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快乐学堂小升初数学专题三容斥原理


快乐学堂小升初数学专题三容斥原理
在计数时,必须注意无一重复,无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算, 人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况, 把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来, 然后再把计数时重复计算的数 目排斥出去, 使得计算的结果既无遗漏又无重复, 这种计数的方法称为容斥原理。 容斥原理 1 如果被计数的事物有 A、 B 两类,那么, A 类 B 类元素个数总和 = 属于 A 类元素个数 + 属于 B 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数。 (A∪B = A+B - A∩B ) 例1 一次期末考试,某班有 15 人数学得满分,有 12 人语文得满分,并且有 4 人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人? 分析 依题意,被计数的事物有语、数得满分两类,“数学得满分”称为“A 类元素”, “语文得满分”称为“B 类元素”, “语、 数都是满分”称为“既 是 A 类又是 B 类的元素”, “至少有一门得满分的同学”称为“A 类和 B 类 元素个数”的总和。 答案 15+12-4=23

试一试 电视台向 100 人调查前一天收看电视的情况,有 62 人看过 2 频道, 34 人看过 8 频道, 其中 11 人两个频道都看过。 两个频道都没看过的有多少人? 100-(62+34-11)=15 课堂训练

1. 在 1,2, 3, …,100 这 100 个自然数中, 能被 5 或 9 整除的数有( )。

2. 在 1,2,3,…,100 这 100 个自然数中,能被 2 和 3 整除,但不 能被 5 整除的数有( )个。 3. 500 以内既是完全平方数也是完全立方数的数有( )个。

容斥原理 2 如果被计数的事物有 A 、B 、C 三类,那么,A 类和 B 类和 C 类元素个数 总和 = A 类元素个数 + B 类元素个数 +C 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元 素个数—既是 A 类又是 C 类的元素个数—既是 B 类又是 C 类的元素个数 + 既 是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。(A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C) 例2 某校六( 1 )班有学生 45 人,每人在暑假里都参加体育训练队,其中 参加足球队的有 25 人,参加排球队的有 22 人,参加游泳队的有 24 人,足 球、排球都参加的有 12 人,足球、游泳都参加的有 9 人,排球、游泳都参 加的有 8 人,问:三项都参加的有多少人? 分析:参加足球队的人数 25 人为 A 类元素,参加排球队人数 22 人为 B 类元素,参加游泳队的人数 24 人为 C 类元素,既是 A 类又是 B 类的为足球 排球都参加的 12 人,既是 B 类又 C 类的为足球游泳都参加的 9 人,既是 C 类又是 A 类的为排球游泳都参加的 8 人,三项都参加的是 A 类 B 类 C 类的 总和设为 X 。注意:这个题说的每人都参加了体育训练队,所以这个班的总 人数既为 A 类 B 类和 C 类的总和。 答案: 25+22+24-12-9-8+X=45 解得 X=3 例3 在 1 到 1000 的自然数中,能被 3 或 5 整除的数共有多少个?不能被 3 或 5 整除的数共有多少个? 分析:显然,这是一个重复计数问题(当然,如果不怕麻烦你可以分 别去数 3 的倍数,5 的倍数)。我们可以把“能被 3 或 5 整除的数”分别看 成 A 类元素和 B 类元素,能“同时被 3 或 5 整除的数( 15 的倍数)”就是 被重复计算的数,即“既是 A 类又是 B 类的元素”。求的是“A 类或 B 类元 素个数”。现在我们还不能直接计算,必须先求出所需条件。

1000÷3=333??1,能被 3 整除的数有 333 个(想一想,这是为什么?) 同理,可以求出其他的条件。 例4 分母是 1001 的最简分数一共有多少个? 分析:这一题实际上就是找分子中不能与 1001 进行约分的数。由于 1001=7×11×13,所以就是找不能被 7 , 11, 13 整除的数。 解答: 1~1001 中 , 有 7 的倍数 1001/7 = 143 ( 个 ) ; 有 11 的倍数 1001/11 = 91 ( 个 ), 有 13 的倍数 1001/13 = 77 ( 个 );有 7´11=77 的倍数 1001/77 = 13 ( 个 ), 有 7´13=91 的倍数 1001/91 = 11 ( 个 ), 有 11´13=143 的倍数 1001/43 = 7 ( 个 ). 有 1001 的倍数 1 个 . 由容斥原理知 : 在 1~1001 中 ,能被 7 或 11 或 13 整除的数有 (143+91+7)-(13+11+7)+1=281( 个 ), 从而不能被 7 、 11 或 13 整除的数有 1001-281=720( 个 ).也就是说 , 分母为 1001 的最简分数有 720 个 . 课堂训练

4、在一所中学的实验班里,60 个学生参加过竞赛。其中

参加过数学竞赛的有 30 人,参加过英语竞赛的有 25 人,参加过作 文比赛的有 17 人,参加过数学竞赛和英语竞赛的有 12 人,参加过 英语竞赛和作文比赛的有 10 人,参加过数学竞赛和作文比赛的有 7 人,则三种竞赛都参加过的学生有 ( )人。 5. 以 60 为分母的最简真分数共有 ( )个。 6. 某学校数学竞赛的加试题有 2 道。结果全校参赛的 210 人中, 第一题得满分的有 40 人,第二题没得满分的有 150 人,两道都得 满分的有 10 人。则两题都没得满分的人数有 ( )人。 7. 某兴趣小组有 50 人,有的会画画,有的会书法,有的两样都不 会,有的两样都会,其中会画画的有 25 人,会书法的有 21 人,都 不会的有 14 人。那么既会画又会书法的有( )人。 8. 90 以内是 3 或 7 的倍数的自然数有( )个。

答案与解析 1. 解: 能被 5 整除的数是 5,10,15,?,100,共 20 个; 能被 9 整除的数是 9,18,27,?,99;共 11 个; 能被 45 整除的数是 45,90。 则能被 5 或 9 整除的数有 20+11-2=29(个)。 2. 解:能被 2 和 3 整除的数有 6,12,18,?,96;共 16 个; 其中能被 5 整除的数有 30, 60, 90, 则能被 2 和 3 整除, 但不能被 5 整除的数有 16-3=13(个)。 3. 解:有 2 个。500 以内既是完全平方数也是完全立方数的数有 1、64。因为 1 和 4 是完全 平方数,那么它们的立方就是完全平方数,而 9 的立方超过 500 了。 4. 解:三种竞赛都参加过的人有:60-30-25-17+12+10+7=17(人)。 5. 解:只需要考察其中分子的个数即可;并且分子要满足与 60 互质,即分子不是 2、3、5 中任何一个数的倍数。在 60 以内,2 的倍数有 30 个,3 的倍数有 20 个,5 的倍数有 12 个, 2 和 3 的公倍数有 10 个,2 和 5 的公倍数有 6 个,3 和 5 的公倍数有 4 个,2、3 和 5 的公倍 数有 2 个,则最简真分数共有 60-(30+20+12-10-6-4+2)=16(个)。 6. 解:150-(40-10)=120(人) 7. 解:10。 50-14=36(人)画画、书法至少会一样, 则 21+25-36=10(人)既会画画又会书法。 8. 解:38。 90 以内是 3 的倍数的自然数有 3,6,9,?,90,共 30 个; 90 以内是 7 的倍数的自然数有 7,14,21,?,84 共 12 个; 90 以内是 21 的倍数的自然数有 21,42,63,84,共 4 个。 90 以内是 3 或 7 的倍数的自然数的个数有 30+12-4=38(个)。


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