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【全程复习方略】2014年人教A版数学理(福建用)课时作业:第五章 第二节等差数列及其前n项和]


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课时提升作业(三十一)
一、选 择题 1.(2012· 辽宁高考)在等差数列{an}中, 已知 a4+a8=16, 则 a2+a10=( (A)12 (B)16 (C)20 (D)24 ) )

2.等差数列{an}满足 a2+a9=a6,则前 9 项和 S9=( (A)-2 (B)0 (C)1 (D)2

3.(2013·厦门模拟)已知正数等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S12=24, 则 a6·a7 的最大值为( (A)36 (C)4 ) (B)6 (D)2 )

4.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7=( (A)14 (B)21 (C)28 (D)35

5.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 S3=12, S6=42, 则 a10+a11+a12=( (A)156 (B)102 (C)66 (D)48

)

6.已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差 d<0,Sn 是数列{an}的前 n 项 和, 则( ) (B)S5<S6 (D)S5=S6

(A)S5>S6 (C)S6=0

7.(2013·莆田模拟)已知数列{an}是等差数列,若它的前 n 项和 Sn 有最 大值,且 (A)10 (C)20 二、填空题 8.若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, 且 S8 -S3=10, 则 S11 的值为________. 9.若{an}为等差数列,a15=8,a60=20,则 a75=_________. 10.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S4=14,S10-S7=30,则 S9= ________. 11.(能力挑战题)设等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若对 任意自然数 n 都有 三、解答题 12.(2013·太原模拟)已知数列{an}是等差数列,且 a2=-1,a5=5. (1)求{an}的通项 an. (2)求{an}前 n 项和 Sn 的最小值. 13.(2013·温州模拟)等差数列{an}的首项为 a1,公差 d=-1,前 n 项和为 Sn. (1)若 S5=-5,求 a1 的值. (2)若 Sn≤an 对任意正整数 n 均成立,求 a1 的取值范围. 14.(能力挑战题)数列{an}满足 a1=1,an+1=(n2+n-λ )·an(n= 1,2,…),λ 是常数.
a a Sn 2n ? 3 则 9 + 3 的值为___________. = , Tn 4n ? 3 b 5 ? b 7 b8 ? b 4 a11 则使 Sn>0 成立的最大自然数 n 的值为( <? 1, a10

)

(B)19 (D)21

(1)当 a2=-1 时,求λ 及 a3 的值. (2)数列{an}是否可能为等差数列?若可能, 求出它的通项公式;若不可 能,说明理由.

答案解析
1.【思路点拨】利用首项 a1 与公差 d 的关系整体代入求解,也可直接利 用等差数列的性质求解. 【解析】选 B.方法一: ≧a4+a8=(a1+3d )+(a1+7d)=2a1+10d,a2+a10=(a1+d)+(a1+9d)=2a1+10d, ?a2+a10=a4+a8=16. 方法二:由等差数列的性质 a2+a10=a4+a8=16. 2.【解析】选 B.由 a2+a9=a6 得 a5+a6=a6,由此得 a5=0,故 S9=9a5=0. 3.【解析】选 C.在等差数列中,S12=6(a6+a7)=24,?a6+a7=4, 又 a6>0,a7>0,?a6·a7≤ (
a6 ? a7 2 ) =4, 2

即 a6·a7 的最大值为 4,选 C. 4.【解析】选 C.在等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,由等差数列的性质可知 a3+a5=a4+a4,所以 a4=4.根据等差数列的性质可知 a1+a2+…+a7=7a4=28, 故选 C. 5.【思路点拨】根据已知的特点,考虑使用等差数列的整体性质求解. 【解析】选 C.根据等差数列的特点,等差数列中 a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9, a10+a11+a12 也成等差数列,记这个数列为{bn},根据已知

b1=12,b2=42-12=30, 故这个数列的首项是 12, 公差是 18, 所以 b4=12+3 ×18=66. 6.【思路点拨】根据已知得到 a3+a9=0,从而确定出 a6=0,然后根据选 项即可判断. 【解析】选 D.≧d<0,|a3|=|a9|,?a3>0,a9<0, 且 a3+a9=0,?a6=0,a5>0,a7<0, ?S5=S6. 【变式备选】(2013·聊城模拟)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3+a17=10,则 S19=( (A)55 (C)100 ) (B)95 (D)不能确定

【解析】选 B.≧a3+a17=10,?a10=5,那么 S19=19a10=95. 7.【解析】选 B.由题意知 a1>0,又 <0, ?S19=19a10>0,S20=10(a1+a20)=10(a10+a11)<0, 故选 B. 8.【解析】 S8 ? S3 ? 10 ? ?5a1+8a8-3a3=20 ?10a1+50d=20?a1+5d=2?a6=2 ? S11 ?
11? a1 ? a11 ? ? 11a 6 ? 22 . 2 8 ? a1 ? a 8 ? 3 ? a1 ? a 3 ? ? ? 10 2 2

a11 <? 1, 知 a10>0,a11<0,且 a10+a11 a10

答案:22

9.【思路点拨】直接解出首项和公差,从而求得 a75,或利用 a15,a30,a45,a60,a75 成等差数列直接求得. 【解析】 方法一: {an}为等差数列, 设公差为 d, 首项为 a1,那么 ? 即?
?a1 ? 14d ? 8, ?a1 ? 59d ? 20.

?a15 ? 8, ?a 60 ? 20,

64 4 ,d ? . 15 15 64 4 所以 a 75 ? a1 ? 74d ? ? 74 ? ? 24 . 15 15

解得: a1 ?

