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2018版高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式一导学案新人教A版必修4_164

1.3 三角函数的诱导公式(一) 学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有 关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题. 设角 α 的终边与单位圆的交点为 P,由三角函数定义知 P 点坐标为(cos α,sin α). 知识点一 诱导公式二 思考 角 π+α 的终边与角 α 的终边有什么关系?角 π+α 的终边与单位圆的交点 P1(cos(π+ α),sin(π+α))与点 P(cos α,sin α)呢?它们的三角函数之间有什么关系? 答案 角 π+α 的终边与角 α 的终边关于原点对称,P1 与 P 也关于原点对称,它们的三角函 数关系如下: 诱导公式二 sin?π+α?=-sin α, cos?π+α?=-cos α, tan?π+α?=tan α. 知识点二 诱导公式三 思考 角-α 的终边与角 α 的终边有什么关系?角-α 的终边与单位圆的交点 P2(cos(-α), sin(-α))与点 P(cos α,sin α)有怎样的关系?它们的三角函数之间有什么关系? 答案 角-α 的终边与角 α 的终边关于 x 轴对称,P2 与 P 也关于 x 轴对称,它们的三角函数 关系如下: 诱导公式三 sin?-α?=-sin α, cos?-α?=cos α, tan?-α?=-tan α. 知识点三 诱导公式四 思考 角 π-α 的终边与角 α 的终边有什么关系?角 π-α 的终边与单位圆的交点 P3(cos(π- α),sin(π-α))与点 P(cos α,sin α)有怎样的关系?它们的三角函之间有什么关系? 答案 角 π-α 的终边与角 α 的终边关于 y 轴对称,P3 与 P 也关于 y 轴对称,它们的三角函数 关系如下: 1 诱导公式四 sin(π-α)=sin α, cos(π-α)=-cos α, tan(π-α)=-tan α. 梳理 公式一~四都叫做诱导公式,它们分别反映了 2kπ+α(k∈Z),π+α,-α,π-α 的三 角函数与 α 的三角函数之间的关系,这四组公式的共同特点是: 2kπ+α(k∈Z),π+α,-α,π-α 的三角函数值等于 α 的同名函数值,前面加上一个把 α 看成 锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变,符号看象限”. 类型一 利用诱导公式求值 命题角度 1 给角求值问题 例 1 求下列各三角函数式的值. (1)cos 210°; (2)sin 11π 43π ;(3)sin(- ); (4)cos(-1 920°). 4 6 解 (1)cos 210°=cos(180°+30°) =-cos 30°=- 3 . 2 (2)sin 11π 3π =sin(2π+ ) 4 4 3π π =sin =sin(π- ) 4 4 π 2 =sin = . 4 2 43π 7π (3)sin(- )=-sin(6π+ ) 6 6 7π π π 1 =-sin =-sin(π+ )=sin = . 6 6 6 2 (4)cos(-1 920°)=cos 1 920° =cos(5×360°+120°) 2 1 =cos 120°=cos(180°-60°)=-cos 60°=- . 2 反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤: (1)“负化正”:用公式一或三来转化. (2)“大化小”:用公式一将角化为 0°到 360°间的角. (3)“角化锐”:用公式二或四将大于 90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”:得到锐角的三角函数后求值. 跟踪训练 1 求下列各三角函数式的值. ? 31π? (1)sin 1 320°; (2)cos?- ?; (3)tan(-945°). ? 6 ? 解 (1)方法一 sin 1 320°=sin(3×360°+240°) =sin 240°=sin(180°+60°)=-sin 60°=- 3 . 2 方法二 sin 1 320°=sin(4×360°-120°)=sin(-120°) =-sin(180°-60°)=-sin 60°=- 3 . 2 7π? 31π ? 31π? ? (2)方法一 cos?- ?=cos =cos?4π+ ? 6? 6 ? 6? ? π π 3 =cos(π+ )=-cos =- . 6 6 2 5π? ? 31π? ? 方法二 cos?- ?=cos?-6π+ ? 6 6? ? ? ? π 3 ? π? =cos?π- ?=-cos =- . 6 2 ? 6? (3)tan(-945°)=-tan 945°=-tan(225°+2×360°) =-tan 225°=-tan(180°+45°)=-tan 45°=-1. 命题角度 2 给值求角问题 π 例 2 已知 sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ),|θ|< ,则 θ 等于( 2 π A.- 6 π π B.- C. 3 6 π D. 3 ) 答案 D 3 π 解析 由 sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ),|θ|< , 2 π 可得-sin θ=- 3cos θ,|θ|< , 2 π π 即 tan θ= 3,|θ|< ,∴θ= . 2 3 反思与感悟 对于给值求角问题,先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值,再 结合特殊角的三角函数值逆向求角. 跟踪训练 2 已知 sin(π-α)=- 2sin(π+β), 3cos(-α)=- 2cos(π+β),0<α<π,0<β<π, 求 α,β. 解 由题意,得? ? ?sin α= 2sin β, ① ? 3cos α= 2cos β. ② ? ①2+②2,得 sin2α+3cos2α=2, 即 sin2α+3(1-sin2α)=2, 1 2 ∴sin2α= ,∴sin α=± . 2 2 ∵0<α<π,∴sin α= π 3 ∴α= 或 α= π. 4 4 π 3

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