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空间几何体的表面积和体积 教案


个性化学案

空间几何体的表面积和体积
适用学科 适用区域 知识点
数学 人教版 1、空间几何体的表面积 2、空间几何体的体积

适用年级

高一

课时时长 (分钟) 60

学习目标 学习重点 学习难点

掌握空间几何体的表面积和体积 空间几何体的表面积和体积 空间几何体的表面积和体积的计算

学习过程
一、复习预习
空间几何体的表面积:各个面的面积之和。

二、知识讲解
考点/易错点 1 空间几何体的表面积
1 棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 S ? 2?rl ? 2?r 2 4 圆台的表面积 S ? ?rl ? ?r ? ?Rl ? ?R
2 2

3 圆锥的表面积 S ? ?rl ? ?r 5 球的表面积 S ? 4?R
2

2

考点/易错点 2
1 柱体的体积 3 台体的体积

空间几何体的体积

V ? S底 ? h
1 V ? (S 上 ? S 上 S 下 ? S 下 ) ? h 3

2 锥体的体积 4 球体的体积

V ?

1 S底 ? h 3 4 V ? ?R 3 3

三、例题精析
【例题 1】
【题干】 如图所示, 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=a, BC=b, BB1=c,并且 a>b>c>0. 求沿着长方体的表面自 A 到 C1 的最短线路的长.

个性化学案

【解析】 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能,如图所示.

三个图形甲、乙、丙中 AC1 的长分别为:
a 2 ? (b ? c) 2 = a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ,

(a ? b) 2 ? c 2 = a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ,

(a ? c) 2 ? b 2 = a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ac ,

∵a>b>c>0,∴ab>ac>bc>0.故最短线路的长为 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc .

【例题 2】
【题干】 如图所示,半径为 R 的半圆内的阴影部分以直径 AB 所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体 的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积. 【解析】如图所示,过 C 作 CO1⊥AB 于 O1, 在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R, ∴AC= 3 R,BC=R,CO1=
S圆锥 AO1侧 = ? × S圆锥 BO1侧 = ? ×

3 R,∴S 球=4 ? R2, 2

3 3 R× 3 R= ? R2, 2 2

3 3 R×R= ? R2,∴S 几何体表=S 球+ S圆锥 AO1侧 + S圆锥 BO1侧 2 2

=

11 3 11 ? 3 11 ? 3 ? R2+ ? R2= ? R2,∴旋转所得到的几何体的表面积为 ? R2. 2 2 2 2

又 =

V



4 1 1 1 1 ? R3, V圆锥 AO1 = ·AO1· ? CO12= ? R2·AO1 V圆锥 BO1 = BO1· ? CO12= BO1· ? R2 4 4 3 3 3

∴V 几何体=V 球-( V圆锥 AO1 + V圆锥 BO1 )=

4 1 5 ? R3- ? R3= ? R3. 3 2 6

【例题 3】

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【题干】如图所示,长方体 ABCD—A′B′C′D′中,用截面截下一个棱锥 C—A′DD′, 求棱锥 C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.

【解析】已知长方体可以看成直四棱柱 ADD′A′—BCC′B′. 设它的底面 ADD′A′面积为 S,高为 h,则它的体积为 V=Sh. 而棱锥 C—A′DD′的底面面积为 S,高是 h, 因此,棱锥 C—A′DD′的体积 VC—A′DD′= × Sh= Sh.余下的体积是 Sh- Sh= Sh. 所以棱锥 C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为 1∶5.
1 3 1 2 1 6 1 6 5 6 1 2

【例题 4】
【题干】如图所示,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°, E 为 AB 的中点,将△ADE 与△BEC 分别沿 ED、EC 向上折起, 使 A、B 重合,求形成的三棱锥的外接球的体积.

