tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
当前位置:首页 >> 数学 >>

上课用 高二数学 3.3平面与圆锥面的截线(选修4-1)_图文

复习回顾——平行射影的概念:
直线 l与平面α相交------ l的方向称投影方向。

点的平行射影:过点A作平行于 l 的直线(称
投影线)必交α于一点A?,称点A?为A沿 l 的方向 在平面 α上的平行射影。

l

A
A?

图形的平行射影: 一个图形上各点在平面 α上的平行射影所 组成的图形,叫做这个图形的平行射影。 正射影是平行射影的特例。

用一个平面去截一个圆柱, 当平面与圆柱两底面平行时,截面是一个圆;

当平面与两底面不平行时,截面是一个椭圆。

二、平面与圆柱面的截线
探究: 如图,AB,CD是两个等
圆的直径,AB//CD,AD、BC均 E A 与两圆相切。作公切线EF, 切点分别为F1 , F2 , 交BA,DC 的延长线与E,F,交AD于
G1 ,交BC于G 2 ,设EF
G1 F1 F2
Φ

O1

B

与BC,CD的交角分别 为φ,θ。
D

G2
Θ C F

O2

(1)G2 F1 ? G2 F2 ? AD
G2 F1 ? G2 F2 ? G2 B ? G2C ? BC ? AD

( 2) AD ? G 1G 2
G1G 2 ? G1 D ? F2 G 2 ? G1 D ? G 2 C ? G1 D ? G1 A ? AD

E A

O1

B

?? ?

G1 F1 F2
Φ

?3?

G 2 F1 G2 E
? BG2 G2 E

? cos ? ? cos ? .
D
? cos ? ? cos(90 0 ? ? ) ? sin ? .

G2
Θ C F

G2 F1 ? BG2 G2 F1 G2 E

O2

拓展到空间
E A

O1

B

A
G1
F1

O1

B
K1

G1 F1 F2
Φ

G2
Θ C F D
O2

P

F2

G2

D

O2

C
K2

Dandlin(丹迪林)双球
定理1.圆柱形物体的斜截口是椭圆.

l1
A
G1
F1
O1

B

K1

P

F2

G2
O2

K2

C

l2

椭圆的准线: l1 ,l2

离心率: e ? cos ?

思考 如图3 ? 9?1 ?, AD是等 腰三角形ABC 底边上的高, ?BAD ? ? .直线l与AD相交于 点P, 且与AD的夹角为? ( 0 ? 2 什么关系? 都相交;
B

A

?

?
P

l

??

?

).试探究:当?与? 满足

D ?1?
G

C

A

?1?l与AB?或AB的延长线?、AC
E B

?

?
P

l F
C

?2?l与AB不相交; ?3?l与BA 的延长线、AC都相交.

D

?2 ?
图3 ? 9

G

?1 ?当 l与 AB ?或 AB 的延长线 ?、 AC
都相交时 , 设 l与 AB (或 AB 的延长 线 )交于 E , 与 AC 交于 F .因为 ? 是 ? AEP 的外角 , 所以必然有 ? ? ? ; 反之 ,当 ? ? ? 时 , l与 AB (或 AB 的延 长线 )、 AC 都相交 .

如图 3 ? 9?2 ? ,可以有如下结论 :

A

?
E B

?
P

l F
C

D

?2 ?

?2 ?当 l与 AB 不相交时 , 则 l // AB , 这时有 ? ? ? ;
反之 ,当 ? ? ? 时, l // AB , 那么 l与 AB 不相交 .

?3 ?当 l与 BA 的延长线、 AC 都相交时 , 设 l 与 BA 的
延长线交于 G , 因为 ? 是 ? APG 的外角 , 所以 ? ? ? ; 如果 ? ? ? , 那么 l 与 BA 的延长线、 AC 都相交 .

将图3 ? 9中的等腰三角形拓广为 圆锥, 直线拓广 为平面 则得到图3 ? 10 . ,
G

A

?
E B

?
P

l F
C
图 3 ? 10

D
图 3 ? 9?2 ?

截面与圆锥的高垂直時截痕为圆
V(頂点) 截痕为圆 截面 圆锥高VH

底面为圆

H

如果用一个平面去截一个正圆锥(两边可 以无限延伸),而且这个平面不通过圆锥的顶 点,会出现三种情况:

截面与圆锥面的高不垂直時截痕可能为一个椭圆
V(顶点) 正圆锥高

截痕为椭圆

截面 正圆锥面

底面为圆

H

截面与圆锥的母线平行時其截面为抛物线
V 圆锥母线

圆锥高VH
截面

正圆锥面 截痕为抛物线 H 底为圆

截痕为双曲线

正圆锥面

截面

截痕为双曲线

底面圆

定理2 在空中,取直线 l 为轴,直线 l ? 与 l 相交 于O点,夹角为? ,l ?围绕 l 旋转得到以O为顶点, l? 为母线的圆锥面。任取平面π,若它与轴 l的交角 为 ?(当 π与 l平行时,记 ? =0),则 (1)β>α,平面π与 圆锥的交线为椭圆; (2) β=α,平面π与 圆锥的交线为抛物 线; (3)β<α,平面π与 圆锥的交线为双曲 线。 l?

