tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
当前位置:首页 >> >>

2005年长沙市一中高三数学(文理)

2005 年长沙市一中高三数学(文、理) 综合测试题(二)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.集合 A 中有 3 个元素,集合 B 中有 2 个元素,映射 f:A→B,使 B 中有且只有一个元素在 A 中的原象为 2 个,这样的映 射 f 的个数为( A.4 ) B.5 C.6 D.8 )

2.已知直二面角α -l-β ,直线 a ? α ,直线 b ? β ,且 a 与 l 不垂直,b 与 l 不垂直,那么( A.a 与 b 可以垂直,但不可以平行 C.a 与 b 不可以垂直,不可以平行 A.S17 B.S15 B.a 与 b 可以垂直,也可以平行 D.a 与 b 不可以垂直,但可以平行

3.某等差数列{an}中,a2+a6+a16 为一个确定的常数,则其前 n 项和 Sn 也为确定的常数的是( C.S8 D.S7 ) D.4.给定两个向量 a =(3,4) , b =(2,1) ,若 a +x b ⊥ a - b ,则 x=( A.-3 B.



3 2

C.3

3 2

5.下面三个论断:①命题“若 a,b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是“若 a+b 不是偶数,则 a,b 都不是偶数” ; ②命题“若 x2+y2=0,则 x,y 全为 0”是命题“若 x2+y2≠0,则 x,y 不全为 0”的否命题;③条件 p: |x+1|>2,条件 q: 5x–6 >x2,则﹁p 是﹁q 的必要不充分条件.其中正确论断的个数是( A.3 B.2 C.1 6.已知(x,y)是右图中阴影部分内的点(含边界) ,若使目 标函数 z=ax+y(a>0)取最大值的最优解有无穷多个,则 a 的值为( A. ) B. ) D.0 y C(1, 22 )
5

5 D.4 x 3 0 2 2 7.已知直线 l : y ? kx 和圆 c : ( x ? 2) ? ( y ? 4) ? 9 ,若圆 c 上存在四个不同的点到直线 l 的距离都是 1,则实数 k 的取值范围是( ) 3 3 3 3 3 A. (? ,?? ) B. ( ,?? ) C. (?? , ) D. ( ?? ,? ) ? (0, ) 4 4 4 4 4
C.

3 5

1 4

A(5,2)

x 2 ? ax ? 2 3 ? ,则 a 的值是( 8. (理)若 lim x ?2 4 x2 ? 4
A.0 B.1 C.-1



D.

1 2

2

(文)在(1+x)n 的展开式中,奇数项之和为 A,偶数项之和为 B,则(1-x2)n 的值为( A.0 B.A·B C.A -B
2 2

D.A +B

2

9. (理)甲有 1 只放有 x 个红球,y 个白球,z 个黄球的箱子(x≥0,y≥0,z≥0,x+y+z=6) ,乙有 1 只放有 3 个红球,2 个 白球,1 个黄球的箱子,两人各自从自己的箱子中任取一球,规定当两球同色时甲胜,异色时乙胜.并规定甲同取红、白、 黄色球而胜的得分依次为 1,2,3,则甲得分的期望的最大值是( A. ) D.

1 2

B.

3 4

C.

4 5

2 5
)个 )

(文)已知总体的个数是 1013,现用系统抽样的方法从中抽取一个容量为 50 的样本,则首先应从总体中剔除( 个体(利用随机数表) ,然后再按系数抽样的方法进行,在整个过程中每个个体被抽到的概率是(

50 50 C.13, D.13, 1010 1013 ? 2? 10.函数 y=a sinx+ 3 a cosx 的图象与|y|=2 的图象在[ ? , ]上有且只有两个不同的公共点,则( 3 3
A.|a|≥1 B.|a|>1 C.|a|≥2 D.|a|>2