【解析】由已知条件知,平面图形中 AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1. ∴折叠后得到一个正四面体 方法一 作 AF⊥平面 DEC,垂足为 F,F 即为△DEC 的中心. 取 EC 的中点 G,连接 DG、AG,过球心 O 作 OH⊥平面 AEC. 则垂足 H 为△AEC 的中心∴外接球半径可利用△OHA∽△GFA 求 得. ∵AG=
3 3 6 ,AF= 1 ? ( ) 2 = ,在△AFG 和△AHO 中, 3 2 3

3 3 ? AG ? AH 3 6 2 3 根据三角形相似可知, AH= .∴OA= = = . AF 3 4 6 3

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∴外接球体积为 ? ×OA3= · ? ·

4 3

4 3

6 6 43

=

6 ? 8

方法二 如图所示,把正四面体放在正方体中.显然,正四面体 的外接球就是正方体的外接球.∵正四面体的棱长为 1, ∴正方体的棱长为 ∴R=
2 2 ,∴外接球直径 2R= 3 · , 2 2

4 6 ,∴体积为 ? 3 4

·?

? 6? ? = 6? . ? 4 ? 8 ? ?

3

∴该三棱锥外接球的体积为

6 ?. 8

四、课堂运用
【基础】
1 1.如图所示, 在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, P 是 A1B1 上一点, 且 PB1= A1B1, 4

则多面体 P-BCC1B1 的体积为

2.已知正方体外接球的体积为 32 ? ,那么正方体的棱长等于
3

.

3、若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为

3 ,则其外接球的表面积是

.

4、三棱锥 S—ABC 中,面 SAB,SBC,SAC 都是以 S 为直角顶点的等腰直角三角形,且

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AB=BC=CA=2,则三棱锥 S—ABC 的表面积是

.

【巩固】 1.如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面为直角三角形,∠ACB=90°,
AC=6,BC=CC1= 2 .P 是 BC1 上一动点,则 CP+PA1 的最小值是 .

2.如图所示,扇形的中心角为 90°,其所在圆的半径为 R,弦 AB 将扇
形分成两个部分,这两部分各以 AO 为轴旋转一周,所得旋转体的体积 V1 和 V2 之比为 .

【拔高】 1.如图所示,三棱锥 A—BCD 一条侧棱 AD=8 cm,底面一边 BC=18 cm,
其余四条棱的棱长都是 17 cm,求三棱锥 A—BCD 的体积.

2.如图所示,已知正四棱锥 S—ABCD 中,底面边长为 a,侧棱长为
(1)求它的外接球的体积; (2)求它的内切球的表面积.

2 a.

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课程小结
1、空间几何体的表面积 2、空间几何体的体积

课后作业
【基础】 1.如图所示,E、F 分别是边长为 1 的正方形 ABCD 边 BC、CD 的中点,沿线 AF,AE,EF
折起来,则所围成的三棱锥的体积为 .

2.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是 1∶2∶3,对角线长为 2
积是 .

14 ,则这个长方体的体

3、已知三棱锥 S—ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上,球心 O 在 AB 上,SO⊥底
面 ABC,AC= 2 r,则球的体积与三棱锥体积的比值是 .

4、若一个底面边长为 的体积为 .

6 ,侧棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上,则此球 2

个性化学案

【巩固】 1.若一个底面边长为
的体积为 .
6 ,侧棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上,则此球 2

2.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大
圆上,则该正三棱锥的体积是 .

3、已知正四棱柱的对角线的长为
柱的体积等于 .

6 ,且对角线与底面所成角的余弦值为

3 ,则该正四棱 3

4、已知一个凸多面体共有 9 个面,所有棱长均为 1,
其平面展开图如图所示,则该凸多面体的体积 V= .

【拔高】 1.一个正三棱台的上、下底面边长分别是 3 cm 和 6 cm,高是 3 cm,
2

(1)求三棱台的斜高; (2)求三棱台的侧面积和表面积.

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2.如图所示,正△ABC 的边长为 4,D、E、F 分别为各边中点,M、N、P
分别为 BE、DE、EF 的中点,将△ABC 沿 DE、EF、DF 折成了三棱锥以后. (1)∠MNP 等于多少度? (2)擦去线段 EM、EN、EP 后剩下的几何体是什么?其侧面积为多少?

3、如图所示,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=BC=1,BB1=2,
E 是棱 CC1 上的点,且 CE= CC1. (1)求三棱锥 C—BED 的体积; (2)求证:A1C⊥平面 BDE.
1 4

4、三棱锥 S—ABC 中,一条棱长为 a,其余棱长均为 1,求 a 为何值时
VS—ABC 最大,并求最大值.

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课后评价


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