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吉林省东北师范大学附属中学2016届高考数学第一轮复习 函数与定积分应用(3)学案 理


导数与定积分(尖刀班)(3)
【探究 10】 :不等式恒成立与存在性问题 思路提示 在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围, 一般利用等价转化的思想其转 化为函数的最值或值域问题加以求解, 可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函 数. (1)若函数 f ? x ? 在区间 D 上存在最小值 f ? x ?min 和最大值 f ? x ?max ,则 不等式 f ? x ? ? a 在区间 D 上恒成立 ? f ? x ?min ? a ; 不等式 f ? x ? ? a 在区间 D 上恒成立 ? f ? x ?min ? a ; 不等式 f ? x ? ? b 在区间 D 上恒成立 ? f ? x ?max ? b ; 不等式 f ? x ? ? b 在区间 D 上恒成立 ? f ? x ?max ? b ; (2)若函数 f ? x ? 在区间 D 上不存在最大(小)值,且值域为 ? m, n ? ,则

? ? 不等式 f ? x ? ? b ?或f ? x ? ? b ? 在区间 D 上恒成立 ? m ? b .
例 14. 已知函数 f ? x ? ? x ln x (1)求 f ? x ? 的最小值.

不等式 f ? x ? ? a 或f ? x ? ? a 在区间 D 上恒成立 ? m ? a .

(2)对所有 x ? 1 都有 f ? x ? ? ax ?1 ,求实数 a 的取值范围. 分析 第(2)问可用分离变量的方法求解参数的取值范围. 解析 函数 f ? x ? ? x ln x 的定义域是 ? 0, ? ?? , (1) f ? ? x ? ? 1 ? ln x ,令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x ?

1 ? 1? ,当 x ? ? 0, ? 时 f ? ? x ? ? 0 ,当 e ? e?

?1 ? x ? ? , ?? ? ,时 f ? ? x ? ? 0 ; ?e ? 1 ? 1? ?1 ? 故 f ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? , ?? ? 上单调递增,所以,当 x ? 时,函数取得最小 e ? e? ?e ? 1 ?1? 值 f ? ??? . e ?e? 1 (2)依题意,得 f ? x ? ? ax ?1 在 [1, ??) 上恒成立,即不等式 a ? ln x ? 对于 x ? [1, ??) x 1? ? 恒成立,即 a ? ? ln x ? ? , x ? [1, +?) . x ?min ? 1 1 1 x ?1 设 g ? x ? ? ln x ? ? x ? 1? , 则 g ? ? x ? ? ? 2 ? 2 ,令 g? ? x ? ? 0 ,得 x ? 1 ,当 x ? 1 x x x x x ?1 时,因为 g ? ? x ? ? 2 ? 0 ,故 g ? x ? 在 [1, ? ?) 上是增函数,所以 g ? x ? 在 [1, ? ?) 上的最 x 小值是 g ?1? ? 1, 故 a 的取值范围是 (??, 1] .
评注 对于恒成立问题,其根本思路是转化,而转化只有两种方法.1,变量分离法,2,不 分离参数法,本例第(2)问运用分离变量的方法,使得构造中的函数不含有参数,避免了 对参数的分类讨论,对于不等式验证区间端点成立的情形,一般采用不分离参数法(见本例 的变式 1) ,同学们应该视不同的情形使用不同的方法.
1

变式 1 设函数 f ? x ? ? ?1 ? x ? ? 2 ln ?1 ? x ? .
2

(1)求 f ? x ? 的单调区间; (2)若当 x ? ? ? 1, e ? 1? 时,不等式 f ? x ? ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围; (3)若关于 x 的方程 f ? x ? ? x ? x ? a 在区间 ?0, 2? 上恰好有两个相异的实根,求实数 a
2

?1 ?e

? ?

