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2012年西西辅导班高中数学竞赛模拟训练4.2


2012 年高中数学模拟试题 4(西西辅导班)

一、填空(每题 8 分,共 64 分)
1、 给 定 正 实 数 a , b , 变 量 x , y 满 足 x , y ? 0 , 且 x + y= a+ b , 则 f(x ,y)= a a +x +b b +y 的 最 小 值 为 ____
2
2 2 2 2

解 : 由 柯 西 不 等 式 得 : a +x ? f ( x , y )= a a + x + b b + y
2 2 2

2

2

a +b ? a

2

2

? a ? bx, b +y
2 2

2

b +a
3 3

2

? b +ay
2

2

a +bx a +b
2 2

2

+b

b +ay a +b
2 2

2

=

a + b + a b (x + y ) a +b
2 2

= (a + b ) a + b

2

2

当 且 仅 当 x = b ,y = a时 , 上 式 等 号 成 立 。

2 、 数 列 ? a n ? 满 足 a 1 = 2 , a 2 = 8, 且 a n = 4 a n -1 - a n - 2 ( n ? 3), 求 极 限 lim

n??

? a rc co t a
i =1

n

2 i

=____
2

解 : a n ? 4 a n -1 ? = a n -1 ? 4 a n ? ? a n ? a n + a n - 2 ? = a n -1 ? a n +1 + a n -1 ? ? a n - a n -1 a n +1 = a n -1 - a n a n - 2 ?
2

? a n - a n +1 a n -1 = a 2 - a 1 a 3 = 6 4 -6 0 = 4
2 2

? a rc co t a n = a rc co t
2

an ? 4an ? 4

= a rc co t

a n ? a n +1 + a n -1 ? a n - a n +1 a n -1
2

1? = a rc co t ?
n

a n ?1 an

?

an a n ?1 an a n ?1 = ( a rc co t a n +1 an - a rc co t an a n -1 )

a n ?1 an

?

?

?
i =1

n

a rc co t a i = a rc co t a 1 + ? a rc co t a i = a rc co t a 1 ?
2 2 2 2 i= 2 2

n

? ? a rc co t
i= 2

? ?

a i +1 ai

- a rc co t

ai ? ? a i -1 ?

= a rc co t a1 ? a rc co t

a n +1 an

? a rc co t

a2 a1

= a rc co t

a n +1 an

由 a n = 4 a n -1 - a n - 2 ?

an a n -1

= 4-

1 a n -1 an-2

, 令 bn =

an a n -1

? bn = 4 -

1 b n -1

? lim b n = 2 + 3 ? lim
n? ?

n? ?

? a rc co t a
i =1

n

2 i

= a rc co t 2 + 3 ?

?

?

?
12

3、 设 A B 是 抛 物 线 y = 2 p x的 一 条 焦 点 弦 , 且 A B 与 x 轴 不 垂 直 , P 是 y 轴 上 异 于 O 的 一 点 满 足 O , P , A , B 四 点 共 圆 , 点 A , B , P 的 纵 坐 标 分 别 为 y 1 ,y 2 ,y 0 ,则 y1 + y 2 y0 =____

2

解 : 设 直 线 l A B : ky = x -

p 2

, 与 抛 物 线 方 程 联 立 得 : y -2 p ky - p = 0, 由 于 y 1 , y 2 是 方 程 的 两
2

2

2

根 , 且 y1 ? y 2 , 则 有 y1 y 2 = - p , 设 直 线 P A , P B的 斜 率 为 k 1 , k 2 , 则 k 1 =

y1 - y 0 y1
2

=

2 p ? y1 - y 0 ? y1
2

2p
2 p ? y 2 -y 0 ? y2
2

k2 =

, 因 为 A , P , O , B 四 点 共 圆 , 所 以 , ? A P B ? ? A O B , tan ? A P B ? tan ? A O B

