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高二数学选修2-1第一章课件全称量词与存在量词--人教A版_图文


全称量词与存在量词

1.4.1 全 词





思考:
下列语句是命题吗?

(1)x>3;
(2) 2x+1是整数;

(3)对所有的 x ? R, X>3; (4)对任意一个 x ? Z ,2x+1是整数。

我们知道,命题是可以判断真假的陈述句。语句(1) (2)含有变量x,由于不知道x代表什么数,无法判断 它们的真假,因而不是命题。语句(3)(4)用短语 “对所有的”、“对任意一个”对变量x进行限定,从 而成为可以判断真假的语句,因此是命题。

短语“对所有的”、“对任意一个” 在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号 ? 表示,含有全称量词的命题,叫做全称命 题
?

常见的全称量词还有:“对一切”, “对每一个”,“任给”,“所有的” 等 例如,命题:对任意的 n ? Z ,2n ? 1 是奇数; 所有的正方形都是矩形,都是全称命题。

通常,将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示,变量x的取值范围用M表示。 全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立. 简记为:?x ? M,p(x)
读作“任意x属于M,有P(x)成立”。
例1 判断下列全称命题的真假: 1)所有的素数都是奇数;

2)?x ? R, x2 ? 1 ? 1; 2 3)对每一个无理数x,x 也是无理数.

解:(1)2是素数,但2 不是奇数。所有全称命 题“所有的素数都是奇数”是假命题。 (2)?x ? R, 总有

x ?0
2
2

因而

x ? 1 ? 1.
2

所以,全称命题“?x ? R, x ( 3) 2

? 1 ? 1 ”是真命题。

是无理数,但 ( 2)2 ? 2 是有理数
2

x 所以,全称命题“对每一个无理数x,
也是无理数”是假命题

思考5:下列命题是全称命题吗?其真假 如何? 假 (1)所有的素数是奇数; (2) ? x∈R,x2+1≥1; 真

(3)对每一个无理数x,x2也是无理数; 假 (4)所有的正方形都是矩形. 真

1.4.2 存 在 量 词

想一想??
下列语句是命题吗? 1 )与3 ), 2 )与4 )之间 有什么关系? 1)2 x ? 1 ? 3; 2) x能被 2和3整除; 3)存在一个 x ? R, 使 2 x ? 1 ? 3; 4)至少有一个x ? Z , x能被 2和3整除。

短语“存在一个”“至少一个” 在逻辑中通常叫做 存在量词.用符号“? ”表示。 含有存在量词的命题,叫做特称命题。

例如,命题:
有的平行四边形是菱形;

有一个素数不是奇数;
有的向量方向不定;

存在一个函数,既是偶函数又是奇函数;
有一些实数不能取对数.
这些命题都是特称命题

常见的存在量词还有

“有些” “有一个” “对某个” “有 的”等.

通常,将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示,变量x的取值范围用M表示。 特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立. 简记为:?x ? M,p(x)
读作“存在一个x属于M,使P(x)成立”。

例1 判断下列特称命题的真假: 1)有一个实数x,使x +2x+3=0成立;
2)存在两个相交平面垂直同一条直线; 3)有些整数只有两个正因数.
2

解:(1)由于 ?x ? R, x

2

? 2x ? 3 ? ( x ?1) ? 2 ? 2, 因此使
2

x2 ? 2 x ? 3 ? 0 的实数x不存在。所以是假命题。

(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互 相平行的,因此不存在两个相交的平面垂直于 同一条直线。所有这个命题是假命题。 (3)由于存在整数3只有两个正因数1和3, 所以这个特称命题是真命题。

思考5:下列命题是特称命题吗?其真假 如何? 真 (1)有的平行四边形是菱形; 2 (2)有一个实数x0,使 x0 ? 2x0 ? 3 ? 0 ;假 真 (3)有一个素数不是奇数; (4)存在两个相交平面垂直于同一条直 假 线; 真 (5)有些整数只有两个正因数; (6)有些实数的平方小于0. 假

思考6:如何判定一个特称命题的真假?
出一个元素x0,使p(x0)成立;

? x0∈M,p(x0)为真:能在集合M中找

? x0∈M,p(x0)为假:在集合M中,使 p(x)成立的元素x不存在. 对?x0 ? M , P( x0 ) 都不成立.

理论迁移 例1 下列命题是全称命题还是特称命 题,并判断其真假. (1)任意实数的平方都是正数; 全称命题(假) (2)0乘以任何数都等于0; 全称命题(真) (3)有的老师既能教中学数学,也能 教中学物理; 特称命题(真)

(4)某些三角形的三内角都小于60°; 特称命题(假) (5)任何一个实数都有相反数. 全称命题(真)

例2 判断下列命题的真假. 2>x; ( 1) x ∈ R , x ? (2)?x∈R,sinx=cosxtanx; (3)? x∈Q,x2-8=0; (4)?x∈R,x2+x+1>0; (5)?x∈R,sinx-cosx=2; (6)?a,b∈R, a ? b ? 2 ab

真 假 假 真 假 假

已知:对?x ? R , x ? ax ? 1 ? 0
2

?

恒成立,求a的取值范围.

变式:已知:对?x ? R , 方程 cos x ? sin x ? 3 ? a ? 0有解,
2

求a的取值范围.

思考:

e ?1 已知 f ( x) ? x , e ?1
x

g ( x) ? x ? m ? x ,(m ? 0)
若对?x0 ? R ,总?t0 ,使得 f ( x0 ) ? g (t0 ) 求m的取值范围.