的取值范围.

ax 变式 2 (2012 湖南 22 (1) ) 已知函数 f ? x ? ? e ? x , 其中 a ? 0 , 若对一切 x ? R, f ? x ? ? 1

恒成立,求 a 的取值集合.
x

例 15. 设函数 f ? x ? ? e ? e

?x

(1)证明; f ? x ? 的导数 f ? ? x ? ? 0 ; (2)若对所有 x ? 0 ,都有 f ? x ? ? ax ,求 a 的取值范围. 解析 (1) f ? ? x ? ? e ? e ,由基本不等式得 e ? e
x ?x x ?x

? 2 ex ? e? x ? 2 ,故 f ? ? x ? ? 2 ,

当且仅当 x ? 0 时 f ? ? x ? ? 2 . (2)令 g ? x ? ? f ? x ? ? ax ? e ? e
x ?x

? ax ? x ? 0? ,由

g ? 0 ? =0,g ? ? x ? ? e x ? e? x ? a ? 2 e x ? e? x ? a ? 2 ? a .
①当 a ? 2 时, g? ? x ? ? 0 ,函数 g ? x ? 在 [0, ? ?) 上单调递增,则 g ? x ? ? g ? 0? ? 0 ,满足 题意. ②当 a ? 2 时, , 因为函数 g? ? x ? 在 [0, ? ?) 上单调递增, 令 g ? ? x0 ? ? 0 , 得当 x ? ? 0, x0 ? 时,

g? ? x ? ? 0 ,函数 g ? x ? 在 ? 0, x0 ? 上单调递减,当 x ? ? x0 , ? ?? 时, g? ? x ? ? 0 ,函数 g ? x ?
在 ? x0 , ? ?? 上单调递增,因此,当 x ? ? 0, x0 ? 时 g ? x ? ? 0 ,不满足在

x ?[0, ? ?), g ? x ?min ? 0 ,故 a ? 2 不满足题意,舍去. 综上, a 的取值范围为 (??, 2] .

评注 对于恒成立问题,其根本思想是 “转化” ,而转化有两种方法:分离参数法和不分离 参数法,对于不等式试验区间端点值成立的情形,一般采用不分离参数法,相比分离参数法 操作上简单,可以视不同情形,选择不同的方法 变式 1 (2012 天津 20)已知 f ? x ? ? x ? ln ? x ? a ? 的最小值为0,其中 a ? 0 . (1)求 a 的值; (2)若对任意的 x ?[0, ? ?) ,均有 f ? x ? ? kx 成立,求实数 k 的最小值.
2

变式2 已知函数 f ? x ? ? ln x ? a ? x ?1? , a ? R . (1)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (2)当 x ? 1 时, f ? x ? ? 思路提示2

ln x 恒成立,求 a 的取值范围. x ?1

(1)若函数 f ? x ? 在区间D上存在最小值 f ? x ?min 和最大值 f ? x ?max ,即 f ? x ? ??m, n? , 则对不等式有解问题有以下结论: 不等式 a ? f ? x ? 在区间 D 上有解 ? a ? f ? x ?max ; 不等式 a ? f ? x ? 在区间 D 上有解 ? a ? f ? x ?max ; 不等式 a ? f ? x ? 在区间 D 上有解 ? a ? f ? x ?min ;
2

不等式 a ? f ? x ? 在区间 D 上有解 ? a ? f ? x ?min ; 问题有以下结论:

(2)若函数 f ? x ? 在区间 D 上不存在最大(小)值,如值域为 ? m, n ? ,则对不等式有解

? ? 不等式 b ? f ? x ? ? 或b ? f ? x ? ? 在区间 D 上有解 ? b ? m
不等式 a ? f ? x ? 或a ? f ? x ? 在区间 D 上有解 ? a ? n 例 16.已知函数 f ? x ? ? x ? a ln x, g ? x ? ? ? (1)若 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的极值;

a ?1 ?a ? R? . x

(2)设函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,求函数 h ? x ? 的单调区间;

(3)若在 ?1 , e? 上存在一点 x0 ,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,求 a 的取值范围. 在区间 ?1, e? 上的最小值小于0.

分析 若在区间 ?1, e? 上存在一点 x0 ,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,转化为函数 f ? x ? ? g ? x ? 解析 (1) 当 a ? 1 时,f ? x ? ? x ? ln x , 函数的定义域为 ?x | x ? 0? ,f ? ? x ? ? 1 ? 当 x ? ? 0,1? 时 f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减; 当 x ? ?1, ? ?? 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增, f ? x ? 的极小值为 f ?1? ? 1 (2) h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x ? a ln x ?