2 p ? y1 -y 0 ? tan ? A P B ? k1 -k 2 1+ k 1 k 2 = y1
2

-

2 p ? y 2 -y 0 ? y2
2

2 p ? y1 - y 0 ? 2 p ? y 2 - y 0 ? 1+ ? 2 2 y1 y2 2 p ? y 2 - y1 ? y1 y 2 p + 4 p y1 y 2
? 2 ? y 2 - y1 ? 3p
4 2

=

2 p ? y 2 - y1 ? ? y1 y 2 - y 0 ? y1 + y 2 ? ? ? ? p +4 p
4 2

? y1 - y 0 ? ? y 2 - y 0 ?

令 y 0 = 0 ? tan ? A O B =

=

2 ? y 2 -y1 ? 3p
y1 y 2 - y 0 ? y1 + y 2 ? p + 4 ? y1 -y 0 ? ? y 2 -y 0 ?
2 2

?

2 p ? y 2 - y1 ? ? y1 y 2 - y 0 ? y1 + y 2 ? ? ? ? p +4 p
4 2

? y1 - y 0 ? ? y 2 - y 0 ?
2

?

=

1 3
2

? 3 y 1 y 2 -3 y 0 ? y 1 + y 2 ? = p + 4 ? y 1 - y 0 ? ? y 2 - y 0 ? , 而 - p = y 1 y 2 ? y 0 ? y 1 + y 2 ? = 4 y 0 ? y1 + y 2 y0 =4

4、 设 S ? ? a 1 , a 2 , ? ? , a n ? , a i ? Z , 已 知 ? S 1 ,S 2 ? S ,S 1 ? S 2 , 则 ? i ?
+ i? S i

?
j? S
j

j,

求 m in

?

a1 +

a2 + ? +

an =___
k k

?

先 证 明 : 对 任 意 1 ? k ? n ,a 1 + a 2 + ? ? + a k ? 2 -1, 固 定 k , 取 A ? ? a 1 , a 2 , ? , a k ? , A 有 2 -1个 非 空 子 集 而 A的 这 些 非 空 子 集 中 的 元 素 各 不 同 , 最 大 的 为 a1 +a2 + ? +ak

由 抽 屉 原 理 知 : a 1 + a 2 + ? + a k ? 2 -1, 下 面 来 求
k

a1 + a 2 + ? + a k 的 最 小 值

i -1

用 c1 , c 2 , ? , c n 代 替

a1 , a 2 , ? , a n , 用 b i 代 替 2
+

2

,下 面 证 明 一 个 更 强 的 命 题 : 若 ?c n ? 为 递 增
2 2 2 2 2 2

数 列 , b n ? 也 是 递 增 数 列 , 满 足 c i , bi ? R , 且 c1 ? b1 , c1 + c 2 ? b1 + b 2 , ? ? , ? c1 + c 2 + ? + c n ? b1 + b 2 + ? ? + b n , 则 有 c 1 + c 2 + ? ? + c n ? b1 + b 2 + ?? + b n 对 n ? N 均 成 立
2 2 2 2 2 2

假 设 k 是 第 一 个 满 足 c1 + c 2 + ? + c k < b1 + b 2 + ? + b k 的 正 整 数 , 则 ? ? c i + bi ? ? c i - bi ?
i =1

k -1

? bk -c k = ? c k + bk
2 2

? ? b k -c k ? > ? c k + b k ? ? c1 + c 2 + ? + c k -1 -b1 -b 2 - ? ? -b k -1 ? ? ? c i - bi ? > 0
k -1

?

? ?c
i =1

k -1

i

+ bi - c k - b k

而 ? ? c k + b k - c i - bi ? ? c i - bi ? = ? ? c1 - b1 + c 2 - b 2 + ? ? + c i - bi ? ? ? c k + b k - c i - b i ? - ? c k + b k - c i +1 - b i+1 ? ? ? ?
i =1 k -1 i =1

k -1

= ? ? c1 - b1 + c 2 - b 2 + ? ? + c i - bi ? ? c i +1 - bi +1 + c i - bi ? ? 矛 盾 , 上 面 用 到 了 阿 贝 尔 恒 等 式 。
i =1

从 而 m in

?

a1 +

a2 + ? +

an =

?