方法二:因为{an}为等差数列,所以 a15,a30,a45,a60,a75 也成等差数列, 设公差为 d,则 a60-a15=3d,所以 d=4,a75=a60+d=20+4=24. 答案:24 10.【解析】设首项为 a1,公差为 d,由 S4=14 得
4a1+ 4?3 d=14 2

① ②

由 S10-S7=30 得 3a1+24d=30,即 a1+8d=10 联立①②得 a1=2,d=1.?S9=54. 答案:54 11.【解析】≧{a n},{bn}为等差数列, ? ≧
a9 a a a a ?a 2a a + 3 ? 9 ? 3 ? 9 3 ? 6 ? 6. b5 ? b7 b8 ? b4 2b6 2b6 2b6 2b6 b6 S11 a1 ? a11 2a 6 2 ?11 ? 3 19 a 6 19 ? ? ? ? ,? ? . T11 b1 ? b11 2b6 4 ?11 ? 3 41 b6 41
19 41

答案:

【方法技巧】巧解等差数列前 n 项和的比值问题 关于等差数列前 n 项和的比值问题,一般可采用前 n 项和与中间项的

关系,尤其是项数为奇数时 Sn=na 中,也可利用首项与公差的关系求解. 另外,熟记以下结论对解题会有很大帮助:若数列{an}与{bn}都是等差 数列,且前 n 项和分别是 Sn 与 Tn,则
a m S2m?1 . ? bm T2m?1

【变式备选】已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn, 且
A n 7n ? 45 a ,则使得 n 为整数的正整数 n 的个数是( ? Bn n ?3 bn

)

(A)2

(B)3

(C)4

(D)5

【解析】选 D.由等差数列的前 n 项和及等差中项,可得
1 1 (a1 ? a 2n ?1 ) (2n ? 1)(a1 ? a 2n ?1 ) 7 ? 2n ? 1? ? 45 14n ? 38 7n ? 19 an 2 A ? ? 2 ? 2n ?1 ? ? ? bn 1 (b ? b ) 1 (2n ? 1)(b ? b ) B2n ?1 2n ? 1? ? 3 2n ? 2 n ?1 ? 1 2n ?1 1 2n ?1 2 2 12 ?7? (n∈N*), n ?1

故 n=1,2,3,5,11 时,

an 为整数.故选 D. bn

12. 【解析】(1)设{an}的公差为 d,由已知条件,? d=2. 所以 an=a1+(n-1)d=2n-5. (2)Sn= na1 ?
n ? n ? 1? 2 d ? n 2 ? 4n ? ? n ? 2 ? ? 4 . 2

?a1 ? d ? ?1, 解得 a1=-3, ?a1 ? 4d ? 5,

所以 n=2 时,Sn 取到最小值-4. 【变式备选】设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差 d 的取值范围. (2)求{an}前 n 项和 Sn 最大时 n 的值.

?12a 1 ? 66d ? 0, ? 【解析】(1)≧S12>0,S13<0,? ?13a1 ? 78d ? 0, ?a ? 2d ? 12. ? 1

?-

24 <d<-3. 7

(2)由 S13 ?

13 ? a1 ? a13 ? ? 13a 7 ? 0, 知 a7<0, 2

S12=6(a1+a12)=6(a6+a7)>0,知 a6>0, 又≧d<0,?n≤6 时,an>0,n≥7 时,an<0, ?S6 最大,即 n=6. 13.【解析】(1)由条件得,S5=5a1+ 解得 a1=1. (2)由 Sn≤an,代入得 na1 ?
n ? n ? 1? ? a1 ? 1 ? n , 2
1 2 3 2
1 2 5? 4 d=-5, 2

整理,变量分离得: ? n ? 1? a1 ? n 2 ? n ? 1 = (n-1)(n-2), 当 n=1 时,上式成立. 当 n>1,n∈N*时,a1≤ (n-2), n=2 时, (n-2)取到最小值 0, ?a1≤ 0. 【变式备选】等差数列{an}的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,满足 2S2=a2(a2+1), 且 a1=1. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设 b n ?
2Sn ? 13 ,求数列{bn}的最小值项. n
1 2 1 2

【解析】(1)设数列{an}的公差为 d. 由 2S2 ? a 2 2 ? a2 ,

可得 2(a1+a1+d)=(a1+d)2+(a1+d). 又 a1=1,可得 d=1(d=-2 舍去), ?an=n. (2)根据(1)得 Sn ?
bn ? n ? n ? 1? , 2

2Sn ? 13 n ? n ? 1? ? 13 13 ? ? n ? ?1. n n n
13 (x>0)在(0, 13 ]上单调递减, 在[ 13 ,+≦)上单调 x

由于函数 f(x)=x+ 递增,

而 3< 13 <4,且 f(3)= 3 ? f(4)= 4 ?
13 29 87 ? ? , 4 4 12

13 22 88 ? ? , 3 3 12

所以当 n=4 时,bn 取得最小值, 且最小值为
29 33 ?1 ? , 4 4 33 . 4

即数列{bn}的最小值项是 b4=

14.【解析】(1)由于 an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…), 且 a1=1,所以当 a2=-1 时,得-1=2-λ, 故λ=3.从而 a3=(22+2-3)×(-1)=-3. (2)数列{an}不可能为等差数列,理由如下: 由 a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,得 a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ), a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ). 若存在λ,使{an}为等差数列,则 a3-a2=a2-a1, 即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3.

于是 a2-a1=1-λ=-2, a 4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24. 这与{an}为等差数列矛盾. 所以,对任意λ,{an}都不可能是等差数列.

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