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07数分B第二学期期末试题(A卷)

信息与电子一学部学生会学习部整理
课程编号:07000131;07000150

北京理工大学 2007-2008 学年第二学期 2008.6

《数学分析 B》 期末考试试卷(A 卷)
一、填空(每小题 4 分,共 28 分)

? 2x 3 ? 3 y 3 ? 1.设 f ( x, y ) ? ? x 2 ? y 2 ? 0 ?

( x, y ) ? (0,0) ( x, y) ? (0,0)

,则 f x?(0,0) ? _____ , f y? (0,0) ? ______.

2.设 f ( x, y) ? x 3 ? 8 y 3 ? 3x 2 ? 12y 2 ,则 f ( x, y ) 取得极小值的点为
f ( x, y ) 取得极大值的点为



.

3.函数 f ( x, y, z) ? x 2 ? 3 y 2 ? z 2 在 P (?2 , 2 , 1) 点处沿着从 P 到 O(0, 0, 0) 方向的 方向导数为 ____________________ . 4 . 设 L 是 曲 线 弧 x ? e t cost , y ? e t sin t , z ? e t ( 0 ? t ? 2 ) , 则 曲 线 积 分

?L x

2

ds ? ? y2 ? z2
?

.

5. 数项级数 ?

(?1) n n ? 1 是条件收敛、 绝对收敛、 还是发散?答: ln n n n?1

.

0 ? x ?1 ? 2 6. 设 f ( x) ? ? 2 , 又设 S ( x) 是 f ( x) 的以 2? 为周期的余弦级数展开 ?x ? 1 1 ? x ? ?
式的和函数,则 S (1) ? _____, S (? ) ? _____, S (?2? ) ? _____, S (?2) ? _____. 7. 函数 f ( x) ?
1 的麦克劳林级数的展开式为______________________, x ? 2x ? 3
2

其收敛域为______________________.

二、(10 分) 设 u ( x, y ) 是由方程 u 2 ? z 2 ? 2 y 2 ? x ? 0 确定的可微的隐函数,其中

z ? z( x, y) ? xy 2 ? y ln y ? y ,且 u ( x, y ) ? 0 ,求 (2,1) 点处

? u ?u ? z ? z , , , 的值. ? x ?y ? x ? y

三 、 (8 分 ) 计 算 二 重 积 分 I ? ?? ( y 2 ? x)dxdy , 其 中 D 是 由 抛 物 线 x ? y 2 与
D

x ? 3 ? 2 y 2 围成的有界闭区域.

信息与电子一学部学生会学习部整理 四、(10 分) 在曲面 ? : z ? xy 上求一点 P ,使曲面 ? 在 P 点处的法线垂直于平面
x ? 3 y ? z ? 9 ? 0 ,并写出 ? 在 P 点处法线的标准方程.

五、 (10 分)求幂级数

?

(2n ? 1) 2 n ?1 的收敛区间及和函数. x 2 2n n ?1
?

六、 (10 分) 设 ? 是由曲面 z ? x 2 ? y 2 和平面 z ? 2 x 所围成的立体, 其上质量分布 是均匀的(密度为 ? ), 求 ? 绕 z 轴旋转的转动惯量.

七、 ( 10 分)计算第二类曲面积分 I ? ?? 2 xdydz ? ( z ? 2) 2 dxdy ,其中 S 是曲面
S

z ? ? 4 ? x 2 ? y 2 的上侧.

八、(8 分) 设 f (u ) 在 ( ?? , ? ?) 内有连续的导函数, k 是一个待定常数. 已知曲 线积分 ? ( x 2 y 3 ? 2 x 5 ? ky )dx ? [ xf ( xy ) ? 2 y ]dy 与路径无关,且对任意的 t ,有
?

?

(t , ?t ) ( 0 , 0)

( x 2 y 3 ? 2 x 5 ? ky)dx ? [ xf ( xy) ? 2 y]dy ? 2t 2

求 f (u ) 的表达式和常数 k 的值.

九、(6 分) 设 u n ? 0 , vn ? 0 ,且 vn

un ? vn?1 ? a ? 0 , n ? 1,2,? ,其中 a 为常 u n?1
(2)级数 ? u n 收敛。
n ?1 ?

数.

求证: (1) 数列 {u n vn } 单调有界;


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