50 A.3, 1010

50 B.3, 1013



11.将一张画有直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合,若点(7,3)与点(m,

n)重合,则 m+n 的值为( A.10 B.4

) C.-4 D.-10 D1 A1 D A F E C1 B1 G C B

12.如右图,棱长为 1 的正方体容器 ABCD-A1B1C1D1 中, 在 A1B,A1B1,B1C1 的中点 E,F,G 处各有一小孔. 若此容器可以任意放置,小孔面积对容积影响忽略不 计,则最大容水量等于( )

55 A. 56

47 B. 48

11 C. 12

7 D. 8

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上.) 13.某企业去年销售收入 1000 万元,年成本分为年生产成本 500 万元与年广告成本 200 万元两部分.若利润的 P%为国税, 且年广告费超出年销售收入 2%的部分也必须按 P%征收国税,其他部分不纳税.已知该企业去年共纳税 120 万元,则税 率 P%等于 | PF 1 |=e| PF 2 |,则 e= . . . 14.已知 F1,F2 为椭圆 E 的左,右焦点,抛物线 C 以 F1 为顶点,F2 为焦点,P 为 E 与 C 的交点,若椭圆的离心率为 e.且 15.正三棱柱的侧面展开图是边长为 2 和 4 的矩形,则它的体积为

16.给出下列几个命题: (1)若| a · b | = | a |·| b |,则 a ∥ b ; (2)平面α ,β ,直线 a,b.若 a ? β ,a∥α ,α ? β =b, 且 a 在平面α 内的射影为 a ? ,则 a ? ∥b; (3) AB = a , BC ? c , CA ? b .若| a |=5,| b |=8,| c |=7,则 a · b =20; (4) sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 s6<s7,s7>s8,则 s9<s6; (5)若凸多面体各个面都是六边形,则 2F=V-2.其中真命 题的序号是 17. (本小题满分 12 分) 设直线 l1 的方向向量是 a =(1+cosα ,sinα ) ,α ∈(0,π ) ,直线 l2 的方向向量为 b =(1-cosβ ,sinβ ) ,β ∈(π , 2π ) ,直线 l3 的方向向量为 c =(1,0).若 l1 与 l3 的夹角 为 ? 1 ,l2 到 l3 的角为 ? 2 ,且 ? 1 ? ? 2 ? . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

?

6

,求 sin( ? ?

???
4

)的值.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=

D1

1 AB, 2

·
B1

N

C1 M · C

点 E、M 分别为 A1B、C1C 的中点.过点 A1,B,M 三点

A1 D

· E

的平面 A1BMN 交 C1D1 于点 N. (1)求证:EM∥平面 A1B1C1D1; (2)求二面角 B-A1N-B1 的正切值.

19. (本小题满分 12 分) 设数列{an}和{bn}满足 a1=b1=6,a2=b2=4,a3=b3=3,且数列{an+1-an}(n∈N*)是等差数列,数列{bn-2}是等比数列. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2) 是否存在 k∈N*,使 ak-bk∈(0,

1 )?若存在,求出 k 值;若不存在,说明理由. 2

20. (本小题满分 12 分) (理)计算机中用的是二进制数,只用两个数码:0 和 1.如二进制数中 110101=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20 等于 十进制中的 53.在制造电子计算机时,每个数码要用一个设备,如果用 n 进制,每一位有 n 个数码.在计算机中表示 m 位 n 进制数就要用 m×n 个设备.设计算机能表示的最大数为 M(使用数制为 n(n≥2)进制)时,设备量为 G. (1)如果在机器中要表示 m 位 n 进制数,试写出 M,m,n 的关系式; (2)把 G(n)看作 n 的函数,M 作为常数,写出这个函数式; (3)计算 G(2),G(3),G(4),G(5)各等于多少个 lg(M+1) (lg2≈0.3,lg3≈0.48); (4)当 M 给定,选取 n 为多少时,才能使设备总量 G 最小,并加以证明. (文)一袋中有 4 个黑球,3 个白球,2 个红球,从中任取 2 个球,每取到一个黑球得 0 分,每取到一个白球得 1 分,每取 到一个红球得 2 分. (1)求得到 2 分的概率; (2)求最多得几分的概率为

