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吉林省2013年高考复习质量监测文科数学参考答案及评分标准


吉林省 2013 年高考复习质量监测 文科数学试题答案及评分参考
评分说明: 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考 查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难 度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果 后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4. 只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题 (1) (B) (2) (A) (3) (B) (4) (D) (5) (D) (6) (B) (7) (A) (8) (C) (9) (D) (10) (A) (11) (C) (12) (C) 二、填空题 (13) 7 (14)6 (15)5 三、解答题 (17)解: (Ⅰ)设数列{ a n }公差为 d. ∵ a1 ? a 2 ? a 3 ? 6 , a 5 ? 5 , ∴?
? 3 a1 ? 3 d ? 6 ? a1 ? 1 ? ? , ∴ an ? n , ?d ? 1 ? a1 ? 4 d ? 5

(Ⅱ)连结 D B 1 ,则 V M ? A B D ∴三棱锥 M
? ABD

?

1 2

VB 3

1

? ABD

?

1 2

V A ? BDB ?
1

1 2

?

1 1 ( ? 2 ? 2) ? 3 2

3 ?

3 3

.

的体积为

.????????????????????12 分

3

(19)解: (Ⅰ)进入决赛的选手共6名,其中拥有“优先挑战权”的选手共3名. ????2分 为拥有“优先挑战权”的选手编号为 1,2,3,其余 3 人编号为 A,B,C. 被选中 3 人的编号所有可能的情况共 20 种,列举如下: 123,12A,12B,12C,13A,13B,13C,1AB,1AC,1BC, 23A,23B,23C,2AB,2AC,2BC, 3AB,3AC,3BC, ABC,????????????????????????????????4 分 其中拥有“优先挑战权”的选手恰有 1 名的情况共 9 种,如下: 1AB,1AC,1BC,2AB,2AC,2BC,3AB,3AC,3BC, ∴所求概率为 P
? 9 20

. ?????????????????????????6 分 甲班 3 17 20 乙班 10 10 20 合计 13 27 40 ??????????????????9 分
2

(16)-512

(Ⅱ) 2 ? 2 列联表: 签约歌手 未签约歌手 合计

根据列联表中的数据,得到 k ?

4 0 (3 ? 1 0 ? 1 0 ? 1 7 ) 13 ? 27 ? 20 ? 20

? 5 .5 8 4 ? 5 .0 2 4 ,

即数列{ a n }的通项公式为 a n ? n . ???????????????????6 分 (Ⅱ)∵ b n ∴ Sn
? (1 ?

?
1 2

1 a n a n ?1

?
? 1 3

1 n ? ( n ? 1)
1 3 ? 1 4

?

1 n

?

1 n ?1
1 n ?

, ????????????????8 分
1 n ?1 )

)?(

1 2

)?(

)?? ? (

因此在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为成为‘签约歌手’与选择的导师有关. ???????????????????12 分 (20)解: (Ⅰ)NM 为 AP 的垂直平分线,∴|NA|=|NP|, 又∵|CN|+|NP|= 2 2 ,∴|CN|+|NA|= 2 2 >2. ∴动点 N 的轨迹是以点 C (0 ,? 1) , A (0 ,1) 为焦点的椭圆,?????????3 分 且长轴长 2 a ? 2 2 ,焦距 2 c ∴曲线 E 的方程为 x 2
? y
2

? 1?

1 n ?1

?

n n ?1

.

???????????????????????12 分
A C M D O
AO ?

(18)解: (Ⅰ)证明:取 B C 中点 O ,连结 A O , O B 1 .
?△ A B C 为正三角形,? A O ⊥ B C .

? 2

,∴ a ?

2 , c ? 1, b

2

? 1,

?1

.??????????????????????5 分
y

C1 B1

2

? 平面 A B C ⊥ 平面 B C C 1 B 1 ,

y A M P N O C x

平面 A B C ? 平面 B C C 1 B1 ? B C ,
? A O ⊥ 平面 B C C 1 B 1 ,

平面 A B C ,

B

Q G O F x

∴ A O ? B D .????????????????????????????4 分 ∵正方形 B C C 1 B1 中, O , D 分别为 B C ,C C 1 的中点,∴ O B1 ? B D . 又 AO
? O B1 ? O

,? B D ⊥ 平面 A O B1 ,

? B D ⊥ A B1 .????????????????????????????7 分
1

(Ⅱ)设 G(x1,kx1),H(x2,y2),则 F(-x1,-kx1),Q(0,kx1), 直线 FQ 的方程为 y=2kx+kx1, 将其代入椭圆 E 的方程并整理可得 (2+4k2)x2+4k2x1x+k2x12-2=0. 依题意可知此方程的两根为-x1,x2,于是由韦达定理可得 -x1+x2= ?
4 k x1 2 ? 4k
2 2