2 + 2 +? + 2

0

1

n -1

,等 号 在 ai = 2

i -1

时取等

? x sin ? + y co s ? = sin ? ? 5、 若 两 个 互 不 相 等 的 锐 角 ?, ? 满 足 ? ,其 中 ? + ? ? , 且 x ,y ? R 2 ? x sin ? + y co s ? = sin ? 求 f ( x , y )= x - y 的 最 大 值 与 最 小 值 之 和 _ _ _ _ _ _
2 2

解 : x=

sin ? co s ? - sin ? co s ? sin ? co s ? - sin ? co s ?

=

2 sin ? ? - ?

?

sin 2 ? ? sin 2 ?

=

? 1 == - sec ? ? + ? ? 2 co s ? ? + ? ? sin ? ? - ? ? co s ? ? + ? ?

2 sin ? ? - ?

? y=
2

sin ? - sin ?
2 2

sin ? co s ? - sin ? co s ?
2 2

=

co s 2 ? - co s 2 ? sin 2 ? - sin 2 ?

=

? = tan ? ? + ? ? sin ? ? - ? ? co s ? ? + ? ?

sin ? ? + ? ? sin ? ? - ?

? x - y = sec

? ? + ? ? - tan 2 ? ? + ? ? =1, 故 最 大 值 与 最 小 值 之 和 为 2
2

6 、 设 0 < x <1,0 < y <1, 且 ? 1- xy ? = 2 ?1- x ? ?1- y ? , 则 函 数 F ( x , y )=
2

1 2

xy ?1- xy ? 的 最 大 值 为 _ _ _ _ _

解 : 令 t = xy , 则 t ? (0,1), 于 是 由 (1- xy ) = 2 (1- x )(1- y ) ? ?1- t ? = 2 ?1+ t - ? x + y ? ? ? 2 1+ t -2
2

?

xy = 2 1- t

? ?

?

2

? 1- t ?

2 1- t ? 0 ? t ? 3-2 2 , 所 以 f ( x , y )= 2 -1取 等

?

?

1 2

xy (1- xy )=

1 2

t (1- t ) 的 最 大 值 为 5 2 -7

当 且 仅 当 x=y =

7、 在 第 23届 台 湾 金 曲 奖 颁 奖 仪 式 上 , 有 大 牌 周 杰 伦 , 蔡 依 林 , 欧 弟 , 林 依 晨 , 张 含 韵 , 等 歌 手 和 主 持 共 n个 人 来 到 会 上 , 事 先 都 已 安 排 了 他 们 的 座 位 , 可 是 由 于 安 排 疏 忽 , 他 们 的 名 字 并 没 挂 在 座 位 上 , 所 以 导 致 他 们 随 意 做 的 座 位 , 设 ? 表 示 这 n个 明 星 当 中 恰 好 做 对 了 自 己 的 位 置 , 求 ?的 数 学 期 望 和 方 差 之 和 ______

解: 等价下列: n 张卡片在 n 个人中任意排列,共有 n ! 种不同的排列方法。 可以证明, n 张卡片在 n 个人中任意排列时,没有一个人取到自己号码的排列方法 数,共有 n ! [ 1 ?
1 1! ? 1 2! ? 1 3! ?? ? ( ? 1) n!
n

] 种。

证明:编号 1 到 n 总共 n 个人中没有一个取到自己帽子的排列种数记为 a n ,那么易得 n-1,n-2 个人没有一个取到自己帽子的排列总数分别为 a n -1 , a n - 2 ,则显然 a1 = 0, a 2 =1 ,
当 n ? 2, 首 先 编 号 为 1 这 个 人 他 有 n -1 种 取 法 , 假 设 他 取 到 编 号 为 x 的 帽 子 , 在 剩 下 的 n -1 个 人 和 n -1顶 帽 子 中 :

