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2.2.1 平面向量的线性运算(1)




题:

2.2.1 向量加法及其几何意义

教学目的: ⑴掌握向量加法的定义 ⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量 ⑶掌握向量加法的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算 教学重点:用向量加法的三角形法则和平行四边形法则,作两个向量的和向量. 教学难点:向量的加法和减法的定义的理解 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:
王新敞
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一、复习引入: 1.向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量 2.向量的表示方法:①用有向线段表示;②用字母 a 、 b 等表示; ③用有向线段的起点与终点字母: AB ; ④向量 AB 的大小――长度称为向量的模,记作| AB |. 3.零向量、单位向量概念: ①长度为 0 的向量叫零向量,记作 0 0 的方向是任意的
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②长度为 1 个单位长度的向量, 叫单位向量.零向量、 单位向量的定义都是只限制大小, 不确定方向. 4.平行向量定义: ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量; ②我们规定 0 与任一向量平行.向量 a 、 b 、 c 平行,记作 a ∥ b ∥ c . 5.相等向量定义:长度相等且方向相同的向量叫相等向量. (1)向量 a 与 b 相等,记作 a = b ; (2)零向量与零向量相等; (3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起 ....... 点无关 . ... 6.共线向量与平行向量关系: 平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上. (1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系; (2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 7.对向量概念的理解

AB 的字母是有顺序的,起点在前终点在后,所以我们说有向线段有三个要素:起点、
方向、长度;既有大小又有方向的量,我们叫做向量,有二个要素:大小、方向.向量不能

比较大小;实数与向量不能相加减,但实数与向量可以相乘. 向量与有向线段的区别:向量是自由向量,只有大小和方向两个要素;与起点无关:只 要大小和方向相同, 则这两个向量就是相同的向量; 有向线段有起点、 大小和方向三个要素, 起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段 二、讲解新课: 1. 向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法
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几何中向量加法是用几何作图来定义的,一般有两种方法,即向量加法的三角形法则 ( “首尾相接,首尾连” )和平行四边形法则(对于两个向量共线不适应) 课本中采用了三
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角形法则来定义,这种定义,对两向量共线时同样适用,当向量不共线时,向量加法的三角 形法则和平行四边形法则是一致的
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如图,已知向量 a 、 b 在平面内任取一点 A ,作 AB ? a , BC ? b ,则向量 AC 叫做

a 与 b 的和,记作 a ? b ,即
C a a+b b

a ? b ? A B? B C ? AC
C

B D a b

a+b

B a

b

三角形法则 A

平行四边形法则

(1)

A

特殊情况:
a
b
a ? b

a
b
a ? b

A

B

(2 )

C

C

A

( 3 )

B

对于零向量与任一向量 a ,有

a ?0 ? 0?a ? a

探究: (1)两相向量的和仍是一个向量; (2)当向量 a 与 b 不共线时, a + b 的方向不同向,且| a + b |<| a |+| b |; (3)当 a 与 b 同向时, 则 a + b 、a 、b 同向, 且| a + b |=| a |+| b |,当 a 与 b 反向时, 若| a |>| b |,则 a + b 的方向与 a 相同, 且| a + b |=| a |-| b |;若| a |<| b |,则 a + b 的方向 与 b 相同,且| a + b |=| b |-| a |. (4) “向量平移” (自由向量) :使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到 n 个向量连加.

2.向量加法的交换律: a + b = b + a 3.向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) 证:如图:使 AB ? a , BC ? b , CD ? c 则( a + b ) + c = AC ? CD ? AD

a + ( b + c ) = AB ? BD ? AD
∴( a + b ) + c = a + (b +c )
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从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行 三、讲解范例:

例 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输,如图,一艘船从长江南岸 A 点出发,以 5km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东 2km/h。 (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留 两个有效数字) (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用江水书牍间的夹角表示,精确到度)

变式:如图,一艘船从 A 点出发以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河 水的流速为 2 km / h ,求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示). 解: 设 AD 表示船垂直于对岸行驶的速度,AB 表示水流的 AD,AB 为邻边作平行四边形 ABCD,则 AC 就是船的实际航行的 在 Rt?ABC 中, | AB |? 2 , | BC |? 2 3 所以 | AC |? | AB | ? | BC | ? 4
2 2

速度,以 速度.

因为 tan ?CAB ?

2 3 ? 3 ? ?CAB ? 60? 2
?

答:船的实际航行的速度的大小为 4km / h ,方向与水流速间的夹角为 60 四、课堂练习: 五、小结 1?向量加法的几何法则;2?交换律和结合律; 六、课后作业: 七、板书设计(略) 八、课后记:


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