1 x ?1 ? x x

x 2 ? ax ? ? a+1? ,导函数 h? ? x ? 的零点为 x ? a ? 1 . ? x2 x2 若 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 ,则 h ? x ? 在? 0, +?? 上单调递增;若 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 ,则 h? ? x ? ?

a ?1 ,x?0, x ? ? x ? ? a ? 1?? ? ? x ? 1?

h ? x ? 在? 0,a ? 1? 上单调递减,在 ? a ? 1, ??? 上单调递增.
(3)依题意,只需要 f ? x0 ? ? g ? x0 ?

?

?

min

? 0, x0 ??1, e? ,令

讨论 h? ? x ? 的零点与区间 ?1, e? 的位置关系.

a +1 , x ? ?1, e ? , x 2 x ? ? a ? 1?? a a ? 1 x ? ax ? ? a ? 1? ? ? ? x ? 1? , h ? x? ? 1? ? 2 ? ?? 2 2 x x x x h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x ? a ln x ?

①若 a ? 1 ? 1 时,即 a ? 0, h? ? x ? ? 0, h ? x ? 单调递增, h ? x ?min ? h ?1? ? a ? 2 ? 0 ,得

a ? ?2 ; ②若 1 ? a ? 1 ? e 时,即 0 ? a ? e ? 1 , h ? x ? 在[1,a+1)上单调递减,在 ( a+1,e]上单调递
增,故 h ? x ?min ? h ? a ?1? ? ? a ?1? ? a ln ? a ?1? ?1, a ? ? 0, e ?1? ,令

③若 a ? 1 ? e 时,即 a ? e ? 1 , h ? x ? 在 ?1, e? 上单调递减,则

? x ? 1 ? 2 , x ? ? 0, e ?1? ,因此 p ? x ? ? 2, x ??0, e ?1? ,不符,故舍去.
h ? x ?min

p ? x ? ? ? x ?1? ? x ln ? x ?1? ?1, x ? ? 0, e ?1? , p ? 0? ? p ?e ?1? ? 2 , p ? x ? ? x ? 1

e2 ? 1 a ?1 ? h ?e? ? e ? a ? ? 0 ,得 a ? ? e 成立. e e ?1

3

综上, a 的取值范围为 ? ??, ? 2? ? ?

? e2 ? 1 ? , ? ?? ? e ?1 ?

b ,在 x ? 1 处取得 x 极值. (1) 求 a 与 b 满足的关系式; (2) 若 a ? 1, 求函数 f ? x ? 的单调区间; (3) 若 a ? 3,
变式1 (2012北京丰台期末理19)设函数 f ? x ? ? x ? a ln x ? 函数 g ? x ? ? a x ? 3 ,若存在 m1 , m2 ? ? , 2? ,使得 | f ? m1 ? ? g ? m2 ? |? 9 成立,求 a 的 2
2 2

?1 ?

? ?

取值范围. 思路提示3

(1)对于任意的 x1 ?? a, b? ,总存在 x2 ?? m, n? ,使得 (2)对于任意的 x1 ?? a, b? ,总存在 x2 ?? m, n? ,使得 (3)若存在 x1 ?? a, b? ,对于任意的 x2 ?? m, n? ,使得 (4)若存在 x1 ?? a, b? ,对于任意的 x2 ?? m, n? ,使得 (5)对于任意的 x1 ?? a, b? , x2 ?? m, n? 使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? f ? x1 ?max ? g ? x2 ?min ; (6)对于任意的 x1 ?? a, b? , x2 ?? m, n? 使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? f ? x1 ?min ? g ? x2 ?max ; (7)若存在 x1 ?? a, b? ,总存在 x2 ?? m, n? ,使得 (8)若存在 x1 ?? a, b? ,总存在 x2 ?? m, n? ,使得

f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? f ? x1 ?max ? g ? x2 ?max ;

f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? f ? x1 ?min ? g ? x2 ?min ; f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? f ? x1 ?min ? g ? x2 ?min ;

f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? f ? x1 ?max ? g ? x2 ?max ;

f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? f ? x1 ?min ? g ? x2 ?max

f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? f ? x1 ?max ? g ? x2 ?min .
例 17. 已知 f ? x ? ? ln x ? ax ? (1)当 a ?

