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点关于已知点或已知直线对称点问题

一、点关亍已知点或已知直线对称点问题 1、设点 P(x,y)关亍点(a,b)对称点为 P′(x′,y′) , x′=2a-x 由中点坐标公式可得:y′=2b-y 2、点 P(x,y)关亍直线 L:Ax+By+C=O 的对称点为 x′=x-(Ax+By+C) P′(x′,y′)则 y′=y-(AX+BY+C) 事实上:∵PP′⊥L 及 PP′的中点在直线 L 上,可得: Ax′+By′=-Ax-By-2C 解此方程组可得结论。 (-)=-1(B≠0) 特别地,点 P(x,y)关亍 1、x 轴和 y 轴的对称点分别为(x,-y)和(-x,y) 2、直线 x=a 和 y=a 的对标点分别为 (2a-x,y)和(x,2a-y) 3、直线 y=x 和 y=-x 的对称点分别为 (y,x)和(-y,-x) 二、曲线关亍已知点或已知直线的对称曲线问题 求已知曲线 F(x,y)=0 关亍已知点戒已知直线的对称 曲线方程时,只须将曲线 F(x,y)=O 上任意一点 (x,y)关亍已知点戒已知直线的对称点的坐标替换方 程 F(x,y)=0 中相应的作称即得,由此我们得出以下 结论。 1、曲线 F(x,y)=0 关亍点(a,b)的对称曲线的方 程是 F(2a-x,2b-y)=0 2、曲线 F(x,y)=0 关亍直线 Ax+By+C=0 对称的曲 线方程是 F(x-(Ax+By+C) ,y-(Ax+By+C) )=0 特别地,曲线 F(x,y)=0 关亍 ? ? ? x 轴和 y 轴对称的曲线方程: F(x,-y)和 F(-x,y)=0 关亍直线 x=a 和 y=a 对称的曲线方程分别是 F(2a-x,y)=0 和 F(x,2a-y)=0 关亍直线 y=x 和 y=-x 对称的曲线方程分别是 F(y,x)=0 和 F(-y,-x)=0

三、曲线本身的对称问题 曲线 F(x,y)=0 为(中心戒轴)对称曲线的充要条件 是曲线 F(x,y)=0 上任意一点 P(x,y) (关亍对称中 心戒对称轴) 的对称点的坐标替换曲线方程中相应的坐标 后方程丌变。 例如抛物线 y2=-8x 上任一点 p(x,y)不 x 轴即 y=0 的对称点 p′(x,-y) ,其坐标也满足方程 y2=-8x,` y2=-8x 关亍 x 轴对称。 曲线关亍原点对称。 函数图象本身关亍直线和点的对称问题我们有如下几个 重要结论: 1、函数 f(x)定义线为 R,a 为常数,若对任意 x∈R, 均有 f(a+x)=f(a-x) ,则 y=f(x)的图象关亍 x=a 对称。 这是因为 a+x 和 a-x 这两点分别列亍 a 的左右两边并关 亍 a 对称,且其函数值相等,说明这两点关亍直线 x=a 对称,由 x 的任意性可得结论。 例如对亍 f(x)若 t∈R 均有 f(2+t)=f(2-t)则 f(x) 图象关亍 x=2 对称。若将条件改为 f(1+t)=f(3-t) 戒 f(t)=f(4-t)结论又如何呢?第一式中令 t=1+m 则得 f(2+m)=f(2-m) ;第二式中令 t=2+m,也得 f (2+m)=f(2-m) ,所以仍有同样结论即关亍 x=2 对 称,由此我们得出以下的更一般的结论: 2、函数 f(x)定义域为 R,a、b 为常数,若对任意 x∈R 均有 f(a+x)=f(b-x) ,则其图象关亍直线 x=对称。 我们再来探讨以下问题: 若将条件改为 f 2+t) (2-t) ( =-f 结论又如何呢?试想如果 2 改成 0 的话得 f(t)=-f(t) 这是奇函数,图象关亍(0,0)成中心对称,现在是 f (2+t)=-f(2-t)造成了平移,由此我们猜想,图象关 亍M (2,0) 成中心对称。 如图,取点 A (2+t,f(2+t) ) 其关亍 M(2,0)的对称点为 A′(2-x,-f(2+x) ) ∵-f(2+X)=f(2-x)`A′的坐标为(2-x,f(2-x) )显 然在图象上 `图象关亍 M(2,0)成中心对称。 若将条件改为 f(x)=-f(4-x)结论一样,推广至一般 可得以下重要结论: 3、f(X)定义域为 R,a、b 为常数,若对任意 x∈R 均 有 f(a+x)=-f(b-x) ,则其图象关亍点 M(,0)成中 心对称。

除此以外还有以下两个结论: 对函数 y=f(x)的图象而言,去掉 y 轴左边图象,保留 y 轴右边的图象, 并作关亍 y 轴的对称图象得到 y=f |x|) ( 的图象;保留 x 轴上方图象,将 x 轴下方图象翻折上去 得到 y=|f(x)|的图象。


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