?1 ? : 如 编 号 为 x 的 人 恰 好 取 到 编 号 为 1 的 帽 子 , 问 题 就 等 价 于 有 n -2 个 人 取 n -2 顶 帽 子 ,
无 配 对 的 取 法 , 方 法 总 数 为 a n-2 ; (2 ): 在 剩 下 的 n -1 个 人 和 n -1 顶 帽 子 中 , 如 编 号 为 x 的 人 没 有 取 编 号 为 1 的 帽 子 , 则 可 以 把 编 号 为 x 的 这 个 人 看 做 是 编 号 是 1 的 这 个 人 , 那 么 问 题 就 等 价 有 n -1 个 人 取 n -1 顶 帽 子 无 配 对 的 方 法 总 数 , 总 数 为 a n -1
? a n = ? n -1 ? ? a n -1 + a n - 2 ? ? a n ? n a n -1 = - ? a n -1 ? ? n -1 ? a n - 2 ? ? a n - n a n -1 = ? -1 ? , 两 边 同 时 除 以 n ! ? ?
n

?

an n!

?

a n -1 ( n ? 1) !

?

? ? 1?
n!

n

?

an n!

=1 ?

1 1!

?

1 2!

?

1 3!

? ?? ?

? ? 1?
n!

n

n ? ? ? 1? ? 1 1 1 ? a n ? n ! ?1 ? ? ? ? ?? ? ? ,得证! 1! 2 ! 3 ! n! ? ? ? ?

当 ? ? k ,即恰好有 k 个人取到自己的号码时,相当于先从 n 人中确定 k 人, 让他们取到自己的号码, 这有 C n 种取法, 再让剩下的 n ? k 张卡片在剩下的 n ? k 个
k

人中排列, 要求没有一个人取到自己的号码, ( n ? k ) ! [ 1 ? 有

1 1!

?

1 2!

?

1 3!

?? ?

( ? 1)

n?k

(n ? k )!

]

种排列方法。所以, ? ? k ,即恰好有 k 个人取到自己的号码的概率为

P {? ? k } ?

C n (n ? k ) !
k

[1?

1 1!

?

1 2!
n?k

?

1 3!

?? ?

( ? 1)

n?k

n! 1 k! 1 1! 1 2! 1 3!

(n ? k ) !

]

?

[1?

?

?

?? ?

( ? 1)

(n ? k ) !

] , k ? 0 ,1 ,? , n 。

这样,我们就求出了 ? 的概率分布。根据概率分布的性质,可知有下列恒等式

?

n

P {? ? k } ?

k ?0

?

n

1 k!

[1?

1 1!

?

1 2!

?

1 3!

?? ?

( ? 1)

n?k

k ?0

(n ? k ) !

]?1 。

所以, ? 的数学期望为

E? ?

? kP {?
k ?0

n

? k} ?

?
?

n

k k! 1 2!

[1?

1 1!

?

1 2!

?

1 3!

?? ?

( ? 1)

n?k

k ?0

(n ? k ) !

]

?

?
?

n

1 ( k ? 1) !

{1?

1 1!

?

1 3!

?? ?

( ? 1)

( n ?1 ) ? ( k ?1 )

k ?1

[( n ? 1 ) ? ( k ? 1 )] !
n ?1? j

}

?

n ?1

1 j!

[1?

1 1!

?

1 2!

?

1 3!

?? ?

( ? 1)

j?0

(n ? 1 ? j) !

] ?1 。

下面求 ? 的方差,因为

E [ ? ( ? ? 1)] ?

? k (k
k ?0

n

? 1 ) P {? ? k } ?

?
?

n

k ( k ? 1) k! 1 3!

[1?

1 1!

?

1 2!

?

1 3!

?? ?

( ? 1)

n?k

k ?0

(n ? k ) !

