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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习:1.7 定积分的简单应用]

选修 2-2

第一章

1.7

5 32 ∴S=F(1)-F(-3)= +9= .故应选 C. 3 3 2.由曲线 y=x2-1、直线 x=0、x=2 和 x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )

A.?2(x2-1)dx

?0

B.|?2(x2-1)dx|

?0

C.?2|x2-1|dx

?0

D.?1(x2-1)dx+?2(x2-1)dx

?0

?1

[答案] C [解析] y=|x2-1|将 x 轴下方阴影反折到 x 轴上方,其定积分为正,故应选 C. 3.(2013· 大庆实验中学高二期中)曲线 y=x3-3x 和 y=x 围成的图形面积为( A.4 C.10 [答案] B [解析]
3 ? ?y=x -3x, 由? ?y=x, ?

)

B.8 D.9

? ? ? ?x=0, ?x=2, ?x=-2, 解得? 或? 或? ?y=0. ? ?y=-2. ? ?y=2, ?

∵两函数 y=x3-3x 与 y=x 均为奇函数,
3 2 ∴S=2?2[x-(x3-3x)]dx=2· ? (4x-x )dx

?0

?0

1 =2(2x2- x4)|2 =8,故选 B. 4 0 4.一物体以速度 v=(3t2+2t)m/s 做直线运动,则它在 t=0s 到 t=3s 时间段内的位移是 ( ) A.31m C.38m [答案] B [解析] S=?3(3t2+2t)dt=(t3+t2)|0 =33+32=36(m),故应选 B. ?
0 3

B.36m D.40m

5.一物体在力 F(x)=4x-1(单位:N)的作用下,沿着与力 F 相同的方向,从 x=1 运动 到 x=3 处(单位:m),则力 F(x)所做的功为( )

A.8J C.12J [答案] D

B.10J D.14J
3

[解析] 由变力做功公式有:W=?3(4x-1)dx=(2x2-x)|1 =14(J),故应选 D.

?1

6. 若某产品一天内的产量(单位: 百件)是时间 t 的函数, 若已知产量的变化率为 a= 那么从 3 小时到 6 小时期间内的产量为( 1 A. 2 C.6+3 2 [答案] D 3 6 [解析] ?6 dt= 6t|3 =6-3 2,故应选 D. ?3 6t 二、填空题 7.由曲线 y2=2x,y=x-4 所围图形的面积是________. [答案] 18 [ 解析 ] ) 3 B.3- 2 2 D.6-3 2

3 , 6t

如图,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线交点的坐标,解方程组

2 ? ?y =2x, ? 得交点坐标为(2,-2),(8,4). ?y=x-4, ?

y2 因此所求图形的面积 S=?4-2(y+4- )dy 2 ?

1 y3 y2 取 F(y)= y2+4y- ,则 F′(y)=y+4- ,从而 S=F(4)-F(-2)=18. 2 6 2 8.一物体沿直线以速度 v= 1+tm/s 运动,该物体运动开始后 10s 内所经过的路程是 ________. [答案] 2 3 (11 -1) 3 2

2 3 10 2 3 [解析] S=∫10 1+tdt= (1+t) |0 = (11 -1). 0 3 2 3 2 1 9.由两条曲线 y=x2,y= x2 与直线 y=1 围成平面区域的面积是________. 4 [答案] 4 3

x2 [解析] 解法 1:如图,y=1 与 y=x2 交点 A(1,1),y=1 与 y= 交点 B(2,1), 4

1 4 由对称性可知面积 S=2(?1x2dx+?2dx-?2 x2dx)= . 4 3 ? ? ?
0 1 0

解法 2:同解法 1 求得 A(1,1),B(2,1). 由对称性知阴影部分的面积 1 1 S=2· [?1(x2- x2)dx+?2(1- x2)dx] 4 4 ? ?
0 1

1 1 3 2 =2· [ x3|1 0+(x- x )|1] 4 12 1 5 4 =2×( + )= . 4 12 3 解法 3:同解法 1 求得 A(1,1)B,(2,1),C(-1,1),D(-2,1). S=?

?

2
-2

1 (1- x2)dx-?1-1(1-x2)dx 4 ?

1 1 =(x- x3)|2 -(x- x3)|1 12 -2 3 -1 8 4 4 = - = . 3 3 3 解法 4: 同解法 1 求得 A(1,1),B(2,1),取 y 为积分变量, 由对称性知,S=2?1(2 y- y)dy

?0

2 31 4 =2?1 ydy=2×( y |0 )= . 3 2 3 ?
0

三、解答题 10.计算曲线 y=x2-2x+3 与直线 y=x+3 所围图形的面积. [解析] 由?
? ?y=x+3, ?y=x -2x+3, ?
2

解得 x=0 及 x=3.

从而所求图形的面积 S=?3[(x+3)-(x2-2x+3)]dx

?0

=?3(-x2+3x)dx

?0

1 3 3 2? 3 9 =? ?-3x +2x ?|0 =2.

