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【新】2018高中数学第2章平面解析几何初步第二节圆与方程1圆的方程学案苏教版必修2

小中高 精品 教案 试卷

圆的方程

一、考点突破 知识点 课标要求 1. 了解圆的一般方程 的特点, 会由一般方程 求圆心和半径; 圆的方程 2. 会根据给定的条件 求圆的一般方程和 标 准方程, 并能用圆的一 般方程、 标准方程解决 简单问题 二、重难点提示 重点:圆的标准方程、一般方程及其应用。 难点:会根据不同的已知条件求圆的标准方程、应用圆的标准方程解题;二元二次方程 同圆的一般式的关系。 选择题 填空题 解答题 注意用代数方法研 究几何问题以及对数形 结合思想的理解和对待 定系数法的加强运用 题型 说明

考点一:圆的标准方程 1. 以 C(a,b)为圆心,r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x-a) +(y-b) =r 。 2. 以原点为圆心,r 为半径的圆的标准方程为 x +y =r 。 【注意】 能根据圆心的坐标和圆的半径写出圆的标准方程;能根据圆的标准方程写出圆心的坐标 和圆的半径。此外利用圆的标准方程也可较容易地反映点与圆的位置关系。 考点二:点与圆的位置关系 设点 P 到圆心的距离为 d,圆的半径为 r,则点与圆的位置关系对应如下: 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内
2 2 2 2 2 2

d 与 r 的大小关系

d>r

d=r

d<r

【规律总结】点与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法:根据点到圆心的距离 d 与半径 r 的大小判断; (2)代数法:根据点的坐标与圆的方程的关系判断: ①已知点 M ( x0 , y0 ) ,圆的方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,则有:
2 2 2

( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点在圆外; ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点在圆上; ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点在圆内。
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②已知点 M ( x0 , y0 ) ,圆的方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则有:

x02 ? y02 ? Dx0 ? Ey0 ? F ? 0 ? 点在圆外; x02 ? y02 ? Dx0 ? Ey0 ? F ? 0 ? 点在圆上;

x02 ? y02 ? Dx0 ? Ey0 ? F ? 0 ? 点在圆内。
考点三:圆的一般方程 1. 圆的一般方程的定义 当 D +E -4F>0 时,称二元二次方程 x +y +Dx+Ey+F=0 为圆的一般方程,圆心为(-
2 2 2 2

E D D2 ? E 2 ? 4F ,- ) ,半径为 。 2 2 2
2. 方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示的图形 方程的条件 方程的解 的情况 没有实数解 只有一个实数解 图形 不表示任何图形
2 2

D2+E2-4F<0 D2+E2-4F=0

D2+E2-4F>0

有无数个实数解

D E ,- ) 2 2 D E 表示以(- ,- )为圆心,以 2 2 1 D 2 ? E 2 ? 4 F 为半径的圆 2
表示一个点(-

【要点诠释】 (1)圆的一般方程的形式特点: ① x 、 y 2 的系数相同且不为零; ② 不含 xy 项。 (2)形如 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的方程表示圆的条件: ① A ? C ? 0 ;② B ? 0 ;③ (
2

D 2 E 2 F ) ? ( ) ? 4( ) ? 0 即 D2 ? E 2 ? 4 AF ? 0 。 A A A

例题 1 (求圆的方程) (1)求圆心在直线 x-2y-3=0 上,且过点 A(2,-3) ,B(-2,-5)的圆的标准方 程。 (2)求过三点 O(0,0) ,M(1,1) ,N(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆 心坐标。 思路分析: (1)解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径,再写方程,也可以设出方 程用待定系数法求解。 (2)设圆的一般方程,利用待定系数法求解方程,并写出半径和圆心坐标即可。 答案: (1)方法一 设点 C 为圆心, ∵点 C 在直线 l:x-2y-3=0 上, ∴可设点 C 的坐标为(2a+3,a) , 又∵该圆经过 A、B 两点,∴|CA|=|CB|,
2 2 ∴ (2a ? 3 ? 2) ? ( a ? 3) ?

(2a ? 3 ? 2) 2 ? ( a ? 5) 2 ,解得 a=-2,
2

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∴圆心坐标为 C(-1,-2) ,半径 r= 10 , 故所求圆的标准方程为(x+1) +(y+2) =10。 方法二 设所求圆的标准方程为 (x-a) +(y-b) =r ,
2 2 2 2 2

?(2 ? a)2 ? (?3 ? b) 2 ? r 2 ? a ? ?1 ? ? 2 2 2 由条件知 ?(?2 ? a) ? (?5 ? b) ? r ,解得 ?b ? ?2 ? r 2 ? 10 ?a ? 2b ? 3 ? 0 ? ?
故所求圆的标准方程为(x+1) +(y+2) =10。 方法三 线段 AB 的中点为(0,-4) ,kAB= 所以弦 AB 的垂直平分线的斜率 k=-2, 所以线段 AB 的垂直平分线的方程为:y+4=-2x,即 y=-2x-4。 故圆心是直线 y=-2x-4 与直线 x-2y-3=0 的交点,由 ?
2 2

?3 ? (?5) 1 = , 2 2 ? (?2)

? y ? ?2 x ? 4 ? x ? ?1 ,得 ? , ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? y ? ?2

2 2 即圆心为(-1,-2) ,圆的半径为 r= ( ?1 ? 2) ? ( ?2 ? 3) ? 10 ,

所以所求圆的标准方程为(x+1) +(y+2) =10。 (2)设圆的一般式方程为 x +y +Dx+Ey+F=0。 (*) 由题意可知点 O(0,0) ,M(1,1) ,N(4,2)满足(*)式
2 2