]

?

?
?

n

1 (k ? 2) !

{1?

1 1!

?

1 2!

?? ?

( ? 1)

( n ? 2 )?( k ? 2 )

k ?2

[( n ? 2 ) ? ( k ? 2 )] !
n?2? j

}

?

n?2

1 j!

[1?

1 1!

?

1 2!

?

1 3!

?? ?

( ? 1)

j?0

(n ? 2 ? j)!

]?1 。

所以, ? 的方差为
D ? ? E ( ? ) ? ( E ? ) ? E [? ( ? ? 1)] ? E ? ? ( E ? ) ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 。
2 2 2 2

这个结果很奇妙,就是说,不管 n 是多少, n 个人中恰好取到自己号码的卡片的人 数的平均值总是等于 1 ,方差也总是等于 1 。 备注:留作习题:
设 f ( n , k )= 1 k!

? ? -1 ?
i=0

n -k

i

1 i!

, 则 有 ? f ( n , k )=1, ( 2 ) : kf ( n , k ) =1,(3):? ? k -1 ? ?
k=0 k=0 k=0

n

n

n

2

f ( n ,k )= 1

8 、 存 在 一 个 平 面 使 得 一 个 正 四 面 体 到 此 平 面 的 距 离 恰 好 是 0 ,,2 ,3 , 1 请 写 出 此 四 面 体 的 体 积 ______

解 建立空间直角坐标系, 不妨设正四面体的一个顶点就是原点 O , 与它距离为 0 的那 个平面就是 xO y 面。设正四面体其余三个顶点
A, B , C

的 坐 标 为 A ( x , 0 ,1) ,

B ( u , v , 2 ) , C ( s , t , 3) ,设正四面体边长为 r ( 不妨设其中 x , r ? 0 ) 。
? ? ?

因为向量 O A , O B , O C 的模长都等于 r ,而且夹角都是 6 0 ? ,所以可列出方 程组:
? x ?1? r ? 2 2 2 u ?v ?4 ? r ? ? s2 ? t2 ? 9 ? r2 ? ? 2 ? xu ? 2 ? r 2 ? xs ? 3 ? r 2 2 ? 2 ?us ? vt ? 6 ? r 2 ?
2 2

(1) (2) ( 3) (4) (5) (6)

解这个方程组,可求得满足 x , r ? 0 的解为
? x ? 3 ? u ?1 ? ? v ? 5 ? ? 2 ? s ? 3 ? ? 5 ?t ? ? 3 ? ? r ? 10 ? ? x ? 3 ? u ?1 ? ?v ? ? 5 ? ? 2 。 ? s ? 3 ? ? 5 ? t ? 3 ? ? r ? 10 ?



可见,正四面体的边长为

10



二、解答题(共 56 分)
1 、 (1 6 分 ) 设 实 数 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ,x 5 > 0 , 设 多 元 函 数 f ( x , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ,n )= x1 + x 2 + x 3 - x 4 - x 5 若 f ( x , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ,2 )= f ( x , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ,4 )= 0 证 明 : f ( x , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ,3 )< 0
n n n n n

证 明 : 等 价 于 一 个 问 题 : a + b + c = d + e 和 a + b + c = d + e ,求 证 : a + b + c < d + e
? ? d +e
2 2

2

2

2

2

2

4

4

4

4

4

3

3

3

3

3

?

2

-d -e = ? a + b + c
4 4 2 2
2 2 2

2

? -?a
2
2 2

4

+b +c
2 2

4

4

??
2 2

de=
2

a b +b c +c a
2

2

2

2

2

2

2

? d +e=

d +e + 2de =

a +b +c +2 a b +b c +a c

? d + e = ? d + e ? ? d -d e + e
3 3 2

2

?=? ?
?
2 2

a +b +c + 2 a b +b c +a c

2

2

2

2

2

2

2

2

2

? 2 2 2 ? a +b +c ? ?
2 2 2 2 2 2

?

a b +b c +a c

2

2

2

2

2

2

?

