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安徽省滁州市定远县育才学校2018_2019学年高二数学下学期第一次月考试题(实验班)理

2018-2019 学年度下学期第一次月考试卷 高二实验班理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。 第I卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。)

1.已知 f(x)在 x=x0 处可导,则

等于( )

A . f′(x0) D. 2f′(x0)f(x0) 2.已知点 P 在曲线 y=

B . f(x0)

C . [f′(x0)]2

上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范围是( )

A. [0, )

B. [ , )

C. ( , ]

D. [ ,

π) 3.如图,函数的图象在 P 点处的切线方程是 y=-x+8,若点 P 的横坐标是 5,则 f(5)+f′(5) 等于( )

A.

B. 1

C. 2

D. 0

4.已知 f′(x)是函数 f(x)=cosx 的导函数,若 g(x)=f(x)+ f′(x),则使函数 y=g(x+ a)是偶函数的一个 a 值是( )

A.

B. -

C.

D. -

5.设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,

且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( )

A. (-3,0)∪(3,+∞)

B. (-3,0)∪(0,3)

C. (-∞,-3)∪(3,+∞)

D. (-∞,-3)∪(0,3)

6.设 f(x),g(x)是定义在 R 上的恒大于 0 的可导函数,且 f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,则当

a<x<b 时有( )

A.f(x)g(x)>f(b)g(b)

B.f(x)g(a)>f(a)g(x)

C.f(x)g(b)>f(b)g(x)

D.f(x)g(x)>f(a)g(a)

7.已知函数 f(x)=x2+alnx+ 在(1,4)上是减函数,则实数 a 的取值范围是( )

A . a≤3

B . a< -

C . a≤ -

D.a<3 8.已知常数 a、b、c 都是实数,f(x)=ax3+bx2+cx-34 的导函数为 f′(x),f′(x)≤0 的解 集为{x|-2≤x≤3},若 f(x)的极小值等于-115,则 a 的值是( )

A. -

B.

C. 2

D. 5

9.在区间[ ,2]上,函数 f(x)=x2+px+q 与 g(x)=2x+ 在同一点取得相同的最小值,那么

f(x)在[ ,2]上的最大值是( )

A.

B.

C. 8

D. 4 10. 设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象最有可能 的是( )

11.已知 f(x)=



等于( )

A.

B . + 2ln2

C . + ln2

D. -ln2 12.如图,长方形的四个顶点为 O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2),曲线 y=x 经过点 B,现将 一质点随机投入长方形 OABC 中,则质点落在图中阴影区域的概率是( )

A . 512

B . 12

D. 34

第 II 卷

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

C . 23

13.已知 f′(x0)=

,f(3)=2,f′(3)=-2,则

的值是________.

14.设曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x>0)上点 P 处的切线垂直,则 P 的坐标为

__________.

15.已知函数 f(x)=2xf′( )-cosx,则 f′(π )=________. 16.f(x)是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图象如下图所示.令 g(x)=af(x)+b,则下列 关于函数 g(x)的结论: ①若 a<0,则函数 g(x)的图象关于原点对称; ②若 a=-1,-2<b<0,则方程 g(x)=0 有大于 2 的实根; ③若 a≠0,b=2,则方程 g(x)=0 有两个实根; ④若 a≠0,b=2,则方程 g(x)=0 有三个实根. 其中,正确的结论为________.

三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17.设函数 f(x)=x3-x2-ax(a∈R). (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的极值; (2)若函数 f(x)的图象上存在与 x 轴平行的切线,求 a 的取值范围. 18.已知 k 为实数,f(x)=(x2-4)(x+k). (1)求导数 f′(x); (2)若 x=-1 是函数 f(x)的极值点,求 f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值; (3)若 f(x)在区间(-∞,-2)和(2,+∞)上都是单调递增的,求实数 k 的取值范围.
19.已知 f(x)=x3- x2-2x+5.
(1)求 f(x)的单调区间; (2)过(0,a)可作 y=f(x)的三条切线,求 a 的取值范围. 20.已知函数 f(x)=(ax-x2)ex. (1)当 a=2 时,求 f(x)的单调递减区间; (2)若函数 f(x)在(-1,1]上单调递增,求 a 的取值范围; (3)函数 f(x)是否可为 R 上的单调函数?若是,求出 a 的取值范围,若不是,说明理由. 21.函数 f(x)=x2(0<x<1)的图象如图,其在点 M(t,f(t))处的切线为 l,l 与 x 轴和 x=1 分 别交于 P、Q,点 N(1,0),设△PQN 的面积 S=g(t). (1)求 g(t)的表达式; (2)若 g(t)在区间(m,n)上单调递增,求 n 的最大值; (3)若△PQN 的面积为 b 时的点 M 恰有两个,求 b 的取值范围.