l

椭圆焦点的产生

球面与锥面相切 內切小球面

大球的切点 (焦点)

由截面截出的椭圆
小球的切点 (焦点) 截面 球面与锥面相切 圆锥面

內切大球面

下面给出交线为椭圆时 的证明 .
如图 3 ? 11, 与定理 1 的证明相 同 , 在圆锥内部嵌入 Dandelin 双球 , 一个位于平面 ? 的上方 , 一个位于平面 ? 的下方 , 并且 与平面 ? 及圆锥均相切 .
当 ? ? ? 时, 由上面的讨论可知 , 平面 ? 与圆锥的交线是一个封 闭曲线 .设两个球与平面 ? 的切 点分别为 F1、 F2 , 与圆锥相切于圆 S 1、 S 2 .
S2 S1 Q1 F1 F2

P
Q2

图 3 ? 11

在截口的曲线上任取一 点 P , 连接 PF1、 PF2 .过 P 作母线交 S 1 于 Q1 , 交 S 2于 Q2 , 于是 PF1 和 PQ1是从 P 到上方球的两条切 线 , 因此 PF1 ? PQ1 .
S2 S1 Q1 F1 F2

P
Q2

同理 , PF2 ? PQ 2.所以 PF1 ? PF2 ? PQ1 ? PQ 2 ? Q1 Q2 . 由正圆锥的对称性 , Q1 Q2长度

图 3 ? 11

等于两圆 S 1、 S 2 所在平行平面间的母线 段的 长度 , 与点 P 的位置无关 .由此可知截口的曲线 是以 F1、 F2为焦点的椭圆 .

探究 如图 3 ? 12 ,

?1? 找出椭圆的准线; ? 2 ? 探讨P到焦点 F1 的距离与 A
到两平面交线m的距离之比.
如图 3 ? 12, 上面一个 Dandelin 球与圆锥的交线为圆 S , 记圆 S 所在的平面为 ? `.设 ? 与 ? `的交

m
S Q1 B
F1

?`

?
P

图 3 ? 12

线为 m.在椭圆上任取一点 P , 连接 PF1 .在 ? 中过 P 作 m 的垂线 , 垂足为 A.过 P 作 ? `的垂线 , 垂足为 B , 连接 AB , 则 AB 是 PA 在平面 ? `上的射影 . 容易证明 , m ? AB.故
?PAB 是平面 ? 与平面 ? `交成的二面角的平面角 .

在 Rt ? ABP 中, ? APB ? ? , 所以 PB ? PA cos ? .

?1 ?

m
A
S Q1 B
F1

?`

设过 P 的母线与圆 S 交于 点 Q1 , 则在 Rt ? PQ1 B 中 , ? Q1 PB ? ? , 所以 PB ? PQ1 cos ? .

?
P

?2 ?
cos ? cos ? . 因为

图 3 ? 12

由 ?1 ? ?2 ? 得 0 ?? ? ? ?

PF1 PA

?

?
2

, 故 cos ? ? cos ? , 则

PF1 PA

?

cos ? cos ?

? 1.

由上所述可知 , 椭圆的 准线为 m , 椭圆上任一 点到焦点的距离与到 准线的距离之比为常 数 cos ? cos ? , 因此椭圆的 cos ? ,
A

m
S Q1 B
F1

?`

?
P

cos ? 即椭圆的离心率等于截 面和圆锥的轴的交角 的余弦与圆锥的母线和 轴所成角的余弦之比 .

离心率为 e ?

图 3 ? 12

最后, 我们延用讨论椭圆 结构特点的思路 讨论一 , 下双曲线的结构特点 .
如图 3 ? 13,当? ? ? 时, 平面
Q1
S1

?
F1

S2
?

O
Q2

?与圆锥的两部分相交.在圆
锥的两部分分别嵌入Dand elin 球, 与平面? 的两个切点 分别是F1、F2 , 与圆锥两部分

F2

P

图 3 ? 13

截得的圆分别为S1、S 2 . 在截口上任取一点 , 连接PF1、PF2 .过P和圆锥 P

的顶点O作母线, 分别与两个球切于Q1、Q2 , 则

PF1 ? PQ1 , PF2 ? PQ2 . 所以 | PF1 ? PF2 |? | PQ1 ? PQ2 |? Q1Q2 .
由于Q1Q2为两圆S1、S 2 所在平行平面之间的 母线段长,因此Q1Q2的 长为定值 . 由上所述可知 , 双曲线
S1

?
Q1 F1

S2

O
Q2

F2

P

图 3 ? 13

的结构特点是 : 双曲上

任意一点到两个定点 ?即双曲线的两个焦点

?

的距离之差的绝对值为 常数 .

拋物线焦点的产生 截面与切点面交线 (准线)

球面与圆锥面相切(切点圆)

含切点圆的平面 (切点面)

內切球面 对称轴 球的切点 (焦点) 圆锥面

截面
由截面截出的拋物线


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com