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(学生用)指数函数和对数函数拔高试题(较难)

指数函数和对数函数试题 一、选择题(每题3分, 共30分) 1、函数y ? 4 ? 2x 的定义域为( ) lg( x ? 1) A、 [2, ??) B、 (1, 2] C、 (1, 2)

D、 ( ??, 2) )

2、若函数y ? log a (1 ? ax)在(1, 2)上是增函数, 则a的取值范围是( 1 1 C、 (0, ) D、 (0, ] 2 2 3、下列函数是奇函数且在(0, ??)上是增函数的是( ) A、 (1, ??) B、 (0,1) A、y ? 2
| x|

B、 y ? x
x ?1

?

1 3

lg | x | C 、y ? x ) C、 (1, 2]

ex ?1 D 、y ? x e ?1

1 2 4、函数y ? ( ) x ? 2 x ?5 的值域为( 4 2 A、 (0, 2] B、 [ , 2] 2

D、 (0,1]

5、设函数f ( x) ? log a A、 (0, 0) A、 a?b?c

1? x (a ? 1), 则函数f ?1 ( x ? 1)的图像必过定点( 3? x B、 (0, ?2) C、 ( ?1, ?1) D、 (1, ?1) ) B、 a?c?b
1 3

)

6、 (文)设a ? log 3 5, b ? e0.5 , c ? ln 2, 则a, b, c的大小关系正确的是( C、b ? a ? c D、c ? b ? a ) (理)设a ? log 2 3, b ? 3 , c ? ln 3, 则a, b, c的大小关系正确的是( A、 a?b?c

B、 a?c?b C、b ? a ? c D、c ? b ? a 1 1 7、已知ab ? 0, 则使不等式 ? 成立的一个充分不必要条件是( a b 3 3 A、 a ?b B、 lg a ? lg b ? 1 C、 lg( a ? b) ? 1 D、 2 a ? 2b ? 2 1 2 8、函数y ? ( ) x ? 2 x ? 1的单调递增区间为( ) 2 A、 [0,1] B、 [1, 2] C、 [2, ??) D、 ( ??, 0]
9、设f ( x)是定义在(0, ??)上的函数, 且对于定义域的任意x, y, 1 都有f ( xy ) ? xf ( y ) ? yf ( x).若f (2) ? 1, 则f ( )的值为( 8 1 3 A、 3   B、 ?3   C、 ? D、 ? 12 16 )

)

10、 (文)已知函数f ( x)的定义域为D, 若对于任何一个x1 ? D, 都有唯一的 x2 ? D和它对应, 并使得f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 , 则称y ? f ( x)是在D上的 “调和函数” , 则下列有关“调和函数”的命题正确的个数是( (1)任意的一次函数f ( x) ? kx ? b(k ? 0)都是“调和函数”; (2)当0 ? a ? 1时, 函数f ( x) ? a x 是“调和函数”; x2 ? x ? c (3)若函数f ( x) ? 是“调和函数” , 则c ? 0; x ?1 (4)若函数f ( x) ? x3 ? kx是“调和函数” , 则k ? 1. A、 1  B、 2    C、 3    D、 4 )

(理)已知函数f ( x)的定义域为D, 若对于任何一个x1 ? D, 都有唯一的 x2 ? D和它对应, 并使得f ( x1 ) f ( x2 ) ? x1 x2 , 则称y ? f ( x)是在D上的 “调积函数” , 则下列有关“调积函数”的命题正确的个数是( (1)任意的一次函数f ( x) ? x ? b都是“调积函数”; (2)无论a取何值,函数f ( x) ? log a x(a ? 0且a ? 1)都不是“调积函数”; (3)当0 ? a ? 1时, 函数f ( x) ? a x ( x ? 0)是“调积函数”; (4)若函数f ( x) ? x3 ? kx( x ? 0)是“调积函数” , 则0 ? k ? 1. A、 1  B、 2    C、 3    D、 4
二、填空题(每题3分, 共30分) 11、已知f ( x 3 ? 1) ? log 2 x, 则f (5) ? (
2

