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第05讲 集合函数-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

2009-2017 全国高中数学联赛分类汇编第 05 讲:集合函数 1、 (2009 一试 1)若函数 f ? x ? ? 1 10 x 1? x 2 且 f (n) ?x? ? f ? f ? f ? ? n f ? ? x ?? ? ? ,则 f ?99 ? ?1 ? ? . 【答案】 【解析】f ?1 ? ?x? ? f ?x? ? x 1? x 2 ,f ? 2 ? ? x ? ? f ? ? f ? x ?? ? ? x 1? 2x 2 , ……,f ?99 ? ?x? ? x 1 ? 99 x 2 . 故 f ?99 ? ?1 ? ? 1 10 . 2、 (2009 一试 6)若方程 lg k x 【答案】 k ? 0 ? 2 lg ? x ? 1 ? 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是 . 或k ? 4 【解析】当且仅当 kx ? 0 x ?1? 0 x ? ?2 ? k ? x ? 1 ? 0 2 ① ② ③ ? 1 ? k ?2? 2? k 2 对③由求根公式得 x1 , x 2 ? ? k 2 ? 4k ? ? ④ ? 4k ≥ 0 ? k ≤ 0 或k ≥ 4. [来源:学科网 ZXXK] (ⅲ)当 k ? 4 时,由③得 ? ? x1 ? x 2 ? k ? 2 ? 0 ? x1 x 2 ? 1 ? 0 ? x2 , ? 0 所以 x1 , x 2 同为正根,且 x1 ,不合题意,舍去.综上可得 k 或k ? 4 为所求. 3、 (20 10 一试 1)函数 f ( x ) ? 【答案】 [ ? 3 , 3 ] x ? 5 ? 24 ? 3 x 的值域是 . 【解析】易知 f ( x ) 的定义域是 ?5 , 8 ? ,且 f ( x ) 在 ?5 , 8 ? 上是增函数,从而可知 f ( x ) 的值域为 [ ? 3 , 3 ] . 4、 (2010 一试 5)函数 f ( x ) ? a 区间上的最小值是 【答案】 ? 1 4 x 2x ? 3a x ? 2 ( a ? 0 , a ? 1 ) 在区间 x ? [ ? 1,1 ] 上的最大值为 8,则它在这个 . 【解析】令 a ? y , 则原函数化为 g ( y ) ? y ?1 2 ? 3 y ? 2 , g ( y ) 在 (? 3 2 ,+ ? ) 上是递增的. 1 2 当 0 ? a ? 1 时, y ? [ a , a 1 ] , g ( y ) m ax ? a ?2 ? 3a ?1 ?2 ? 8? a ?1 ? 2 ? a ? , 所以 g ( y ) min ? ( ) 2 ? 3 ? 2 1 2 ? 2 ? ? 1 4 ; 2 当 a ? 1 时, y ? [ a ?1 , a ] , g ( y ) m ax ? a ? 3a ? 2 ? 8 ? a ? 2 , 所以 g ( y ) min ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 ? 2 ? ? 1 4 . 1 4 综上 f ( x ) 在 x ? [ ? 1,1 ] 上的最小值为 ? . 5、 (2011 一试 1) 设集合 A 则集合 A ? ? {a 1 , a 2 , a 3 , a 4 } , 若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 B ? { ? 1, 3 , 5 , 8 } , . 【答案】 { ? 3, 0 , 2 , 6} . 6、 (2011 一试 2)函数 2 2 f (x) ? x 2 ?1 x ?1 的值域为 . 【答案】 ( ? ? , ? ] (1, ? ? ) 1 【解析】设 x ? tan ? , ? ? 2 ?? ? ? 2 ,且 ? ? ? 4 ,则 f (x) ? cos ? tan ? ? 1 ? 1 sin ? ? cos ? ? 1 2 sin( ? ? ? 4 . ) 设u ? 2 sin( ? ? ? 4 ) ,则 ? 2 ? u ?1 ,且 u ? 0 ,所以 f (x) ? 1 u ? ( ?? , ? 2 2 ] ? (1, ?? ) .学@科网 7、 (2012一试6)设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇 函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? x .若对任意的 x ? [ a , a ? 2 ] , ? 不等式 f ( x ? a ) ? 2 f ( x ) 恒成立,则实数 a 的取值范围是 【答案】 [ 2 , ? ? ) . . [来源:学&科&网Z&X&X&K] 【解析】由题设知 f ( x ) ? ? ? ? x (x ? 0) ? ?? x (x ? 0) 2 2 ,则 2 f ( x ) ? f ( 2 x ) . 因此,原不等式等价于 f ( x ? a ) ? f ( 2 x ) . 因为 f ( x ) 在 R 上是增函数,所以 x ? a ? ( 2 ? 1) x 2 x, 即 a ? ( 2 ? 1) x . 又 x ? [ a , a ? 2 ], 所以当 x ? a ? 2 时, 2 . 故 a 取值范围是 [ 2 , ? ? ). 取得最大 值 ( 2 ? 1) ( a ? 2 ) . 因此, a ? ( 2 ? 1) ( a ? 2 ) , 解得 a ? 8、 ( 2013 一 试 1 ) 设 集 合 为 【答案】-5 . A ? ? 2 , 0 ,1, 3 ? , 集 合 B ? ? x| ? x? A ,2 ? x ? ? A. 则 集 合 B 2 中所有元素的和 9、 (2013 一试

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