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3.1.3概率的基本性质公开课


概率的基本性质
3.1.3

在掷骰子实验中,可以定义许多事件, 如 C 1 ? {出现1点};C 2 ? {出现2点};C 3 ? {出现3点}
C 4 ? {出现4点};C 5 ? {出现5点};C 6 ? {出现6点}
D 3 ? {出现的点数小于3}; E ? {出现的点数小于7};F ? {出现的点数大于6};; G ? {出现的点数为偶数};H ? {出现的点数为奇数};

D 1 ? {出现的点数不大于1};D 2 ? { 出现的点数大于3};

想一想? 这些事件之间有什么关系?

一:事件的关系与运算

(1)对于事件A与事件B,如果事件A发生, 那么事件B一定发生,则称事件B包含事 件A,(或称事件A包含于事件B 记;B ? A )
B A

注: 1)不可能事件记作?

2)任何事件都包含不可能事件

(2)若事件A发生,则事件B一定发生,反之也成立, 则称这两个事件相等。

记:A=B

若B ? A,且A ? B,则称事件A与事件B相等。

例如: G={出现的点数不大于1}
所以有G=A

A={出现1点}

注:两个事件相等也就是说这两个事件是 同一个事件。

(3)若某事件发生当且仅当事件发生A或事件B发生, 则称此事件为事件A与事件B的 并事件(或和事件)。记A ? B(或A+B)
B

A

A∪B

例如:

C={出现3点}

D={出现4点}

则C ∪ D={出现3点或4点}

(4)若某事件发生当且仅当事件发生且事件 B发生,则称此事件为事件A与事件B的交 事件(或积事件)。 ? B(或AB) 记A
A A∩B B

例如:

D={出现4点}

H={出现的点数大于3}
J={出现的点数小于5}

则有:H ∩J=D

(4)若A ? B为不可能事件(A ? B=?), 那么称事件A与事件B互斥。

例如: D={出现4点} F={出现6点}

A

B

M={出现的点数为偶数} N={出现的点数为奇数} 则有:事件D与事件F互斥

事件M与事件N互斥

(5)若A ? B为不可能事件,A ? B为必然事件, 那么称事件A与事件B互为对立事件。

事件A与事件B互为对立事件的含义是:这两个 事件在任何一次试验中有且仅有一个发生。

例如: M={出现的点数为偶数} N={出现的点数为奇数}

A

B

则有:M与N互为对立事件

帮助理解
互斥事件:

不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.如
C 1 ? {出现1点};C 2 ? {出现2点};C 3 ? {出现3点} C 4 ? {出现4点};C 5 ? {出现5点};C 6 ? {出现6点}

即C1,C2是互斥事件
对立事件:

其中必有一个发生互斥事件叫做对立事件

如:G ? ?出现的点数为偶数?;H=?出现的点数为奇数?

①首先G与H不能同时发生,即G与H互斥
②然后G与H一定有一个会发生,这时说G与H对立

进一步理解:对立事件一定是互斥的

互斥事件与对立事件的区别与联系
联系:都是两个事件的关系,
对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况 但互斥事件不一定是对立事件 区别:互斥事件是不可能同时发生的两个事件

对立事件除了要求这两个事件不同时发 生之外要求二者之一必须有一个发生

1、 例题分析:
例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些 是互斥事件?哪些是对立事件?
事件A:命中环数大于7环 事件B:命中环数为10环; 事件C:命中环数小于6环; 事件D:命中环数为6、7、 8 、9、10环. 分析:要判断所给事件是对立还是互斥,首先将两个概 念的联系与区别弄清楚,互斥事件是指不可能同时发生的 两事件,而对立事件是建立在互斥事件的基础上,两个事 件中一个不发生,另一个必发生。 解:A与C互斥(不可能同时发生),B与C互斥,C与D互 斥,C与D是对立事件(至少一个发生).

1.给定下列命题,判断对错。 1 )互斥事件一定对立; 2 )对立事件一定互斥; 3 )互斥事件不一定对立;
错 对 对

想一想?