)

) ) )

12、已知函数f [(log 1 ( x ? 1)]的定义域为[3,9], 则f ( x ? 1)的定义域为( 13、若函数f ( x) ? lg[ ax 2 ? ( a ? 1) x ? 1]的值域为R, 则a的取值范围是( 14、已知函数f ( x) ? 15、若函数y ? 2x ? 1 1 , 则f ?1 ( ) ? ( ?x 2 ?1 2 )

ax ? 1 的图像过点(1, 2), 且关于直线y ? x对称, 则a ? b ? ( x?b 16、 (文)若不等式16 x ? (1 ? a) ? 4 x ? 4 ? a ? 0对于任意的实数x恒成立, 则实数a的取值范围是( 则实数a的取值范围是( ) )
)
x

)

(理)若不等式16 x ? (2 ? a) ? 4 x ? 1 ? 2a ? 0对于任意的实数x恒成立,
17、曲线y ? ln x上的点到直线y ? x ? 3的最短距离是( 18、设集合A ? { y | y ?

(a ? 2) ? 2 ? 2a ? 3 }, B ? {x | y ? 1 ? log 1 ( x ? 2)}, 2x ? 1 2 )

若A B ? A, 则实数a的取值范围是(

19、用 max(a, b)表示两数中较大者,比如 max(1,3) ? 3, max(2, 2) ? 2. 设函数f ( x) ? max(log 1 x, ? x 2 ? 4 x ? 3), 若函数g ( x) ? f ( x ) ? kx ? 2 ? k
2

有三个零点, 则实数k的取值范围是(

) )

20、已知0 ? a ? 1, 则有关方程a x ?| log a x | 的根的命题正确的序号是( (1)方程有且只有2个实数根; (2)方程最多有4个实数根; 1 (3)方程可能恰有3个实数根; (4)当a ? 时, 方程恰有2个实数根. 4

三、解答题(前五题每题6分, 后三题每题10分, 共60分) 1 21、已知正数x, y满足2 x ? ( ) y ?3 , 求 lg x ? lg y的最大值. 4 .

22、指出张明同学的错误并改正:求函数y ? 2 x ? 2 x +1 ? 4的值域. 设 2 x +1 ? 4 ? t , 则2 x ? t2 ? 4 t2 ? 4 1 5 5 , 所以y ? ? t ? (t ? 1) 2 ? ? ? . 2 2 2 2 2 5 所以函数y ? 2 x ? 2 x +1 ? 4的值域为[? , ??). 2

23、解不等式 log x (4 x ? 1) ? 2.

24、求函数y ?| log 1 (? x 2 ? 2 x ? 3) | 的单调递增区间.
2

25、已知函数f ( x) ? lg

kx ? 1 (k ? 0)在[10, ??)上是增函数, 求k的取值范围 x ?1

4x 26、已知函数f ( x) ? x (a ? 0). 4 ?a (1)当a ? 2时, 求f ( ?2012) ? f ( ?2011) ? ? ? f (0) ? f (1) ? ? ? f (2013)的值; (2)求函数f ( x)图像的一个对称中心.

27、已知函数f ( x) ? x ln x ? ax, g ( x) ? ?2 x 2 ? 3. (1)讨论f ( x)的单调性; (2)若对于任意的正数x, 不等式f ( x) ? g ( x)恒成立, 求实数a的取值范围.

28、对于任意的正数x, y, 都有f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ), 当0 ? x ? 1时, f ( x) ? 0. (1)求证:函数f ( x)在(0, ??)上是减函数; (2)若f (4) ? ?2, 且不等式f (ax 2 ? ax ? 2) ? 1恒成立, 求a的取值范围.

四、附加题(每题15分, 共30分) 16 29、已知函数f ( x) ? x ? x( x ? R), 若f (a) ? f (b) ? 5, 求a ? b的值. 4 ? 16 30、已知正数a, b, c满足5c ? 3a ? b ? 4c ? a, c ln b ? a ? c ln c, b 求 的取值范围. a


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