35 ? 36

21. (本小题满分 12 分)

(理) 已知点 P (-3, 0) , 点 A 在 y 轴上, 点 Q 在 x 轴的正半轴上, 点 M 在直线 AQ 上, 且满足 PA ? AM =0,AM ? ? (1)当点 A 在 y 轴上移动时,求动点 M 的轨迹 C;

3 MQ . 2

(2)设轨迹 C 的准线为 l,焦点为 F,过 F 作直线 m 交轨迹 C 于 G,H 两点,过点 G 作平行于轨迹 C 的对称轴的直线 n 交 l 于点 E,问点 E、O、H(O 为原点)是否在同一条直线上?并说明理由. (文)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x= ? (1)求 a,b 的值; (2)若 x∈[-1,2]时,不等式 f(x)<c2 恒成立,求实数 c 的取值范围.

2 和 x=1 处都取得极值. 3

22. (本小题满分 14 分) (理)设函数 f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 x∈[

1 ? 1, e ? 1 ]时,不等式 f(x)<m 恒成立,求实数 m 的取值范围; e 3 MQ . 2

(3)关于 x 的方程 f(x)=x2+x+a 在[0,2]上恰有两个相异实根,求 a 的取值范围. (文) 已知点 P (-3, 0) , 点 A 在 y 轴上, 点 Q 在 x 轴的正半轴上, 点 M 在直线 AQ 上, 且满足 PA? AM ? 0 ,AM ? ? (1)当点 A 在 y 轴上移动时,求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2)设轨迹 C 的准线为 l,焦点为 F,过 F 作直线 m 交轨迹 C 于 G、H 两点,过点 G 作平行于轨迹 C 的对称轴的直线 n 交 l 于点 E,问点 E、O、H(O 为原点)是否在同一条直线上?并说明理由.

参 考 答 案
一、1.C 10.B 二、13.25% 2.D 11.A 3.B 12.D 14. 4.A 5.C 6.A 7. B 8.C 9.D

3 3

15.

8 3 4 3 或 9 9

16. (1) (4) (5)

sin ? 三、17.由题意得 k l1 ? ? 1 ? cos?

2 sin

2 ? tan? , ? 2 2 cos2 2 2

?

cos

?

∵l3 的方向向量 c =(1,0) ,∴ k l3 =0,∴l1 与 l3 的夹角为 tanθ 1=|tan 又 k l3 =

? ? |,而 ? ? (0, ? ) ,∴ ? 1 ? ????(4 分) 2 2

? sin ? ? ? cot ,l2 到 l3 的角 tan? 2 = ? cot . 2 1 ? cos ? 2

∵ ? ? (? ,2? ) ,∴ ? 2 ? ∵?1 ? ? 2 ?

?
2

?

?
2

????(8 分)

?

6 2 2 2 6 2 3 ??? ??? ? 1 ) ? ? sin ? ? sin( ? ) ? ????(12 分) ∴ sin(? ? 4 4 6 2 1 18. (1)取 A1B1 的中点,连 EF,C1F,∵E 为 A1B 的中点,∴EF∥ BB1 ???(2 分) 2
又 M 为 CC1 的中点.∴EF∥C1M.EFC1M 为平行四边形,∴EM∥FC1???(4 分) ∵EM ? 面 A1C1,FC1 ? 面 A1C1,∴EM∥平面 A1B1C1D1????(6 分) (2)由(1)EM∥面 A1C1,EM ? 面 A1BMN,面 A1BMN∩面 A1C1=A1N,∴A1N∥EM∥FC1,∴N 为 C1D1 中点.过 B1 作 B1H⊥A1N 于 H,连 BH,据三垂线定理 BH⊥A1N,∠BHB1 即为二面角 B-A1N-B1 的平面角????(8 分) 设 AA1=a,则 AB=2a,A1N= 5a ,由△A1B1H∽NA1D1 得 B1H=

,∴

?

