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南阳市一中2012-2013学年高二第一次月考数学试题

南阳一中 2012——2013 学年秋期第一次月考

高二数学试题
注意事项: 1、本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 160 分。 2、将第Ⅰ卷答案涂在答题卡上,考试结束只交答题卡和答题卷。
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1、某数列既是等差数列,又是等比数列,则这个数列为( ) A、常数列 B、公差为零的等差数列 C、公比为 1 的等比数列 D、这样的数列不存在 2、下列数列中是递增数列的是( ) A.1,3, 5,2,4, 6 C. a n ?
n ?1 n

B. a n ? 2 n ? 4 D. a n ?
1 n

3、已知数列 2 、 6 、 10 、 14 、3 2 ……那么 7 2 是这个数列的第几项( A.23 B.24 C.19 D.25
1 2 3 n
5



4.已知数列 1 0 1 1 ,1 0 1 1 ,1 0 1 1 ,?,1 0 1 1 ,?,使数列前 n 项的乘积不超过 10 的最大正整 数n是 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 5、数列 1 , 2
2
1 2
n

1

1 4

,3
2

1 8

,4

1 16

, ? ? ? 前 n 项的和为 (
1 2
n ?1


n
2

A.

?

n ?n 2

B. ?

?

?n 2

C. ?

1 2
n

?

n ?n
2

D. ?
Sn ? 3 ? 2
n

1 2
n

?

n

2

? n 2

?1

2

6、若数列

{a n }

的前 n 项的和

,那么这个数列的通项公式为(
?1, n ? 1 an ? ? n ?1 ?2 ?3 , n ? 2 D.



3 n ?1 1 n ?1 an ? ( ) an ? 3 ? ( ) a ? 3n ? 2 2 2 A. B. C. n

7、在等差数列 ? a n ? 中,前 15 项的和 S 1 5 ? 9 0 , a 8 为( ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 8、数列{an}、{bn}的通项公式分别是 an=an+b (a≠0,a、b∈R),bn= qn-1(q>1),则数列{an}、 {bn}中,使 an=bn 的 n 值的个数是( ) A、2 B、1 C、0 D、可能为 0,可能为 1,可能为 2 9、在各项均不为零的等差数列 ? a n ? 中,若 a n ? 1 ? a n ? a n ?1 ? 0 ( n ? 2 ) ,
2

则 S 2 n ?1 ? 4 n ? ( ) A. ? 2 B. 0 10、设 2a=3,2b=6,2c=12,则数列 a,b,c 成 ( C. 1 )
1

D. 2

A. 等比 B.等差 C.非等差也非等比 D.既等差也等比 11、某厂去年 产值是 a 亿元,计划今后五年内年产值平均增长率是 10%.则从今年起到第 5 年末的该厂总产值是 ( ) 5 5 A、11×(1.1 -1)a 亿元 B、 10×(1.1 -1)a 亿元 4 4 C、11×(1.1 -1)a 亿元 D、10×(1.1 -1)a 亿元[来源: ht
{ 12、 已知数列 { a n } 、 b n } 都是公差为 1 的等差数列, 其首项分别为 a 1 、b 1 , a 1 ? b1 ? 5 , 且

a 1 ? b 1 , a 1 , b1 ? N * , ( n ? N *) ,则数列 { a b n } 前 10 项的和等于( )

A.55
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B.70

C.85

D.100

第Ⅱ卷(非选择题)
二 、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 已 知 数 列 {a n } 的 前 n 项 和
S 22 ? S 11 ?
Sn ? 1 ? 5 ? ?9 ?1 3 ? 1 ?7 ? ? ? 2 ? 1 ?
n ?1

n? (

1 , )

则4 (

3 )

.
a 11 a 10 ? ? 1 ,且它的前 n 项和 S n 有最小值 ,那么当 S n 取得最小正值

14. { a n } 为等差数列,若 时, n ?

