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金版高考数学 第七章 第二节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式课件(文) 北师大版必修4、必修5_图文

第二节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 1.同角三角函数的基本关系 sin α π sin α+cos α=1, =tan_α(α≠kπ+ , k∈Z). cos α 2 2 2 (1)“1”在化简、求值、证明中的妙用. π 1可以用sin2 α+cos2 α,tan ,…代换.1的三角代换在三角函 4 数式的恒等变形过程中有着广泛的应用. (2)对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,已 知其中一个式子的值,其余二式的值可以求出.即:(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α; (sin α-cos α)2=1-2sin αcos α; (sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2. 2.三角函数的诱导公式(如下表) 函数 sin α sin_α -sin_α -sin_α sin_α -sin_α cos α cos_α cos_α -cos_α tan α tan_α -tan_α tan_α α α+2kπ,k∈Z -α π+α π-α 2π-α -cos_α -tan_α cos_α -tan_α π -α 2 π +α 2 cos_α cos_α sin_α -sin_α 利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本 步骤是: 任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0°~360°的角 的三角函数→锐角三角函数 应用诱导公式,重点是“函数名称”与“正负号”的正确判 断.求任意角的三角函数值的问题,都可以通过诱导公式化为锐 角三角函数的求值问题,具体步骤为“负角化正角”→“正角化 锐角”→求值. ? 4 ? 4 5 ? 1.sin3π·cos 6π·tan?-3π? ?的值是( ? ? ) 3 3 A.- 4 3 C.- 4 3 3 B. 4 3 D. 4 【 ? ? ? ? 解 析 】 原 式 = ? ? π? π? π? ? ? ? ? sin π+3?· cos?π-6?· tan?-π-3? ? ? ? ? ? ? ? ? π? π? π? ? ? ? ? ? = -sin3?· ?-cos ?· ?-tan ? 6? ? 3? ? ? ? ? ? ? =?- ? ? 3 3 3? ? 3? ?· ?- ?· (- 3)=- 4 . 2 ?? 2? A 【答案】 ?π ? 1 ? 2.已知 sin(π-α)= ,α∈?2,π? ?,则 tan α 3 ? ? =( ) 2 2 2 A.- 4 B.- 3 2 2 C. 3 2 D. 4 1 2 2 【解析】 由题可得 sin α=3, cos α=- 3 , 2 ∴tan α=- ,选 A. 4 【答案】 A ? π π? 1 ? 3.已知 sinθ=- ,θ∈?-2,2? ?,则 sin(θ- 3 ? ? ? 3 5π)sin 2π-θ? ?的值是( ? ? ? ? ? ) A. 2 2 9 2 2 B.- 9 1 D.9 1 C.-9 【解析】 由已知条件可得 θ 为第四象限角, 2 2 根据同角三角函数关系式可得 cos θ= 3 ,由三 角函数诱导公式可得 ? 3 1 2 2 ? sin(θ-5π)sin 2π-θ?=sin θcos θ=-3× 3 ? ? ? ? ? 2 2 =- 9 . 【答案】 B 1 4.如果 cos α= ,且 α 是第四象限的角,那 5 π? 么 cos α+2? ?=________. ? ? ? ? ? 1 【解析】 α 是第四象限的角且 cos α=5, ∴sin α=- ? ? ? ? 2 6 1-cos α=- 5 , 2 π? 2 6 于是 cos α+2? =- sin α = ? 5 . ? 2 6 【答案】 5 5.tan 300°+sin 450°=________. 【解析】 tan 300° +sin 450° =tan(360° -60° )+sin(360° +90° ) =-tan 60° +sin 90° =- 3+1. 【答案】 - 3+1 诱导公式的应用 ? ? π π? ? ? 已知 cos 2+α?=2sin?α-2? ?. ? ? ? ? ? ? ? sin3(π-α)+cos(α+π) 求 ?5π ? ?7π ?的值. ? -α? -α? 5cos? ? ?+3sin? ? ? 2 ? ? 2 ? 【思路点拨】 先利用诱导公式将条件和所求式子化 简,然后再求值. ? π ? π? ? ? 【解析】 ∵cos 2+α?=2sin?α-2? ?, ? ? ? ? ? ? ? π ? ∴-sin α=-2sin 2-α? ?, ? ? ? ? ? ∴sin α=2cos α,即 tan α=2. sin3(π-α)+cos(α+π) ∴ ?5π ? ?7π ? ? ? ? 5cos? 2 -α?+3sin? 2 -α? ? ? ? ? ? sin3α-cos α = ? ? ? ? π π ? ? ? 5cos?2π+2-α?+3sin?4π-2-α? ? ? ? ? ? sin3α-cos α = ?π ? ?π ? ? ? ? 5cos?2-α? -3sin?2+α? ? ? ? ? ? sin3α-cos α sin2α·tan α-1 = = 5sin α-3cos α 5tan α-3 = 2sin2α-1 10-3 = 2sin2α-1 7 = 2sin2 α-(sin2α+cos2α) 7(sin2α+cos2α) sin2α-cos2α tan2α-1 4-1 = = = 7(sin2α+cos2α) 7(tan2α+1) 7×(4+1) 3 =35. 同角三角函数的基本关系 已知sin α=2cos α,求 sin α

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