? ? d +e
3

3

?

2

= a +b +c +3 ? a b +a c +b c
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2

?

2

? ? 2 ?a
4

2

+b +c
2 2

2

2

?

a b +b c +a c
2 2 2 2 2

?
2

? a +b +c +2 a b +b c +a c
2 2 2

?

? = ?a
2

4

+b +c

4

? ?a

2

+b +c

? +2 ?a

b +b c +a c

?

a b +b c +a c

2

2

2

2

2

2

? ? a b +b c +a c
2 2 2 2 2
4

2

??a
4

2

+b +c

2

2

?
2

? 只 要 证 明 :a + b + c ? ? ? a b +b c +a c
2 2 2 2 2
2 2

4

??a
2

2

+b +c
2

? +2 ?a
3 3

2

b +b c +a c
3

2

2

2

2

2

?

a b +b c +a c

2

2

2

2

2

2

2

??a
2

2

+b +c
2 2

? ? ?a
2 2

+b +c
2 2

?

2

只 要 证 明 : ? a b +b c +a c 2
2 6 6 6 4 2 2

?
2 2

a b +b c +a c
2 2 2

2

? 3 a b c + ? a b ,两 边 平 方 得
2 2 2 3 3 5 5 2 6 6 6 3 3

2 ? a b +1 2 ? a b c + 2 4 a b c ? 9 a b c + 6 ? a b c + 2 ? a b + 4 ? a b c

显然成立!

2 、 2 0 分 ? 若 递 增 正 整 数 数 列 ? a n ? 满 足 a 0 = a 1 = 4 7 , 且 a n -1 + a n + a n +1 ? a n -1 a n a n +1 = 4 ( n ? 1) ?
2 2 2

(1 ) 求 ? a n ? 的 通 项 , ( 2 ): 设 b1 2 b2 2
2

? a +b ? 2+ 2+ 2+an = ? ? ? c ? +?? + bn 2
n

bn

? c ? +? ? ? a +b ?

bn

,且 a ,c是 正 整 数 , b 是 无 理 数 , 求 证 :

+

<2

解:注意到恒等式: 1? 1? 1? 1 ?? 1 ?? 1? ? ? ? ? ? a+ ? + ? b+ ? + ? c+ ? ? ? a+ ? ? b+ ? ? c+ ? ? 4 ? a? b? c? a ?? b ?? c? ? ? ? ?
2 2 2

? a b ? c ? ? a c ? b ? ? b c ? a ? ? a b c ? 1?
a b c
2 2 2

令 an = xn +

1 xn

? x n +1 = x n x n -1 , 要 变 成 斐 波 那 契 数 列 , 只 要 将 x n的 x 0 , x 1 变 成 1 , 怎 么 处 理 呢

已 x 0 为 底 数 的 对 数 变 为 1 了 。 即 F0 = F1 = l o g x x 0 = l o g x x 1 = 1 当 然 我 们 知 道 因 为 a 0 = a 1 = 4 7 ,
0 0

? x0 +

1 x0

= x1 +

1 x1

= 4 7 ? x 0 = x1 =

4 7 + 4 7 -1 2
Fn

2

所 以 对 log x x n +1 = log x x n + log x x n -1 , ? log x x n = Fn ? x n = x 0
0 0 0 0

? 为 了 处 理 第 二 问 : 我 们 对 x0 + = 47 ? ? ? x0 ? 1 故 取 x0 = ? ? a n = xn +
8

x0 +

1

? ? = 49 ? x0 ? ?

2

1
4

x0

+ 4 x0 = 3

1 xn

=?

8 Fn

+?

-8 F n

, 其 中 Fn =

1

n -1 n -1 ?? ? 1- 5 ? ? 1+ 5 ? ?? ? +? ? ? 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ?

( 2 ): 由 于 a n = ?

8 Fn

+?