S S 15. 等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , S 4 ? 20 , n ? S n ? 4 ? 60 , n ? 120 , n ? 且 则

.

16.在刚刚结束的全国第七届全国农运会期间,某体育 场馆橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥” 形的展品, 其中第 1 堆只有 1 层, 就一个球; 2, 3, 4, ? ? ? 第 堆最底层(第一层)分别按图 1 所示方式固定摆放, 从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上, 第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球,以 f ( n ) 表示这 n 堆的 乒乓球总数,则 f (3) ? _____ ;
f (n) ? _____

?
图1 ( f ( n ) 的答案用 n 表示)

三、解答题(第 17 题 10 分,其余每题各 12 分,共 70 分)

17、已知三个数 a , b , c 成等比数列,其公比为 3,如果 a , b ? 8 , c 成等差 数列,求这三个数。
18.某城市 1995 年底人口为 500 万,人均住房面积为 6 m2,如果该城市每年人口平均增长 率为 1%,则从 1996 年起,政府为解决民生推动经济适用房建设,每年平均需新增住房面积 为多少 万 m2 ,才能 使 2014 年底该城市人均住房面积至少 为 24m2 ? (可参考的数 据 1.0118=1.20,1.0119=1.21,1.0120=1.22).

19.设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,点 ( n ,

Sn n

)( n ? N ) 均在函数 y=-x+12 的图像上.

?

2

(Ⅰ)写出 S n 关于 n 的函数表达式; (Ⅱ)求数列 { | a n |} 的前 n 项的和. 20.在等差数列 ? a n ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n 满足条件 (Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)记 b n ? a n p ( p ? 0 ) ,求数列 ? b n ? 的前 n 项和 T n .
an

S2n Sn

?

4n ? 2 n ?1

, n ? 1, 2, ? ? ? .

21. 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 1, S n ? n a n ? n ( n ? 1) (Ⅰ)求证:数列 { a n } 为等差数列,并写出 a n 关于 n 的表达式; (Ⅱ)若数列 {
1 a n a n ?1 } 前 n 项和为 T n ,问满足 T n ?
100 209

( n ? 1, 2, 3, ? ? ?).

的最小正整数 n 是多少?

.

22.已知数列 { a n } 是首项为 a 1 ?
*

1 4

,公比 q ?

1 4

的等比数列. 设 b n ? 2 ? 3 lo g 1 a n
4

( n ? N ) ,数列 { c n } 满足 c n ? a n ? b n .

(Ⅰ)求证:数列 { b n } 成等差数列; (Ⅱ)求数列 { c n } 的前 n 项和 S n ; (Ⅲ)若 c n ?
1 4 m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2

四.附加题: (本小题 10 分,计入总分)
a1 ? 1, a n ? 1 ?1 ? an ? n ? ?2 ? a ?2n ? n ( n为 奇 数 ) ( n为 偶 数 )

已知数列 { a n } 满足:

⑴求 a 2 , a 3 ; ⑵当 n ? 2 时,求 a 2 n ? 2 与 a 2 n 的关系式,并求数列 { a n } 中偶数项的通项公式; ⑶求数列 { a n } 前 100 项中所有奇数项的和.

3

南阳一中 2012——2013 学年秋期第一次月考

高二数学试题答案
一.选择题 题号 答案 1 C 二.填空题 13.-65 三.解答题 14.20 15. 12 16. f(3)=10 , f ( n ) ?
n ( n ? 1)( n ? 2 ) 6

2 B

3 D

4 B

5 D

6 D

7 C

8 D

9 A

10 B

11 A

12 C

17、解析:∵ a , b ? 8 , c 成等差数列 ∴ 2 (b ? 8 ) ? a ? c (1) ????2 分

∵ a , b , c 成等比数列,其公比为 3 c ? 9 a 代入(1)式得:????6 分 ∴ b ? 3a
2 (3 a ? 8 ) ? a ? 9 a 即 a ? 4
b ? 12 c ? 36