?(

?

?

?

)?

?

,即

???

??

?

.

4a 5

.在 Rt△BB1H 中,tan∠BHB1=

BB1 5 .所求正切 ? B1 H 4

值为

5 ????(12 分) 4

19 . ( 1 )由已知 a2-a1= -2 , a3 – a2= –1 ,∴ an+1 – an=(a2 – a1)+(n–1) · 1=n – 3.n ≥ 2 时, an =(an –an-1)+(an-1–an-2)+ ?

n 2 ? 7n ? 18 +(a3–a2)+(a2–a1)+a1= (n–4)+(n–5)+?+(–1)+(–2)+6= . 2
n=1 也合适,∴an=

n 2 ? 7n ? 18 ????(3 分) 2

1 n–1 1 1 ) =4·( )n–1.∴bn=2+( )n–3.??(6 分) 2 2 2 1 7 1 k 1 7 2 7 1 k (2)设 f(k)=ak-bk = k2 - k ? 7 ? 8.( ) ? (k ? ) ? ? 8 ? ( ) . 2 2 2 2 2 8 2 1 当 k≥4 时,f(k)为增函数,而 f(4)= .又 f(1)=f(2)=f(3)=0,∴不存在 k,使 f(k)∈ 2 1 (0, )????(12 分). 2
又 b1–2=4,b2–2=2,∴bn–2=(b1–2)·( 20. (理) (1)M=nm-1????(3 分). (2)由(1)得 nm=M+1.取对数得 mlgn=lg(M+1).∵G=mn,

∴G(n)=lg(M+1) ·

n ????(5 分) lg n

(3)G(2)≈6.7lg(M+1),G(3) ≈6.3lg(M+1),G(4)=G(2) ≈6.7lg(M+1), G(5) ≈7.11lg(M+1)????(7 分) (4)由(3)猜想 G(3)最小,用数学归纳法证明如下. 1°当 n=3 时,G(3)<G(4),命题成立. 2°假设 n=k(k∈N*,k>3)时命题成立,即 G(k)<G(k+1) lg(M+1)·

k ?1 k >0. ? lg( M ? 1) lg( k ? 1) lg k
k k ) ? k >1. k ?1

∴(k+1)lgk-klg(k+1) >0,即 (



k ?1 k k ? 1 k ?1 k k (k ? 1) 2 k k (k ? 1) 2 (k ? 1) 2 ) ? ( k ? 1) > ( > , ∴ ( > > 1. 即 ) ? ?( ) ?k ? k?2 k ?1 k?2 k ?1 k ?2 k ?1 k (k ? 2) k (k ? 2)

lg(M+1) ?

k?2 k ?1 >lg(M+1) ? lg( k ? 2) lg( k ? 1).

即 G(k+2)>G(k+1). ∴n=k+1 时命题也成立. 由(1) 、 (2)可知对一切 n≥3,n∈N*时命题都成立.故 n=3 时设备总量最小?(12 分) (文) (1) “取 2 个球得 2 分” ,有一黑一红,2 个白球,两种情况, ∴取 2 个球得 2 分的概率 P=
1 2 c1 11 4 c 2 ? c3 ? . ????(6 分) 2 36 c9
2 c2 1 , ? 2 c9 36

(2)取 2 个球的最高得分为 4 分,概率为 ∴取 2 个球最多得 3 分的概率为 1 ?

