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【名师一号】高中数学人教B版必修1双基限时练25 对数函数的图象和性质


双基限时练(二十五)

对数函数的图象和性质

基 础 强 化 1.函数 f(x)=lg(x-1)的图象大致是( )

解析 f(x)的图象是由函数 y=lgx 的图象向右平移一个单位得到. 答案 C 2.函数 f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为 a,则 a 的值 为( ) 1 A.4 C.2 1 B.2 D.4

解析 无论 a>1 还是 0<a<1,f(x)都在[0,1]上是单调函数, ∴a=(a0+loga1)+(a+loga2), 1 ∴a=1+a+loga2,∴loga2=-1,∴a=2. 答案 B 3.已知函数 f(x)=loga(x-m)的图象过点 (4,0)和(7,1),则 f(x)在定义域上是

(

) A.增函数 C.奇函数 B.减函数 D.偶函数

? ?0=loga?4-m?, 解析 将点(4,0)和(7,1)代入函数解析式, 有? 解得 a=4 和 m ?1=loga?7-m?. ?

=3,则有 f(x)=log4(x-3).由于定义域是 x>3,则函数不具有奇偶性.很明显函 数 f(x)在定义域上是增函数. 答案 A 4.已知 f(x)=loga[(3-a)x-a]是其定义域上的增函数,则实数 a 的取值范围 为( ) A.(0,1) C.(0,1)∪(1,3) 解析 记 u=(3-a)x-a, 当 1<a<3 时,y=logau,在(0,+∞)上为增函数,u=(3-a)x-a 在其定义域 内为增函数,此时 f(x)在其定义域内为增函数,符合要求. 当 a>3 时,y=logau 在其定义域内为增函数,而 u=(3-a)x-a 在其定义域 内为减函数,此时 f(x)在其定义域内为减函数,不符合要求. 当 0<a<1 时,同理可知 f(x)在其定义域内是减函数,不符合题目要求. 答案 B |log2x| 5.函数 f(x)=2 的图象大致是( ) B.(1,3) D.(3,+∞)

解析

?x,x≥1, ∵f(x)=2|log2x|=?1 ?x,0<x<1,

∴选 C.

答案 C 6.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,且 f(1-x)=f(1+x),当 x∈[0,1]时,f(x) =x2,则函数 y=f(x)-log5x 的零点个数是( A.3 C.5 B.4 D.6 )

解析 ∵f(x)满足 f(1+x)=f(1-x), ∴f(x)的对称轴为 x=1. 又∵f(x)是偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x2, ∴f(x)的图象如图所示.

∵y=f(x)的图象与 y=log5x 的图象有 4 个交点. ∴y=f(x)-log5x 共有 4 个零点. 答案 B 7.方程 log5(2x+1)=log5(x2-2)的解为________. 2x+1>0, ? ?2 由题意,知?x -2>0, ? ?2x+1=x2-2,

解析

解得 x=3.

答案 x=3 8.函数 y=logax 在[2,+∞)上恒有|y|>1,则 a 的取值范围是________.

解析 当 a>1 时, logax>1 在[2,+∞)上恒成立, ∴1<a<2. 当 0<a<1 时,logax<-1 在[2,+∞)上恒成立, 1 ∴2<a<1.
?1 ? 综上所述,a∈?2,1?∪(1,2). ? ? ?1 ? 答案 ?2,1?∪(1,2) ? ?

能 力 提 升 9.函数 f(x)=log3(2x2-8x+m)的定义域为 R,则 m 的取值范围是________. 解析 由题意知,2x2-8x+m>0 恒成立.∴Δ =(-8)2-4×2m<0,即 m>8. 答案 m>8 10.根据函数 f(x)=log2x 的图象和性质解决以下问题: (1)若 f(a)>f(2),求 a 的取值范围; (2)y=log2(2x-1)在[2,14]上的最值. 解 函数 y=log2x 的图象如图.

(1)因为 y=log2x 是增函数,故 f(a)>f(2),即 log2a>log22,则 a>2.所以 a 的取 值范围为(2,+∞). (2)∵2≤x≤14,∴3≤2x-1≤27, ∴log23≤log2(2x-1)≤log227. ∴函数 y=log2(2x-1)在[2,14]上的最小值为 log23,最大值为 log227. 11.已知函数 f(x)=loga(1-x)+loga(x+3),其中 0<a<1,记函数 f(x)的定义 域为 D.

(1)求函数 f(x)的定义域 D; (2)求函数 f(x)的值域.
? ?1-x>0, 解 (1)要使函数有意义,则有? 解得-3<x<1. ?x+3>0, ?

∴函数 f(x)的定义域 D 为(-3,1). (2)f(x)=loga[(1-x)(x+3)]=loga(-x2-2x+3)=loga[-(x+1)2+4]. ∵-3<x<1, ∴0<-(x+1)2+4≤4. ∵0<a<1,∴loga[-(x+1)2+4]≥loga4, 即 f(x)min=loga4, ∴函数 f(x)的值域为[loga4,+∞).
? 1 2? 12.已知不等式 x2-logm|x|-4≤0,在 x∈?0, ?时恒成立,求 m 的取值范 2? ?

围.
? 1 2? 解 x2-4≤logmx 在?0, ?上恒成立. 2? ?

1 作出 y=x2-4与 y=logmx 的图象,如图所示,

?logm 2≥1, 2 4 ∴? ?0<m<1.

1 ∴4≤m<1. 品 味 高 考

13.函数 f(x)=ln(x2+1)的图象大致是(

)

解析 依题意,得 f(-x)=ln(x2+1)=f(x),所以函数 f(x)为偶函数,即函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,故排除 C.因为函数 f(x)过定点(0,0),排除 B、D,应选 A. 答案 A


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