?10 分

18.解 设从 1 996 年起,每年平均需新增住房面积为 x 万 m2,则由题设可得下列不等式
5 0 0 ? 6 ? 1 9 x ? 5 0 0 ? (1 ? 0 .0 1)
19

? 24

解得 x ? 605 . 答 设从 1996 年起,每年平均需新增住房面积为 605 万 m2. 19.解 (Ⅰ)由题设得 (
an ? Sn ?
Sn n ? ? n ? 1 2 ,即 S n ? n ( ? n ? 12) ? ? n ? 12 n .
2


?1


2



n ?1


2



a n ? a1 ? S 1 ? 11





n? 2





=S(n? n ? 1 2 n ) ? ( ? ( n ? 1) ? 1 2 ( n ? 1)) = ? 2 n ? 1 3 ;

由于此时-2×1+13=11= a 1 ,从而数列 { a n } 的通项公式是 a n ? ? 2 n ? 13 .由前面分析可 知, a1 , a 2 , ? ? ? a 6 ? 0 ,数列 { a n } 从第 7 项起均为负数.设数列 { | a n |} 的前 n 项的和为 T n .当
n ? 6 时, T n ? | a1 | ? | a 2 | ? ? ? ? ? | a n | = a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n = S n ? ? n ? 1 2 n ;
2

当 n ? 7 时, T n ? | a1 | ? | a 2 | ? ? ? ? ? | a n |? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a 6 ? a 7 ? ? ? ? ? a n = ( a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a 6 ) ? ( a 7 ? ? ? ? ? a n ) = 2( a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a 6 ) ? ( a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a 6 ? a 7 ? ? ? ? ? a n ) = 2 S6 ? S n = n ? 12n ? 72 .
2

?? n 2 ? 12n, n?6 ? 所以数列 {| a n |} 的前 n 项的和为 T n ? ? 2 . ? n ? 1 2 n ? 7 2, n ? 7 ?

20.解: (Ⅰ)设等差数列 ? a n ? 的公差为 d ,由 即 d ? a 2 ? a1 ? 1 ,所以 a n ? n 。 (Ⅱ)由 b n ? a n p
an

S 2n Sn

?

4n ? 2 n ?1

得:

a1 ? a 2 a1

? 3 ,所以 a 2 ? 2 ,

,得 b n ? n p 。所以 T n ? p ? 2 p ? 3 p ? ? ? ? ? ( n ? 1) p
n 2 3

n ?1

? np ,
n

4

当 p ? 1 时, T n ?

n ( n ? 1) 2
2


3 4 n n ?1

当 p ? 1 时, p T n ? p ? 2 p ? 3 p ? ? ? ? ? ( n ? 1) p ? n p
(1 ? P ) T n ? p ? p ? p ? ? ? ? ? p
2 3 n ?1


? np
n ?1

? p ? np
n

n ?1

?

p (1 ? p )
n

1? p

? n ( n ? 1) , p ?1 ? 2 ? 即 Tn ? ? n n ?1 p (1 ? p ) n p ? ? ,p ?1 2 ? 1? p ? (1 ? p )

21. (本小题满分 12 分)

[来源:Zxxk.Com]

解: (Ⅰ)当 n … 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? na n ? ( n ? 1) a n ?1 ? 2( n ? 1) , 得 a n ? a n ?1 ? 2 ( n ? 2, 3, 4, ? ? ?) . 所以数列 { a n } 是以 a1 ? 1 为首项,2 为公差的等差数列. ??5 分 所以 a n ? 2 n ? 1 . ?????????????6 分 (Ⅱ) T n ?
1 a1 a 2 ? 1 a2 a3 ? ??? ? 1 a n ?1 a n

?

1 1? 3
1

?

1 3? 5

?

1 5? 7

? ??? ?

1

? 2 n ? 1? ? 2 n ? 1?

?

