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人教A版高中数学选修2-1课件:第二章2-4-2-4-1抛物线及其标准方程

第二章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.1 抛物线及其标准方程 [ 学习目标 ] 1. 抛物线的定义及其标准方程的求法 (重点). 2.抛物线定义及方程的应用(难点). [知识提炼· 梳理] 1.抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛物线的焦 点,直线 l 叫做抛物线的准线. 温馨提示 抛物线的定义中,定点 F 不能在直线 l 上,否则,动 点 M 的轨迹就不是抛物线,而是过点 F 垂直于直线 l 的 一条直线. 2.抛物线标准方程的几种形式 图形 2 标准方程 y =2px(p>0) 2 焦点坐标 准线方程 ?p ? ? ,0 ? ?2 ? ? p ? ?- ,0? ? 2 ? ? p? ?0, ? 2? _______ ? p x=- 2 p x= 2 p y=- 2 ________ y =-2px(p>0) x2=2py(p>0) x =-2py(p>0) ________ 2 ? p? ?0,- ? 2? ? ________ p y= 2 ________ 温馨提示 在抛物线的方程中只有一个参数 p,它的几何意义是 焦点到准线的距离,因此 p>0,p 越大,抛物线开口越开 阔,反之越扁狭. [思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等 的点的轨迹一定是抛物线.( ) ) (2)抛物线 y2=4x 的焦点到准线的距离是 4.( ?a ? a 物线,且其焦点坐标是?4,0?,准线方程是 x=- ( 4 ? ? (3)方程 y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛 ) 答案:(1)× (2)× (3)× 2.抛物线 y2=-8x 的焦点坐标是( A.(2,0) C.(4,0) B.(-2,0) D.(-4,0) ) 解析:依题意,抛物线开口向左,焦点在 x 轴的负半 p 轴上,由 2p=8 得 =2,故焦点坐标为(-2,0),故选 B. 2 答案:B 3.若抛物线 y2=8x 上一点 P 到其焦点的距离为 10, 则点 P 的坐标为( A.(8,8) C.(8,±8) ) B.(8,-8) D.(-8,±8) 解析:设 P(xP,yP),因为点 P 到焦点的距离等于它 到准线 x=-2 的距离,所以 xP=8,yP=±8. 答案:C 4. 抛 物 线 方 程 为 7x + 4y2 = 0 , 则 焦 点 坐 标 为 ________. 7 7 解析:方程化为 y =- x,抛物线开口向左,2p= , 4 4 2 ? 7 ? p 7 = ,故焦点坐标为?-16,0?. 2 16 ? ? ? 7 ? 答案:?-16,0? ? ? 5.设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则 点 P 到该抛物线焦点的距离是________. p 4 解析:由抛物线的方程得 = =2,再根据抛物线的 2 2 定义,可知所求距离为 4+2=6. 答案:6 类型 1 求抛物线的标准方程 [ 典例 1] 分别求满足下列条件的抛物线的标准方 程: (1)焦点为(-2,0); (2)准线为 y=-1; (3)过点 A(2,3); 5 (4)焦点到准线的距离为 . 2 p 解:(1)由于焦点在 x 轴的负半轴上,且 =2, 2 所以 p=4, 所以抛物线标准方程为 y2=-8x. p (2)因为焦点在 y 轴正半轴上,且 =1, 2 所以 p=2, 所以抛物线标准方程为 x2=4y. (3)由题意,抛物线方程可设为 y2=mx(m≠0)或 x2= ny(n≠0), 将点 A(2,3)的坐标代入,得 9 4 3 =m· 2 或 2 =n· 3,所以 m= 或 n= . 2 3 2 2 9 2 4 所以所求的抛物线方程为 y = x 或 x = y. 2 3 2 5 5 (4)由焦点到准线的距离为 ,可知 p= . 2 2 所以所求抛物线方程为 y2=5x 或 y2=-5x 或 x2=5y 或 x2=-5y. 归纳升华 1.求抛物线方程,通常用待定系数法.(1)若能确定 抛物线的焦点位置,则可设出抛物线的标准方程,求出 p 值即可.(2)若抛物线的焦点位置不确定,则要分情况讨 论. 2.焦点在 x 轴上的抛物线方程可设为 y2=ax(a≠0), 焦点在 y 轴上的抛物线方程可设为 x2=ay(a≠0). [变式训练] 根据下列条件求出抛物线的标准方程. (1)过点 M(-6,6)的抛物线的标准方程是________; (2)已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M(2,y0).若点 M 到该抛物线焦点的距 离为 3,抛物线的方程是________. 解析:(1)由于点 M(-6,6)在第二象限, 所以过 M 的抛物线开口向左或开口向上. 若抛物线开口向左,焦点在 x 轴上, 设其方程为 y2=-2px(p>0), 将点 M(-6,6)代入,可得 36=-2p×(-6),所以 p =3. 所以抛物线的方程为 y2=-6x. 若抛物线开口向上,焦点在 y 轴上,设其方程为 x2 =2py(p>0), 将点 M(-6,6)代入可得,36=2p×6,所以 p=3, 所以抛物线的方程为 x2=6y. 综上所述,抛物线的标准方程为 y2=-6x 或 x2=6y. (2)依题意,设抛物线方程是 y2=2px(p>0),则有 2+ p =3,得 p=2,故抛物线方程是 y2=4x. 2 答案:(1)y2=-6x 或 x2=6y (2)y2=4x 类型 2 抛物线定义的应用(互动探究) [典例 2] 设 p 是抛物线 y2=4x 上一个动点, 若 B(3, 2),则|PB|+|PF|的最小值为________.

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