-8 F n

? 2+

2+an = ?

?

2 Fn

+?

-2 F n

?

2

?

2+

2+

2+an =?

Fn

+?

- Fn

则 b n 是 斐 波 那 契 数 列 , 即 b 0 = b1 =1, b n +1 = b n + b n -1

设 cn ?

bn 2
n

? ck + 2 =
1

1 2

c k +1 +
1
n

1 4

c k ,c 1 =

1 2

,c 2 =

1 4

,那 么 设 ? c n ? 的 前 n项 和 为 S n ,则
1 2

?

?
k =1

n

ck + 2 =

? 2

n

c k +1 +

k =1

?c 4
k =1

k

? S n + 2 ? c1 - c 2 =

? S n +1 -c 1 ? +

1 4

S n ,即 S n + 2 =

1 2

S n +1 +

1 4

Sn +

1 2

显 然 n =1,2, 时 , S 1 < 2,S 2 < 2, 则 假 设 n ? k +1时 , 有 S n ? 2 所 以 当 n = k + 2时 , 则 S n + 2 = 1 2 S n +1 + 1 4 Sn + 1 2 < 1 2 ? 2+ 1 4 ? 2+ 1 2 = 2 .显 然 成 立

3、 已 知 椭 圆

x a

2 2

+

y b

2 2

=1( a > b > 0 ) 的 左 顶 点 为 A , 右 焦 点 为 F ? c ,0 ? , 且 2 b , a , c 成 等 比 数 列

过 点 F的 直 线 与 椭 圆 相 交 于 M,N两 点 , 直 线 AM,AN分 别 与 右 准 线 l相 交 于 P,Q两 点 , 求 ??? ???? ? F P ? F Q的 值

解 : 因 为 a = 2 b c ? a = 4 ? a -c
2 4 2 2 2 2

2

?c

2

? 4 e -4 e +1= 0 ? e =
4 2

2 2

,设 M
2

? x1 , y 1 ? , N ? x 2 , y 2 ? , 椭 圆
2

方 程 x + 2 y = 2 c , 直 线 M N 方 程 y = k ( x -c ) ?

? 2k

2

+1 ? x -4 k cx + 2 c
2 2

?k

-1 ? = 0

x1 + x 2 =

4k c 2 k +1
2

2

2c , x1 x 2 =

2

?k
2

2

-1 ?

, 直 线 M A的 方 程 y =

y1 x1 + a

2 k +1
y2 x2 + a

? x + a ? ,可 得 P ? 2 c ,
?

?

y1 x1 + a

? 2c +a ? ?
?

?

直 线 AN的 方 程 为 y=

? x+a ? ?

? ? y2 Q ? 2c, ? 2c+a ? ? , x2 + a ? ?

??? ? ? ??? ???? ? ? ???? ? ? y1 y y1 y 2 2 ? FP ? c, ? 2c +a ? ? ,FQ = ? c, 2 ? 2c +a ? ? ? FP ? FQ =c 2 + ? 2c +a ? ? x1 + a ? ? x 2 + a ? ? x1 + a ? ? x2 + a ? =c +
2 2 2 k ? x1 x 2 - c ? x 1 + x 2 ? + c ? ? ?

x1 x 2 + a ? x1 + x 2 ? + a
2

2

? 2c+a ?
2

2

? 2 c 2 ? k 2 -1 ? 4 k 2 c 2 ? 2 , 又 k ? x1 x 2 - c ? x1 + x 2 ? + c ? = k ? +c ? 2 2 ? ? 2 k +1 ? 2 k +1 ? ? ?
2 2 2
2

=

-k c
2

2

2 k +1

, 又 x1 x 2 + a ? x1 + x 2 ? + a =
2

2c

?k
2

-1 ?

+

4k ac 2 k +1
2

2

+a =

2

2k

2

? a +c ?
2

2

2 k +1

2 k +1

将 a = 2c ? FP ? FQ = 0

??? ???? ?


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