1 35 ? .????(12 分) 36 36 3 1 21. (理) (1)设点 M(x,y),由 AM ? ? MQ ,得 A(0,? y ). 2 2 y 3y ∴ PA ? (3,? ) , AM ? ( x, ). ∵ PA? AM ? 0 ,∴y2=4x(x>0) 2 2
动点 M 的轨迹是以原点为顶点,焦点在 x 轴上,开口向右的抛物线(不合顶点)(6 分) (2)设过 F(1,0)的直线 m 的倾角为α . 若α =90°,直线 m 的方程为 x=1,G 与 H 的坐标分别为(1,-2),(1,2).此时直线 n 的方程为 y=-2,E 点坐标为(-1,-2), ∴E,O,H 在同一直线上????(8 分)
2 y12 y2 y 4 2 2 y ? 4 ? 0 ? 1 ( , y ), H ( , y 2 ), 则 y1y2= 若α ≠90°, 设 m 的方程为 y=k(x–1), 即x= , 代入 y =4x, 得y – .设 G 1 k k 4 4

-4,直线 n 的方程为 y=y2,E 点坐标为(-1,y2). ∴kOE = -y2, k OH ?

4 y1 yy 4 ? ? ? 1 2 ? ? y2 , 2 y1 y1 y1

∴E、O、H 在同一条直线上????(12 分) (文) (1)∵ f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b .
2

2 4 2 ? 2ax (? ) ? b ? 0 3 9 3 1 又 f(1) = 3+2a+b=0 ②. 由①,②解得 a ? ? , b ? ?2 ????(6 分) 2
∴ f ?(? ) ? 3 ?



2 (2)只须求出 f(x)在[-1,2]上的最小值. ∵ f ?( x) ? 3x ? x ? 2, 由 f ?( x) >0 得 x< ?

2 2 或 x>1, f ?( x) <0 得 ? <x 3 3

<1.

∴f(x)在[ ? 1,? ) 和(1,2 ] 上为增函数,在( ?

2 3

2 ,1 )上为减函数????(10 分) 3

又 f ( ? ) <f(2),∴x=2 时[f(x)]max=8+4a+2b+c=2+c. ∴f(x)<c2,即 2+c<c2 恒成立,解得 c<-1 或 c>2. 故 c 的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞). 22. (理) (1)函数定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞) 由 f ?( x) ? 2[( x ? 1) ? 由 f ?( x) <0 得 x<-2 或-1<x<0. (2)由 f ?( x) ?

2 3

1 2 x( x ? 2) ]? >0 得-2<x<-1 或 x>0. x ?1 x ?1

∴递增区间是(-2,-1) , (0,+∞) ;递减区间是(-∞,-2) , (-1,0)??(4 分)

2 x( x ? 2) ? 0 得 x=0 或 x= -2. x ?1 1 由(1)知 f(x)在 [ ? 1,0] 上递减,在[0,e-1]上递增??(6 分) e 1 1 1 2 2 又 f ( ? 1) ? 2 ? 2, f (e ? 1) ? e ? 2, 且 e ? 2 > 2 ? 2 , e e e 1 ∴ x ? [ ? 1, e ? 1] 时, [ f ( x)]max ? e 2 ? 2. e
故 m>e2-2 时,不等式 f(x)<m 恒成立.????(8 分) (3)方程 f(x)=x2+x+a,即 x-a+1-ln(1+x)2=0. 记 g ( x) ? x ? a ? 1 ? ln( 1 ? x) 2 ,则 g ?( x) ? 1 ?

2 x ?1 ? . 1? x x ?1

由 g ?( x ) >0 得 x<-1 或 x>1,由 g ?( x ) <0 得-1<x<1. ∴g(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增??(10 分) 为使 f ( x) ? x 2 ? x ? a 在[0,2]上恰好有两个相异实根,只须 g(x)=0,在[0,1 ) 和(1,2 ] 各有一个实根.于是有: g(0)≥0, g(1)<0, g(2)≥0. (文)同理科 21 题. 解得 2-2ln2<a≤3-2ln3. 所求 a 的范围是(2-2ln2,3-2ln3).


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com