一、选择题 1.如图所示,阴影部分的面积是( )

A.2 3 32 C. 3 [答案] C

B.2- 3 35 D. 3
1

? [解析] S=? (3-x2-2x)dx -3
1 即 F(x)=3x- x3-x2, 3 1 5 则 F(1)=3-1- = , 3 3 F(-3)=-9-9+9=-9. 能力拓展提升一、选择题
x 11.∫ln2 0 e dx 的值为(

) B.1 D.e2

A.-1 C.e2-1 [答案] B

x x ln2 ln2 0 [解析] ∫ln2 0 e dx=e |0 =e -e =2-1=1.

12.(2013· 北师大附中高二期中)利用定积分的几何意义,可求得? A.9π 9 C. π 4 [答案] B [解析] 由定积分的几何意义知,? 半圆)的面积,
3

3

?-3

9-x2dx=(

)

9 B. π 2 3 D. π 2 9-x2dx 表示圆 x2+y2=9 位于 x 轴上方部分(即

?-3

∴?

3

?-3

1 9π 9-x2dx= ×π×32= . 2 2

13.(2013· 辽宁实验中学高二期中)直线 y=2x+3 与抛物线 y=x2 所围成的图形面积是 ( ) A.20 32 C. 3 [答案] C
? ? ? ?y=2x+3, ?x=-1, ?x=3, ? ? [解析] 由? 解得 或 2 ?y=x , ?y=1, ?y=9. ? ? ?

28 B. 3 43 D. 3

∴S=?

?

3 -1

(2x+3-x2)dx

1 32 =(x2+3x- x3)|3 = . 3 -1 3 故选 C. 14.(2012· 福建理,6)如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰 好取自阴影部分的概率为( )

1 A. 4 1 C. 6 [答案] C

1 B. 5 1 D. 7

?x=0 ?x=1 ? ? ?y= x [解析] 本题考查了定积分的计算与几何概型. 联立? 解得? , 或者? , ? ?y=1 ?y=0 ? ?y=x

∴O(0,0),B(1,1), 1 2 6 1 S 2 3 x 2 1 1 阴影 1 ∴S 阴影=?1( x-x)dx=( x - )|0= - = ,∴P= = = . 3 2 2 3 2 6 1 6 S 正方形 ?
0

二、填空题 15.(2014· 福建理,14)如图,在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄 豆,则它落到阴影部分的概率为________.

[答案]

2 e2

[解析] ∵S 阴=2?1(e-ex)dx=2(ex-ex)|1 0=2,

?0

2 S 正方形=e2,∴P= 2. e 三、解答题 16.(2013· 广东省中山一中月考)设 f(x)是二次函数,其图象过点(0,1),且在点(-2,f(- 2))处的切线方程为 2x+y+3=0. (1)求 f(x)的表达式; (2)求 f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积; (3)若直线 x=-t(0<t<1)把 f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求 t 的值. [解析] (1)设 f(x)=ax2+bx+c, ∵其图象过点(0,1),∴c=1,
? ?f?-2?=1, 又∵在点(-2,f(-2))处的切线方程为 2x+y+3=0,∴? ?f ′?-2?=-2. ? ? ?-2?2+b· ?-2?+1=1, ?a· ? ∵f ′(x)=2ax+b,∴ ? ?-2?+b=-2. ?2a·

∴a=1,b=2,故 f(x)=x2+2x+1.

(2)依题意,f(x)的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示, 1 1 故所求面积 S=?0-1(x2+2x+1)dx=( x3+x2+x)|0 -1= . 3 3 ? (3)依题意,有 1 1 1 S=?0-t(x2+2x+1)dx=( x3+x2+x)|0 -t= , 2 ? 3 6 1 1 即 t3-t2+t= , 3 6

∴2t3-6t2+6t-1=0,∴2(t-1)3=-1,∴t=1-

1 3 2
2

.

17.(2013· 重庆八中月考)如图,设点 P 在曲线 y=x 上,从原点向 A(2,4)移动,记直线 OP 与曲线 y=x2 所围成图形的面积为 S1, 直线 OP、 直线 x=2 与曲线 y=x2 所围成图形的面 积为 S2. (1)当 S1=S2 时,求点 P 的坐标; (2)当 S1+S2 取最小值时,求点 P 的坐标及此最小值.

[解析] (1)设点 P 的横坐标为 t(0<t<2),则点 P 的坐标为(t,t2),直线 OP 的方程为 y= tx. 1 S1=?1(tx-x2)dx= t3, 6 ?
0

8 1 S2=?2(x2-tx)dx= -2t+ t3, 3 6 ?
t

1 8 1 4 因为 S1=S2,所以 t3= -2t+ t3,解得 t= , 6 3 6 3 4 16 故点 P 的坐标为( , ). 3 9 (2)令 S=S1+S2, 1 8 1 1 8 由(1)知,S= t3+ -2t+ t3= t3-2t+ ,则 S′=t2-2, 6 3 6 3 3 令 S′=0,得 t2-2=0,因为 0<t<2,所以 t= 2, 又当 0<t< 2时,S′<0;当 2<t<2 时,S′>0; 8 4 2 故当 t= 2时,S1+S2 有最小值,最小值为 - ,此时点 P 的坐标为( 2,2). 3 3


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