二:概率的基本性质

1.概率P(A)的取值范围 0≤P(A)≤1
1) 必然事件B一定发生, 则 P(B)=1
2) 不可能事件C一定不发生, 则p(C)=0 3) 随机事件A发生的概率为 0<P(A) <1 4) 若A ?B, 则 p(A) <P(B)

2、当事件A与事件B互斥时,A∪B的频率 fn(A∪B)= fn(A)+ fn(B)

概率的加法公式 的概率)

( 互斥事件时同时发生

在掷骰子实验中,事件,A ? { 出现1 };B ? { 点 出现2点 ; }

C ?{ 出现的点数小于3};
A B C=A∪B

P(C)=p(A∪B)=p(A)+p(B)=1/6+1/6=1/3

当事件A与B互斥时, A∪B发生的概率 为P(A∪B)=P(A)+P(B)

3) 对立事件有一个发生的概率
如在掷骰子实验中,事件.
P(G)+P(H)=1
G ?{ 出现的点数为偶数}; H ?{ 出现的点数为奇数};

A

B

P(G) = 1- 1/2 = 1/2

当事件A与B对立时, A发生的概率为

P(A)=1- P(B)

例1、如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机 抽取一张,那么取到红心(事件A)的概率是1/4,取 到方片(事件B)的概率为1/4,问: (1)取到红色牌(事件C)的概率是多少?

(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?
解:(1)因为c= A ∪ B.且A和B不会同时发生,所以A 和B是互斥事件,根据概率的加法公式得到: P(C)=P(A)+P(B)=1/2 (2)C和D也是互斥事件,又由于C∪ D为必然事件,所 以C和D互为对立事件,所以 P(D)=1- P(C) = 1/2

1.某射手射击一次射中,10环、9环、 8环、7环的概率分别是0.24、0.28、 0.19、0.16计算这名射手射击一次 1)射中10环或9环的概率; 2)至少射中7环的概率;

想一想?

1 2. 甲、乙两人下棋,和棋的概率为 ,乙胜的概率 2 1 为 ,求 1 )甲胜的概率;20甲不输的概率。 3

?

? ? ?

? ?

1)、一个人打靶时连续射击两次,事件“至少 ?D 有一次中靶”的互斥事件是( ) (A)至少有一次中靶。(B)两次都中靶。 (C)只有一次中靶。 (D)两次都不中靶。 2)、把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、 乙、丙、丁4个人,每人分得一张,事件“甲分 ?B 得红牌”与事件“乙分得红牌”是( ) (A)对立事件 。 (B)互斥但不对立事件。 (C)不可能事件 。( D)以上都不是。

3)、甲乙两人下棋比赛(这种比赛不会 出现“和”的情况)中获胜的概率是0.3, 那么他输的概率是多少? 0.7 (变题)甲乙两人下棋,和棋(事件A)的概率 为0.5,乙获胜(事件B)的概率为0.3,那 么乙不输(事件C)的概率是多少?甲胜(事 件D)的概率是多少?

0.8

0.2

?4、课堂小结: ?概率的基本性质: 1)必然事件概率为1, 不可能事件概率为0, 因此0≤P(A)≤1; 2)当事件A与B互斥时,满足加法 公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 3)若事件A与B为对立事件,则 A∪B为必然事件, 所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于 是有P(A)=1—P(B);

3)互斥事件与对立事件的区别与联系: 互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,

其具体包括三种不同的情形:
(1)事件A发生且事件B不发生;

(2)事件A不发生且事件B发生;
(3)事件A与事件B同时不发生. 而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生,其包括 两种情形; (1)事件A发生B不发生;

(2)事件B发生事件A不发生,
对立事件互斥事件的特殊情形。

包含关系

小结
事件的关系与运算

相等关系
并(和)事件 交(积)事件 互斥事件

概率的基本性质

对立事件

0≤P(A) ≤1

必然事件的概率为1 概率的基本性质
不可能事件的概率为0 概率的加法公式

练习P121 1.2.3.4.5

对立事件计算公式


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