解析:(1)该几何体为直棱柱,其表面为两个边长为 2 的正方形;两个直角边 长为 2 的等腰直角三角形;一个边长为 2 和 2 2 的长方形,所以其表面积为 S=2×2 +2×
2

1 ×2×2+2×2 2 =12+4 2 .故选 B. 2

(2)(2014 新课标全国卷Ⅱ)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3 cm, 高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的 比值为(
17 (A) 27

)
5 (B) 9 10 (C) 27 1 (D) 3
2

解析:(2)原来毛坯体积为 V=π×3 ×6=54π, 零件的体积 V1=π×3 ×2+π×2 ×4=34π, 所求的比值为
V ? V1 54 ? 34 10 = = .故选 C. V 54 27
2 2

方法技巧 求解几何体的表面积及体积的技巧 (1)求三棱锥的体积,等体积转化是常用的方法,转换原则是底面放在已知

几何体的某一面上,其高易求.
(2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化 为规则几何体来求解. (3)求表面积,其关键思想是空间问题平面化.

举一反三 2-1:(1)(2014 安徽卷)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表 面积为( (A)21+ 3 (C)21 ) (B)18+ 3 (D)18

解析:(1)由题中三视图可知,该多面体是棱长为 2 的正方体去掉两个全等的三棱 锥后得到的几何体,因此其表面积为 6×2×2-6×
3 1 2 ×1×1+2× ×( 2 ) =21+ 3 ,故选 A. 4 2

答案: (1)A

(2)如图所示,已知 E,F 分别是棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 A1A,CC1 的中点,则四棱锥 C1-B1EDF 的体积为 . 解析:(2)连接 A1C1,B1D1 交于点 O1,连接 B1D,EF,过 O1 作 O1H⊥B1D 于 H.
由题意得 EF∥A1C1,又 EF? 平面 B1EDF 且 A1C1? 平面 B1EDF, 所以 A1C1∥平面 B1EDF. 所以 C1 到平面 B1EDF 的距离就是 A1C1 到平面 B1EDF 的距离. 易知平面 B1D1D⊥平面 B1EDF, 所以 O1H⊥平面 B1EDF,即 O1H 为棱锥 C1-B1EDF 的高. 因为△B1O1H∽△B1DD1,所以 O1H= 所以 VC1 ? B1 EDF =
6 B1O1 ? DD1 f= a. B1D 6

1 1 1 S四边形B1 EDF ·O1H= × ×EF·B1D·O1H 3 3 2

1 3 6 1 1 = × × 2 a· 3 a· a= a . 6 3 2 6
答案:(2)

1 3 a 6

热点三

多面体与球的切接问题

【例 3】 (1)(2012 新课标全国卷)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面 上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为 ( (A) )

2 3 2 2 (B) (C) (D) 6 6 3 2 解析:(1)设△ABC 中心为 O1,即为△ABC 所在截面圆的圆心,则 OO1⊥面 ABC 且点 S

到面 ABC 的距离 h=2OO1,连接 O1C,在 Rt△O1OC 中,OC=1,O1C= 所以 OO1=
6 2 6 ,所以 h= , 3 3

3 3 2 × = , 2 3 3

3 2 6 2 1 1 所以 V= ×( ×1× )× = . 2 3 6 3 2

答案: (1)A

(2)(2015 河南六市第二次联考)三棱锥 P-ABC 内接于球 O,球 O 的表面积是 24π , ∠BAC=
π ,BC=4,则三棱锥 P-ABC 的最大体积是 3

.

解析:(2)设球的半径为 R,球心为 O,△ABC 所在小圆半径为 r,小圆圆心为 O1. 因为球 O 的表面积是 24π,所以 4πR2=24π,所以 R= 6 , 由
4 sin π 3

=2r 可得 r=

6 4 ,所以 OO1= R 2 ? r 2 = , 3 3

所以三棱锥 P-ABC 中点 P 到平面 ABC 的最大距离为 PO1=R+OO1= 6 + 又在△ABC 中,由余弦定理可得:42=b2+c2-2bccos 所以 bc≤16,当且仅当 b=c=4 时取“=”号,

6 4 6 = , 3 3

π ,即 b2+c2=bc+16≥2bc, 3

4 6 2 6 3 16 2 1 1 1 π 所以三棱锥 P-ABC 的体积 V= ×S△ABC×O1P= × bcsin × ≤ × ×16= . 3 9 2 3 3 3 2 3

答案: (2)

16 2 3

方法技巧 多面体与球接、切问题的求解策略

(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点
(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几 何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图, 确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程 (组)求解.这也是解决此类问题的易错点. (2)若四点P,A,B,C在球面上,且线段PA,PB,PC两两互相垂直,设PA=a, PB=b,PC=c,一般把四面体P-ABC“补形”成为一个球内接长方体,则

4R2=a2+b2+c2求解.

举一反三 3-1:在四面体 S-ABC 中,SA⊥平面 ABC,∠BAC=120°,SA=AC=2,AB=1,则该 四面体外接球的表面积是( (A)11π (B)7π (C) )

10π 40π (D) 3 3 解析:因为 AC=2,AB=1,∠BAC=120°,

所以 BC= 2 2 ? 12 ? 2 ? 2 ? 1 ? cos120? = 7 , 设三角形 ABC 的外接圆半径为 r,2r= 设外接球球心为 O,连 OS,OA, 因为 SA⊥平面 ABC,SA=2,三角形 OSA 为等腰三角形, 所以该三棱锥的外接球的半径 R= 12 ? (
10 21 2 ) = 3 3
2

7 21 ,r= , sin120? 3

所以该三棱锥的外接球的表面积为 S=4πR =4π×(

10 2 40 ) = π,选 D. 3 3

备选例题

【例 1】 已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3 ,∠ASC= ∠BSC=30°,则三棱锥 S-ABC 的体积为( (A)3 3 (B)2 3 (C) 3 (D)1 )

解析:如图,过 A 作 AD 垂直 SC 于 D,连接 BD. 由于 SC 是球的直径,所以∠SAC=∠SBC=90°, 又∠ASC=∠BSC=30°,SC 为公共边, 所以△SAC≌△SBC. 由于 AD⊥SC,所以 BD⊥SC. 由此得 SC⊥平面 ABD.
1 所以 VS ? ABC = VS ? ABD + VC ? ABD = S△ABD·SC. 3

由于在 Rt△SAC 中,∠ASC=30°,SC=4, 所以 AC=2,SA=2 3 ,所以 AD= 同理在 Rt△BSC 中有 BD= 所以△ABD 为正三角形, 所以 VS ? ABC
1 = S?ABD ·SC 3 SA ? CA = 3. SC

SB ? CB = 3 .又 AB= 3 , SC

1 1 = × ×( 3 )2·sin 60°×4= 3 . 3 2

故选 C.

【例 2】 正四面体 A-BCD 的棱长为 4,E 为棱 BC 的中点,过 E 作其外接球 的截面,则截面面积的最小值为 . 解析:将正四面体 A-BCD 放置于正方体中,如图所示.
可得正方体的外接球就是正四面体 A-BCD 的外接球, 因为正四面体 A-BCD 的棱长为 4,所以正方体的棱长为 2 2 , 可得外接球半径 R 满足 2R=2 2 × 3 ,解得 R= 6 . E 为棱 BC 的中点,过 E 作其外接球的截面,当截面到球心 O 的距离最大时, 截面圆的面积最小, 此时球心 O 到截面圆的距离等于正方体棱长的一半, 截面圆的半径为 r= R 2 ? 2 =2, 所以截面圆面积的最小值为 S=πr =4π.
答案:4π
2


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