2

2

?F ? 0 ? D ? ?8 ? ? 故 ?D ? E ? F ? 2 ? 0 ,解得 ? E ? 6 ? 4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 ?F ? 0 ? ?
所以,所求圆的方程是 x +y -8x+6y=0。 圆心坐标是(4,-3) ,半径 r= 技巧点拨: (1)对于由已知条件易求圆心坐标和半径,或需要用圆心坐标和半径列方程的问题,往 往设出圆的标准方程,用待定系数法求解。由于圆的标准方程中含有 a、b、r 三个参数,所 以必须具备三个独立条件,才能求出一个圆的标准方程,用待定系数法求圆的方程,即列出 关于 a,b,r 的方程组,解方程组求 a,b,r。一般步骤如下:
2 2

1 ( ?8) 2 ? 36 =5。 2

(2)一般地,由题意知道所求的圆经过几点且不易得出圆心和半径时,常选用一般式。 而圆的一般式方程中也含有三个未知参数,故求解时,也需要三个独立的条件。 1. (泰州检测) 以线段 AB: x+y-2=0 (0≤x≤2) 为直径的圆的标准方程为______________。
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思路分析:∵AB:x+y-2=0(0≤x≤2)
2 2 ∴A(0,2) ,B(2,0) ,AB= (0 ? 2) ? (2 ? 0) =2 2 。

∴点 A、B 的中点为(1,1) , 故所求圆的标准方程为(x-1) +(y-1) =2。 2 2 答案: (x-1) +(y-1) =2 2. (辽宁高考) 已知圆 C 经过 A (5, 1) 、 B (1, 3) 两点, 圆心在 x 轴上, 则 C 的方程为________。
2 2 2 2 思路分析:设圆心坐标为(a,0) ,易知 ( a ? 5) ? ( ?1) = (a ? 1) ? (?3) ,
2 2

解得 a=2, ∴圆心为(2,0) ,半径为 10 , ∴圆 C 的方程为(x-2) +y =10。 答案: (x-2) +y =10 例题 2 (圆的方程的实际应用)
2 2 2 2

(无锡检测)有一种大型商品,A、B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一 购得商品后,运回的费用是:每单位距离 A 地的运费是 B 地运费的 3 倍。已知 A、B 两地相距 10 km,顾客选 A 或 B 地购买这件商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低。求 A、B 两 地售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地 点。 思路分析:解答本题可先根据题意画出示意图,建立适当的平面直角坐标系,再从价格 和运费入手构建等式或不等式关系,用坐标法求解。

答案:如图所示,以 A、B 所确定的直线为 x 轴,线段 AB 的中点 O 为坐标原点,建立直 角坐标系,则 A(-5,0) ,B(5,0) , 设某地 P 的坐标为(x,y) 。 且 P 地居民选择 A 地购买商品便宜, 并设 A 地运费为 3a 元/km,B 地运费为 a 元/km, 价格+QA 地运费≤价格+QB 地运费,
2 2 2 2 ∴3a ( x ? 5) ? y ≤a ( x ? 5) ? y 。 2 2 2 2 ∵a>0,∴3 ( x ? 5) ? y ≤ ( x ? 5) ? y ,

两边平方得 9(x+5) +9y ≤(x-5) +y ,

2

2

2

2

25 2 2 15 2 ) +y ≤( )。 4 4 25 15 ∴以点 C(- ,0)为圆心, 为半径的圆是这两地售货区域的分界线。 4 4
即(x+ 圆 C 内的居民从 A 地购货便宜;圆 C 外的居民从 B 地购货便宜;圆 C 上的居民从 A、B 两 地购货的总费用相等,可随意从 A、B 两地之一购货。 技巧点拨: 1. 本题是一个实际问题,先建立适当的直角坐标系,通过建立数学模型来解决,利用点 与圆的位置关系来解决,这种解决有关几何问题的方法叫作“解析法”。明确题意,建立恰
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当的数学模型是解决实际问题的关键。 2. 用解析法解决圆的方程实际问题的步骤:

求圆的标准方程时以“形”代“数”致误 例题 已知某圆圆心在 x 轴上,半径为 5,且截 y 轴所得线段长为 8,求该圆的标准方程。

【错解】 如图,由题设知|AB|=8,|AC|=5。 在 Rt△AOC 中, |OC|=

AC ? OA = 52 ? 42 =3。
2 2

2

2

∴C 点坐标(3,0) ,∴所求圆的方程为(x-3) +y =25。 【错因分析】错解在求解过程中,只画出了圆心在 x 轴正半轴时的图形,而没有画出圆心在 x 轴负半轴的情况,从而产生漏解。 【防范措施】 借助图形解决数学问题,只能是定性地分析,而不能定量研究,要定量研究 问题,就应考虑到几何图形的各种情况,以上方法的错误就是考虑问题不全面所致。 【正解】 由题意设|AC|=r=5,|AB|=8,所以|AO|=4。 在 Rt△AOC 中,|OC|= 如图所示,

AC ? OA = 52 ? 42 =3,

2

2

所以圆心坐标为(3,0)或(-3,0) 。所以所求圆的方程为(x±3)2+y2=25。
.x 本 虑 头 回 再 然 抢 出 一 果 如 小 较 间 答 排 安 合 值 分 易 难 各 道 知 略 粗 题 览 浏 先 笔 动 于 急 不 后 卷 到 拿 淡 Comingbackhetv,flydIswTVrup!试 阵 上 装 轻 掉 丢 全 会 社 校 庭 家 平 将 要 需 生 学 成 加 参 力 压 少 减 松 放 吸 呼 深 做 当 适 定 稳 来 自 等 真 认 静 、 ” 能 我 “ 用 时 。 节 调 场 临 行 进 绪 情 张 紧 解 缓 示 暗 过 通 可 , 备 准 理 心 的 前 考

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