1? a ? 1 ?a ? R ? . x

1 时,讨论 f ? x ? 的单调性; 2 1 2 (2)设 g ? x ? ? x ? 2bx ? 4 ,当 a ? 时,若对任意 x1 ? ? 0, 2? ,存在 x2 ??1, 2? ,使 4 f ? x1 ? ? g ? x2 ? .求实数 b 的取值范围.
分析 对于任意的 x1 ? ? 0, 2? ,存在 x2 ??1, 2? ,使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立转化为 解析 (1)函数 f ? x ? 的定义域为 ?x | x ? 0? ,
2 1 a ? 1 ax ? x ? ? a ? 1? ? ax ? a ? 1? ? x ? 1? f ?? x? ? ? a ? 2 ? ? x x x2 x2 x ?1 ①当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 2 ,由 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 1 ,由 f ? ? x ? ? 0 ,得 0 ? x ? 1 x

f ? x1 ?min ? g ? x2 ?min

4

1? a ? ? ?a ? x ? ? ? x ? 1? a ? ? ②当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? , x2 1 2 ? ? x ? 1? 1? a 1 ? 1 时, (Ⅰ) 当 得 a ? , f ?? x? ? 2 2 , 函数 f ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上单调递减. a 2 x 1 1? a ? 1, (Ⅱ)当 0 ? a ? 时, 2 a 当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 变化情况如表3-11所示.
表3-11

x
f ? ? x? f ? x?

? 0, 1?
?
?

1
0 极小值

? 1? a ? ?1, ? a ? ?

1? a a
0 极大值

?
?

? 1? a ? , ? ?? ? ? a ? ?
?

函数 f ? x ? 的单调递减区间为 ? 0, 1? 和 ? (Ⅲ)当 a ? 0 时,

? 1? a ? ? 1? a ? , ? ? ? ,单调递增区间为 ?1, ?. a ? ? ? a ?

综上,当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在 ? 0, 1? 的单调递减区间为,递增区间为 ?1, ? ?? ;当

1? a ? 0 ,函数 f ? x ? 在 ? 0, 1? 上单调递减,在 ?1, ? ?? 上单调递增; a

0?a?
当a ?

1 ? 1? a ? ? 1? a ? 时,函数 f ? x ? 在 ? 0, 1? ,? , ? ? ? 上单调递减,在 ?1, ? 上单调递增; 2 a ? ? ? a ?

1 时,函数 f ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上单调递减. 2

(2)依题意, f ? x1 ?min ? g ? x2 ?min , x1 ? ? 0,2? , x2 ??1,2? ,当 a ?

1 时, 4

x 3 ? ? 1 在 ? 0,1? 上递减,在 ?1, 2 ? 上递增,故 4 4x 1 f ? x ?min ? f ?1? = - , g ? x ? ? x 2 ? 2bx ? 4, x ? ?1, 2? . 2 1 11 当 x ? b ? 1 时, g ? x ?min ? g ?1? ? 5 ? 2b ,则 ? ? 5 ? 2b ,即 b ? (舍) 4 2 1 9 2 2 2 2 2 当 1 ? b ? 2 时, g ? x ?min ? g ?b? ? b ? 2b ? 4 ? 4 ? b ,得 ? ? 4 ? b , b ? , 即 2 2 3 2 3 2 或b ? ? (舍) b? 2 2 1 17 当 b ? 2 时, g ? x ?min ? g ? 2? ? 8 ? 4b ,则 ? ? 8 ? 4b ,得 b ? 8 2 17 综上,实数 b 的取值范围是 [ , ? ?) . 8 f ? x ? ? ln x ?
存在 x2 ??1,2? ,使 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,令 g ? x2 ? ? M ,则 ?x1 ? ? 0, 2? ,

评注 对于存在性与任意性的综合问题,不妨先定存在,如本例中对任意的 x1 ? ? 0, 2? ,总

5

x2 ??1, 2? , g ? x2

f ? x1 ? ? M ? f ? x1 ?min ? M ,设 f ? x1 ?min ? m, x1 ?? 0,2? ,再分析存在


?min ? m ,则,即最终转化为 g ? x2 ?min ? f ? x1 ?min 的问题.

变式1 已知函数 (1)求 (2)设 的单调区间; ,若对任意的 ,求 的取值范围. 变式2 已知函数 (1)若 是函数 ,均存在

,使得

, ( 为常数, 的一个极值点,求 的值; 时, ,总存在 在 上是增函数; ,使不等式



(2)求证:当 (3)若对任意的 数 的取值范围.

成立,求实

6


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