小结作业

1.全称量词是表示“全体”的量词, 用符号“ ? ”表示;存在量词是表示 “部分”的量词,用符号“ ? ”表示, 具体用词没有统一规定.
2.若对任意x∈M,都有p(x)成立,则 全称命题“? x∈M,p(x)”为真,否 则为假; 若存在x0∈M,使得p(x0)成立,则特称 命题“ ? x0∈M,p(x0)”为真,否则为

1.4

全称量词与存在量词 第二课时

问题提出 1. 全称量词与存在量词的含义及其 符号表示分别是什么? 全称量词:表示“全体”的量词,用符 号“ ? ”表示; 存在量词:表示“部分”的量词,用符 号“ ? ”表示.

2.全称命题与特称命题的含义及其一 般表示形式分别是什么? 含 义 一般表示形式

全称命题 含有全称量 词的命题 含有存在量 特称命题 词的命题

?x∈M,p(x)

?x0∈M,p(x0)

3.如何判断全称命题与特称命题的真 假? 真命题 假命题

?x∈M,
"

p(x)

对任意x∈M 存在x0∈M使 都有p(x)成立 得p(x0)不成立 存在x0∈M 对任意x∈M 使得p(x0)成立 p(x)不成立

?x0∈M,
p(x0)

4.任何一个命题都有其否定形式,并 且命题p与﹁p的真假性相反.对于全称命 题与特称命题的否定,在形式上有什么 变化规律,将是本节课所要探讨的课题.

探究(一):全称命题的否定

思考1:你能写出下列命题的否定吗? (1)本教室内所有学生都是男生; (2)所有的平行四边形都是矩形; (3)每一个素数都是奇数; (4) ? x∈R,x2-2x+1≥0. (1)本教室内至少有一名学生不是男生 (2)有的平行四边形不是矩形 (3)存在一个素数不是奇数 (4) ? x0∈R,x02-2x0+1<0.

思考2:从全称命题与特称命题的类型分 析,上述命题与它们的否定在形式上有 什么变化? 全称命题的否定都变成了特称命题. 思考3:一般地,对于含有一个量词的全 称命题p: ? x∈M,p(x),它的否定﹁p是 什么形式的命题 ?

p: ? x∈M,p(x) (全称命题) ﹁p: ? x0∈M,﹁p(x0)(特称命题)

探究(二):特称命题的否定

思考1:你能写出下列命题的否定吗? (1)本节课里有一个人在打瞌睡; (2)有些实数的绝对值是正数; (3)某些平行四边形是菱形; (4) ? x0∈R,x02+1<0; (1)本节课里所有的人都没有瞌睡; (2)所有实数的绝对值都不是正数; (3)每一个平行四边形都不是菱形; (4) ? x∈R,x2+1≥0.

思考2:从全称命题与特称命题的类型分 析,上述命题与它们的否定在形式上有 什么变化? 特称命题的否定都变成了全称命题. 思考3:一般地,对于含有一个量词的特 称命题p: ? x0∈M,p(x0),它的否定﹁p 是什么形式的命题 ? p: ?x0∈M,p(x0) (特称命题) ﹁ p: ? x∈M,﹁p(x) (全称命题)

理论迁移

例1 写出下列全称命题的否定: (1)p:所有能被3整除的整数都是奇数 (2)p:每一个四边形的四个顶点共圆 (3)p:?x∈Z,x2的个位数字不等于3. (1)﹁p:存在一个能被3整除的整数不 是奇数; (2)﹁p:存在一个四边形,其四个顶 点不共圆; (3)﹁p:?x0∈Z,x02的个位数字等于3.

例2 写出下列特称命题的否定: (1)p: ? x0∈R,x02+2x0+2≤0; (2)p:有的三角形是等边三角形; (3)p:有一个素数含有三个正因数.
2+2x+2>0; (1)﹁p: x ∈ R , x ?

(2)﹁p:所有的三角形都不是等边三角形
(3)﹁p:每一个素数都不含三个正因数.

例3 写出下列命题的否定,并判断 其真假: (1)p:任意两个等边三角形都相似 (2)p:? x0∈R,x02+2x0+2=0;
(1)﹁p:存在两个等边三角形,它们 不相似; 假命题
2+2x+2≠0; (2)﹁p: x ∈ R , x ? 真命题

(3)p: ? a∈R,直线(2a+3)x-(3a- 4)y+a-7=0经过某定点; (4)p: ? k∈R,原点到直线kx+2y- 1=0的距离为 ? 1. (3)﹁p:? a0∈R,直线(2a0+3)x- (3a0-4)y+a0-7=0不经过该定点; 假命题 ? k∈R,原点到直线kx+2y (4)﹁p: -1=0的距离不为1. 真命题

练习: 写出下列命题的否定
(1)所有自然数的平方是正数. (2)任何实数x都是方程5x-12=0的根. (3)对任意实数x,存在实数y,使x+y >0. (4) 有些质数是奇数

小结作业 1.对含有一个量词的全称命题与特称命 题的否定,既要考虑对量词的否定,又 要考虑对结论的否定,即要同时否定原 命题中的量词和结论 . 2.在命题形式上,全称命题的否定是特 称命题,特称命题的否定是全称命题, 这可以理解为“全体”的否定是“部 分”, “部分”的否定是“全体”.

3.全称命题和特称命题可以是真命题, 也可以是假命题,当判断原命题的真假 有困难时,可转化为判断其否命题的真 假.

作业:
P26练习:1,2. P27习题1.4A组:3. B组: 1.


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