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2013-2014学年高中数学(人教A版必修1)1.3.2奇偶性同步练习及答案解析

1.3.2

奇偶性
建议用时 45 分钟 实际用时 满分 100 分
2

实际得分

一、选择题(本大题共 5 个小题,每小题 6 分,共 30 分) 1.已知函数 f(x)=ax +bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1,2a] ,则(



A. a ? b=0

1 ,b=0 3

B.a=-1,b=0

C.a=1,b=0

D.a=3,

2.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)= -f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( A.f(-25)<f(11)<f(80) C.f(11)<f(80)<f(-25) ) B.f(80)<f(11)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) )

1 3.若函数 f(x)=ax+ (a∈R),则下列结论正确的是( x A . 任 意 函数 B . 任 意 函数 C.存在 a∈R,函数 f(x)为奇函数 D.存在 a∈R,函数 f(x)为偶函数 4.若函数 f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上是 增函数,又 f(2)=0,则 A.(-2,0)∪(0,2) B.(-∞,-2)∪(0,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,0)∪(2,+∞) 5 . 设 偶 函 数 f(x)是增函数,则 A.f(π)>f(3) >f (2) B.f(π)>f(2)>f(3) C.f(π)<f(3)<f(2) D.f(π)<f(2)<f(3) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 6 分,共 24 分) 6. 若函数 a ∈ R , 函 数 a ∈ R , 函 数

f ( x ) 在 ( 0 , + ∞ ) 上 是 增 f ( x ) 在 ( 0 , + ∞ ) 上 是 减

f ( x) ? f (? x) 的解集为( x

)

f ( x ) 的 定 义 域 为

R , 当

x ? [0, ??) 时 ,

f (?2),f (? ),f (?3) 的大小关系是( )

f ( x) 满足 f (? x) ? ? f ( x) ,并且 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x 3 ? x ? 1 ,则当 x ? 0 时,
.

f ( x) =

7.若 y=(m-1)x2+2mx+3 是偶函数,则 m =_________.

8.已知函数 f(x)为 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x(x+1).若 f(a)=-2,则实数 a=________. 9.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并满足 f(x+2)=-,当 1≤x≤2 时,f(x)=x-2,则 f(6.5)= ________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,共 46 分) 10.(14 分)判断下列函数的奇偶性: 2x2+2x (1)f(x)= ; x+1 (2)f(x)= 1-x2+ x2-1; 4-x2 (3)f(x)= |x+2|-2

11. (15 分)设函数 y=f(x) (x ? R 且 x≠0)对任意非零实数 x1、x2 满足 f(x1· x2)=f(x1)

+ f(x2) ,求证:f(x)是偶函数.

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, ? 12. (17 分)已知函数 f(x)= ?0, x ? 0, 是奇函数. ? x 2 ? mx, x ? 0 ?
(1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围

一、选择题 1.A 解析:由 f(x)=ax +bx+3a+b 为偶函数,得 b=0.
2

又定义域为[a-1,2a] ,∴ a-1=2a,∴ a ?
2.D

1 .故选 A. 3

解析:∵ f(x-4)=-f(x),∴ T=8.又 f(x)是 R 上的奇函数,∴ f(0)=0.

∵ f(x)在[0,2]上是增函数,∴ f(x)在[0,2]上恒大于等于 0. 又 f(x)是奇函数,∴ f(x)在[-2,0]上也是增函数,且 f(x)在[2,0]上恒小于等于 0.. 易知 x∈[2,4]时,f(x)=-f(x-4)≥0,且 f(x)为减函数. 同理 f(x)在[4,6]上为减函数且 f(x)≤0.如图. ∵ f(-25)=f(-1)<0,f(11)=f(3)>0,f(80)=f(0)=0,∴ f(-25)<f (80)<f(11). 3.C 4.A 解析:当 a=1 时,函数 f(x)在(0,1)上为减函数,A 错;当 a=1 时,函数 f(x)在(1, 解析: 因为函数 f(x)为奇函数, 且在(0, +∞)上是增函数, f(2)=0, 所以 x>2 或-2<x<0 +∞)上为增函数,B 错;D 选项中的 a 不存在. 时,f(x)>0;x<-2 或 0<x<2 时,f(x)<0.<0,即<0,可知-2<x<0 或 0<x<2. 5.A 解析:因为

f ? x ? 是 偶 函 数 , 所 以 f ? ?2 ? ? f ? 2 ? , f ? ?3? ? f ? 3? . 因 为 当

x ? [0, ??) 时是增函数,所以 f ? 2 ? ? f ? 3? ? f ? π ? , 所以f ? ?2 ? ? f ? ?3? ? f ? π ? .
二、填空题 6.

2 x3 ? x ? 1









x?0





?x ? 0



3 f ? x ? ? ? f ? ? x ? ? ? ? 2 ? ? x ? ? ? ? x ? ? 1? ? 2 x 3 ? x ? 1 . ? ?

7. 0

解析:因为函数 y=(m-1)x +2mx+3 为偶函数,∴

2

f(-x)=f(x) ,即 )
2

(

m



1

)

(



x



2m(-x)+3=(m1)x2+2mx+3,整理,得 m=0.
8.-1 解析:令 x<0,则-x>0,所以 f(-x)=-x(1-x). 又 f(x)为奇函数,所以当 x<0 时,f(x)=x(1-x). 当<0 时,f(a)=a(1-a)=-2,得 a2-a-2=0, 解得 a=-1 或 a=2(舍去). 当 0 时,即,无解. 9.-0.5 解析: 由 f(x+2)=-, 得 f(x+4)=-=f(x), 故 f(x)的周期是 4, 得 f(6.5)=f(2.5). 因 为 f(x)是偶函数,得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5). 而 1≤x≤2 时,f(x)=x-2,∴ f(1.5)=-0.5. 故 f(6.5)=-0.5. 三、解答题 10.解: (1)函数的定义域为{x|x≠-1,},不关于原点对称, ∴ 函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

(2)由 ?

?1 ? x 2≥0, ? 得 x=± 1,此时 f(x)=0,x∈{-1,1}. 2 ? ? x ? 1≥0

∴ f(x)既是奇函数又是偶函数.
?4-x2≥0, ? (3)∵ ? ∴ f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称. ?|x+2|-2≠0, ?

4 - x2 4-x2 此时 f(x)= = .又 f(-x)= x |x+2|-2 ∴ f(x)= 4-x2 为奇函数. |x+2|-2

4 ? ( ? x) 2 4-x2 =- =-f(x), x ?x

11.证明:由 x1,x2 ? R 且不为 0 的任意性,令 x1=x2=1,

则 f(1)=2f(1) ,∴ f(1)=0. 又令 x1=x2=-1, 则 f[-1× (-1) ]=2f()=0, ∴ ∴ (-1)=0.又令 x1=-1,x2=x, f(-x)=f(-1)+f(x)=0+f(x)=f(x) ,即 f(x)为偶函数.

点评:抽象函数要注意变量的赋值,特别要注意一些特殊值,如 x1=x2=1,x1=x2=- 1 或 x1=x2=0 等,然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可.
12.解:(1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以 m=2. (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
?a-2>-1, ? 结合 f(x)的图象知? ?a-2≤1, ?

所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3]


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