1 1 1 1 1 1 1 1 [( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 1 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1

?

n 1? 1 ? ?1 ? ? ? 2n ? 1 2? 2n ? 1 ?
? n 2n ? 1 ? 100 209

?????10 分
100 9

由 Tn



得n

?



满足 T n ?

100 209

的最小正整数为 12. ???????12 分
n ?1

22.解: (Ⅰ)由已知可得, a n ? a 1 q
? bn ? 3n ? 2

1 n ? ( ) , b n ? 2 ? 3 log 4

1 4

1 n ( ) ? 3n 4

[来源:学*科*网]

Q b n ? 1 ? b n ? 3,

? { b n } 为等差数列,其中 b1 ? 1, d ? 3 .

------- 4 分

(Ⅱ) c n ? a n b n ? (3 n ? 2 )( ) n
4
Sn ? 1? 1 1 2 1 3 1 n ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? (3 n ? 2 ) ? ( ) 4 4 4 4

1



5

1

1 2 1 3 1 4 1 n 1 n ?1 S n ? 1 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? (3 n ? 5) ? ( ) ? (3 n ? 2 ) ? ( ) 4 4 4 4 4 4



① - ② 得
3 4 Sn ? 1 4 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n ?1 ? 3[( ) ? ( ) ? ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ( ) ] ? (3 n ? 2 ) ? ( ) 4 4 4 4 4

1 2 1 n ?1 ( ) [1 ? ( ) ] 1 n ?1 4 4 ? ? 3? ? ( 3 n ? 2 )( ) 1 4 4 1? 4 1

?

1

1 n ?1 2 12 n ? 8 1 n ? 1 ? (3 n ? 2 ) ? ( ) ? S n ? ? ?( ) . 2 4 3 3 4
1
n

(Ⅲ) c n ? ( 3 n ? 2 ) ? ( )
4

1 n ?1 1 n c n ? 1 ? c n ? ( 3 n ? 1) ? ( ) ? (3 n ? 2 ) ? ( ) 4 4 1 n 3n ? 1 1 n ?1 ?( ) [ ? (3 n ? 2 )] ? ? 9 ? ( ) ( n ? 1) 4 4 4

当 n ? 1 时, c n ?1 ? c n ,当 n ? 2 时, c n ? 1 ? c n
? ( c n ) m a x ? c1 ? c 2 ? 1 4
1 4 m ? m ?1 ?
2

.
1 4

若 cn ?
2

1 4

m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,则
2

即可

? m ? 4 m ? 5 ? 0 ,即 m ? ? 5 或 m ? 1 .

四.附加题: 解:⑴ a 2 ?

3 2

,a3 ? ?

5
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

2

? a 2 n ?1 ? a 2 n ? 2 ? 2 ( 2 n ? 2 ) ? ⑵当 n ? 2 时, ? 1 ? a 2 n ? a 2 n ?1 ? 2 n ? 1 ? 2

? a 2n ?

1 2

a 2n?2 ? 1 1 2 a 2n?2 ? 1 ? 2 ? 1 2 (a 2n?2 ? 2) 1 2

? a 2n ? 2 ?

? { a 2 n ? 2} 是一个以 a 2 ? 2 ? ?

为首项,以

1 2

为公比等比数列,

则 a 2n ? 2 ? (?
? a 2n ? 2 ? 1 2
n

1

1 n ?1 1 )?( ) ? ? n 2 2 2

6

⑶ S 奇 ? a1 ? a 3 ? a 5 ? ? ? ? ? a 9 9
? a 1 ? ( a 2 ? 2 ?2 ) ? a 4 ( ? 2 ? 4 ) ? ? ? a 9?8 ? ( ? 2 ?8) 9

? a1 ? ( a 2 ? a 4 ? ? ? ? ? a 98 ) ? 2(2 ? 4 ? ? ? ? ? 98)

1 49 ? ( ) ? 4802 2

7


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