所以 h ? ( x ) ? 0 , h ( x ) 为增函数,所以 h ? x ? ? h ( e ) ?
2

e ?e
2

? e ? e ,????11 分
2

ln e

,即 x 2 ?
4 k x1 2 ? 4k
2

2 x1 2 ? 4k
2

所以 a ? e ? e . ??????????????????????????12 分 (22)证明: (Ⅰ)过 O 作 OG⊥EF,则 GE=GF,OG∥AB. ∵O 为 AD 的中点,∴G 为 BC 的中点. ∴BG=CG, ∴BE=CF. ????????????5 分 A B E G (Ⅱ)设 CD 与⊙O 交于 H,连 AH,∵∠AHD=90° , ∴AH∥BC, ∴AB=CH.∵CD· CH=CF· CE, ∴AB·CD=BE·BF. ?????????????????????????10 分 (23)解: (Ⅰ)由已知得,
? 3 t, ?x ? ? ? 2 (t为 参 数 ) , 直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 1 ? 1t, ? ? 2 2

.

因为点 H 在直线 FQ 上, 所以 y2-kx1=2kx2= .??????????????????????9 分

O ·

D H F C

???? 于是 G F =(-2x1,-2kx1), 2 ???? 4 k x1 4 k x1 G H =(x2-x1,y2-kx1)=( ? , ). 2 2 2 ? 4k 2 ? 4k

而GH

? GF

等价于 G F ? G H ?

???? ????

4 ( 2 ? 2 ) k x1
2

2

2 ? 4k

2

? 0 .?????????????12 分

(21)解: (Ⅰ) f ( x ) ? 2 x ? b ?
'

???????????????3 分

a x

, 分

圆 C 的直角坐标方程为 x 2

? 2x ? y ? 0
2

. ??????????????????5 分

∵ f (1) ? 0 ,
'

f (1) ? 0 ,∴ a ? 1 , b ? ? 1 .?????????????????3
1 x



f ?( x ) ? 2 x ? 1 ?
'



∴令 f ( x ) ? 0 ,得 f ( x ) 的增区间 ? 1, ? ? ? , 令 f ( x ) ? 0 ,得 f ( x ) 的减区间 ? 0,1 ? . ??????????????????5 分
'

? 3 t, ?x ? ? ? 2 2 2 ( t 为 参 数 ) 代入 x ? 2 x ? y ? 0 (Ⅱ)将 ? ?y ? 1 ? 1t, ? ? 2 2



整理得 4 t 2

? ( 2 ? 4 3 )t ? 1 ? 0

,设方程两根分别为 t1 , t 2 , 则 t1 ? t 2

?

1 4

,

(Ⅱ)根据题意,对任意 b ? ? ?2, ?1? ,及任意 x ? (1, e) ,使得 f ( x) ? 0 成立, 即 x2
? b x ? a ln x ?
2

0 成立,

根据参数 t 的几何意义,得点 P 到 A , B 两点的距离之积为 | t1 t 2 (24)解: (Ⅰ)由|ax+1|>5 得 a x ? 4 或 a x ? ? 6 . 又 f(x)>5 的解集为{x| x ? 2 或 x ? ? 3 }, 当 a>0 时, x
? 4 a

|?

1 4

. ?????10 分

令 g ( b ) ? xb ? x ? a ln x , b ? [ ? 2, ? 1] ,则 g ( b ) 是关于 b 的一次函数且为增函数,
? g ( b ) m ax ? g ( ? 1) ? x ? x ? a ln x ? 0 在 (1, e ) 上恒成立,
2

即a ?

x ? x
2

在 (1, e ) 上恒成立,?????????????????????7 分 , x ? (1, e ) , h ? ( x ) ?
( 2 x ? 1) ln x ? ( x ? 1) ln x 2x ?1 x ? 1 ? 2 ln x ? 1 ? 1 x
2

ln x

或x

? ?

6 a

,得 a=2.

令 h(x) ?

x ? x
2

, ,

ln x

当 a≤0 时,经验证不合题意. 综上, a ? 2 . ?????????????????????????????5 分
? ?? x, ? x ? (Ⅱ)设 g(x)=f(x)- f ( ) ,则 g ? x ?= ? ? 3 x ? 2 , 2 ? ? ? x, ?
2

令 ? ( x ) ? ( 2 x ? 1) ln x ? ( x ? 1) , ? ? ? x ? ? 2 ln x ? 设 r ( x ) ? 2 ln x ? 1 ?
1 x

x ≤ ? 1, ?1 ? x ? ? x≥ ? 1 2 1 2 , ,

,r ? ? x ? ?

2 x

?

1 x
2

? 0 ,所以 r ? x ? 为增函数,所以 r ? x ? ? r ? 1 ? ? 0 ,

所以 ? ? ? x ? ? 0 , ? ( x ) 为增函数,所以 ? ? x ? ? ? (1) ? 0 ,

则函数 g ( x ) 的图象如下: 由图象可知,g(x)≥ ?
1 2


1 2

故原不等式在 R 上有解时,k≥ ? 即 k 的取值范围是 k≥ ?
y



1 2

.?????????????????????10 分

1
? 1 2

-1

O
? 1 2

x

3


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