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2017_2018学年高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念学案新人教A版选修2_220180312365

1.5 定积分的概念 [核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P38~P47 的内容,回答下列问题. 2 观察教材图 1.5-2,阴影部分是由抛物线 y=x 与直线 x=1,y=0 所围成的平面图形. (1)通常称这样的平面图形为什么图形? 提示:曲边梯形. (2)如何求出所给平面图形的面积近似值? 提示:把平面图形分成多个小曲边梯形,求这些小曲边梯形的面积和. (3)如何更精确地求出阴影部分的面积 S? 提示:分割的曲边梯形数目越多,所求得面积越精确. 2.归纳总结,核心必记 (1)连续函数 如果函数 y=f(x)在某个区间 I 上的图象是一条连续不断的曲线,那么我们就把它称为 区间 I 上的连续函数. (2)曲边梯形的面积 ①曲边梯形:由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的图形称为曲边 梯形(如图①). ②求曲边梯形面积的方法与步骤: (ⅰ)分割:把区间[a,b]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如 图②); (ⅱ)近似代替: 对每个小曲边梯形“以直代曲”, 即用矩形的面积近似代替小曲边梯形 的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②); (ⅲ)求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和; (ⅳ)取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲 边梯形的面积之和趋向一个定 值,即为曲边梯形的面积. (3)求变速直线运动的位移(路程) 如果物体做变速直线运动, 速度函数为 v=v(t), 那么我们也可以采用分割、 近似代替、 1 求和、取极限的方法,求出它在 a≤t≤b 内所作的位移 s. (4)定积分 ①定积分的概念 如果函数 f(x)在某个区间[a,b]上连续,用分点 a= 当 n→∞时, 上述和式无限接近某个常数, 这个常数叫 做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作? ? f(x)dx, a b 其中 a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间, 函数 f(x)叫做 被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式. ②定积分的几何意义 如果在区间[a, b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0, 那么定积分? ?af(x)dx 表示由直线 x =a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.这就是定积分? ? f(x)dx a b b 的几何意义. ③定积分的基本性质 ? (ⅰ)? ? kf(x)dx=k? f(x)dx(k 为常数); a b a b a b b ? ? (ⅱ)? ? [f1(x)±f2(x)]dx=? f1(x)dx±? f2(x)dx; a a b ? (ⅲ)? ?af(x)dx=?af(x)dx+? f(x)dx(其中 a<c<b). c b b ?c [问题思考] (1)曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么? 提示:前者有一边是曲线段,而“直边图形”的所有边都是直线段. (2)求曲边梯形面积时,能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢?怎样才能减小 误差? 提示:不能直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”,否则误差太大,为了减小近似代替 的误差, 需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”, 而且分割的曲边梯形数目越多, 得到面积的误差越小. (3)在“近似代替”中,如果取任意 ξ i∈? ?i-1,i?处的函数值 f(ξ )作为近似值,求 i n? ? n ? 出的 S 有变化吗? 提示:没有变化. (4)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程有哪些共同点? 提示:求曲边梯形的面积与求变 速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”、“以 不变代变”的思想方法. 2 ? (5)? ? f(x)dx 是一个常数还是一个变量?? f(x)dx 与积分变量有关系吗? a a b b 提示:由定义可得定积分? ?af(x)dx 是一个常数,它的值仅取决于被积函数与积分上、 b ? ? 下限,而与积分变量没有关系,即? ?af(x)dx=?af(t)dt=?af(u)du. (6)在定积分的几何意义中 f(x)≥0,如果 f(x)<0,? ? f(x)dx 表示什么? a b b b b 提示:如果在区间[a,b]上,函数 f(x)<0,那么曲边梯形位于 x 轴的下方(如图所示), 由于 Δ xi>0,f(ξ i)<0, 故 f(ξ i)?Δ xi <0, 从而定积分? 这时它等于图中所示曲边梯形面积的相反 ?af(x)dx<0, 数, b ? 即? ? f(x)dx=-S 或 S=-? f(x)dx. a a b b (7)?2 4-x dx 的几何意义是什么? 2 ?0 提示:是由直线 x=0,x=2,y=0 和曲线 y= 4-x 所围成的曲边梯形面积,即以原 1 2 点为圆心,2 为半径的 圆的面积即?2 4-x dx=π . 4 ? 0 2 [课前反思] 通过以上预习,必 须掌握的几个知识点. (1)连续函数的定义是什么? ; (2)求曲边梯形面积的方法和步骤是什么? ; (3)求变速直线运动的位移(路程)的方法和步骤是什么? ; (4)定积分的概念、几何意义是什么?有哪些基本性质? . 3 . ?讲一讲 2 1.如图所示,求直线 x=0,x=3,y=0 与二次函数 f(x)=-x +2x+3 所围成的曲边 梯形的面积. 1 2 2 2 2 (提示:1 +2 +3 +?+n = n?(n+1)(2n+1)) 6 [尝试解答] (1)如图,分割,将区间[0,3]n 等分,则每个小区间? ?3?i-1?,3i?(i=1,2,?,n) n n? ? ? 3 的长度为 Δ x= .分别过各分点作 x 轴的垂线,把原曲边梯形分成 n 个小曲边梯形. n (2)近似代替 以每个小区间的左端点函数值为高作 n 个小矩形. 则当 n 很大时,用

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