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2015届高三数学体艺午间小练及答案:解三角形与立体几何(14)

高三体艺午间小练:解三角形与立体几何(14)

1.已知 a 、 b 、 c 为正实数, ? ? ? 0, ? ? . ( 1 )当 a 、 b 、 c 为 ?ABC 的三边长,且 a 、 b 、 c 所对的角分别为 A 、 B 、 C .若

a ? 3, c ? 1,且 ?A ? 600 .求 b 的长;

bc cos (2)若 a ? b ? c ? 2
2 2 2

? .试证明长为 a 、b 、 c 的线段能构成三角形,而且边 a 的

对角为 ? . 2.如图,△ABC 内接于圆 O,AB 是圆 O 的直径,四边形 DCBE 为平行四边形,DC ? 平面 ABC, AB ? 2 , EB ?

3

(1)证明:平面 ACD ? 平面 ADE;
试卷第 1 页,总 2 页

(2)记 AC ? x , V ( x) 表示三棱锥 A-CBE 的体积,求函数 V ( x) 的解析式及最大值

试卷第 2 页,总 2 页

参考答案 1. (1)2; (2)见解析. 【解析】 试题分析:(1)本题属于解三角形问题,它是“已知两边及一边所对的角,求第三边”的问题, 解决这个问题可以有两种方法,一种是先用正弦定理求出已知两边所对的角中未知的一角, 从而可求得第三角, 然后用余弦定理求出第三边, 也可以直接用余弦定理列出待求边的方程, 通过解方程求出第三边; ( 2 )首先要证明长为 a 、 b 、 c 的线段能构成三角形,即证

b ? c ? a ? b ? c,即证 (b ? c)2 ? b2 ? c2 ? 2bc ? a2 ?

(b ? c)2 ? b2 ? c2 ? 2bc ,而这个不等式通过已知条件,再利用 ?1 ? cos ? ? 1 易得,其次再
由余弦定理很快可得 ? ? A . 试题解析: (1)解:由 3 ? 1 ? b ? 2b cos60 , ?3 ? b ? b ? 1, (3 分)
2 2

即b2 ? b ? 2 ? 0,?b ? 2 (5 分)
(2)证:由 ? ? (0, ? ) ,可得 cos ? ? (?1,1) (6 分) 所以 (b ? c) ? b ? c ? 2bc ? b ? c ? 2bc cos? ? a ? b ? c ? 2bc ? (b ? c)
2 2 2 2 2 2 2 2 2

也就是 b ? c ? a ? b ? c, (9 分) 因此长为 a, b, c 的线段能构成三角形,不妨记为 ?ABC 。 在 ?ABC 中,由余弦定理可设 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 ? cos ? (11 分) 2bc

即 cos A ? cos ? , 又 A,? ? (0, ? ) ,由 y ? cos x 的单调性可得 A ? ? (14 分) 所以边 a 的对角为 ? . 考点: (1)余弦定理; (2)三条线段构成三角形的条件. 2. (1)详见解析; (2) x ?

2 时,体积有最大值

3 3

3

【解析】 试题分析: (1) 因为四边形 DCBE 为平行四边形, 所以 BC

DE 而易证 BC ? 平面 ACD ,

从而 DE ? 平面 ACD ,由面面垂直的判定定理可得,平面 ACD ? 平面 ADE (2)三棱 锥 A - CBE 的 体 积 即 为 三 棱 锥 E - ABC 的 体 积 , 所 以

V ( x ) ? VE ? ABC ?
时x?

1 1 S ?ABC ? BE ? S 3 3

ABC

1 1 ? ? ? 2 ? 1,当 OC ? AB 时取得最大值,此 3 2

2
BE, BC DE

试题解析: (1)证明:因为四边形 DCBE 为平行四边形,所以 CD

CD ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC ,? CD ? BC
因为 AB 是圆 O 的直径,? BC ? AC 且 CD

AC ? C

? BC ? 平面 ACD




DE

BC ,? DE ? 平面 ACD
4分

DE ? 平面 ADE ,所以平面 ACD ? 平面 ADE
∴ BE ? 平面 ABC

(2)∵ DC ? 平面 ABC

在 Rt△ABE 中, AB ? 2 , BE ? 3 在 Rt△ABC 中 ? AC ? x, BC ? ∴ S ?ABC ?

4 ? x2 ( 0 ? x ? 2 )

1 1 1 AC ? BC ? x 4 ? x 2 , V ( x ) ? VE ? ABC ? S ?ABC ? BE 3 2 2
(8 分)

?

3 x 4 ? x2 ( 0 ? x ? 2 ) 6

备注:未指明定义域扣 1 分 ∵ x (4 ? x ) ? (
2 2

x2 ? 4 ? x2 2 ) ? 4 当且仅当 x 2 ? 4 ? x 2 , 2

即x?

2 时,体积有最大值为

3 3

(12 分)

考点:1、空间直线与平面的位置关系;2、三棱锥的体积;3、最值问题
4

5


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