22.已知一块半径为 r 的残缺的半圆形材料 ABC,O 为半圆的圆心,OC= r,残缺部分位于过点 C 的竖直线的右侧.现要在这块材料上截出一个直角三角形,有两种设计方案:如图甲,以 BC 为斜边;如图乙,直角顶点 E 在线段 OC 上,且另一个顶点 D 在 上.要使截出的直角三角 形的面积最大,应该选择哪一种方案?请说明理由,并求出截得直角三角形面积的最大值.

答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

D

D

C

D

D

C

C

C

D

D

C

C

13.8

14.(1,1)

15.-2

16.②

17.(1)∵f′(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1),

由 f′(x)=0,得 x=1 或 x=- ,则 x,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

∴f(x)在 x=- 处取得极大值为 f(- )= ;f(x)在 x=1 处取得极小值为 f(1)=-1. (2)∵f′(x)=3x2-2x-a, 函数 f(x)的图象上存在与 x 轴平行的切线, ∴f′(x)=0 有实数解,即 3x2-2x-a=0 有实数解, ∴Δ =(-2)2-4×3×(-a)≥0, ∴a≥- .
因此,所求实数 a 的取值范围是[- ,+∞). 18.(1)∵f(x)=(x2-4)(x+k)=x3+kx2-4x-4k, ∴f′(x)=3x2+2kx-4. (2)∵x=-1 是函数 f(x)的极值点, ∴由 f′(-1)=0,得 3-2k-4=0, 解得 k=- .
∴f(x)=x3- x2-4x+2,f′(x)=3x2-x-4.

由 f′(x)=0,得 x=-1 或 x= .
又 f(-2)=0,f(-1)= ,f( )=- ,f(2)=0,
∴f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 ,最小值为- . (3)∵f′(x)=3x2+2kx-4 的图象是开口向上且过点(0,-4)的抛物线, 由已知,得 ∴-2≤k≤2, 即 k 的取值范围为[-2,2]. 19.(1)f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1), 故当 x∈(1,+∞),(-∞,- )时,f(x)单调递增,当 x∈(- ,1)时,f(x)单调递减. (2)过(0,a)可作 y=f(x)的切线, 设切点为(x0,f(x0)),则切线的方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0), 即 y-( - -2x0+5)=(3 -x0-2)(x-x0), 又(0,a)在切线上, 故 a-( - -2x0+5)=(3 -x0-2)(0-x0),
即 a=-2 + +5.
由已知得 y=a 与 y=-2 + +5 有三个交点,
y′=-6 +x0,令 y′=0,得 x1=0,x2= ,
(-2 + +5) =5 ,( + +5) =5 ,
故 a 的取值范围为(5,5 ). 20.(1)当 a=2 时,f(x)=(2x-x2)ex. f′(x)=(2-2x)ex+(2x-x2)ex, =(2-x2)ex, 令 f′(x)<0,即 2-x2<0,解得 x<- 或 x> , 所以函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,- )和( ,+∞). (2)函数 f(x)在(-1,1]上单调递增, 所以 f′(x)≥0,对于 x∈(-1,1]都成立,

即 f′(x)=[a+(a-2)x-x2]ex≥0,对于 x∈(-1,1]都成立,

故有 a≥

=x+1- ,

令 g(x)=x+1- ,则 g′(x)=1+

>0,

故 g(x)在(-1,1]上单调递增,g(x)max=g(1)= ,

所以 a 的取值范围是[ ,+∞).
(3)假设 f(x)为 R 的上单调函数,则为 R 的上单调递增函数或单调递减函数. ①若函数 f(x)为 R 上单调递增函数,则 f′(x)≥0,对于 x∈R 都成立, 即[a+(a-2)x-x2]ex≥0 恒成立. 由 ex>0,x2-(a-2)x-a≤0 对于 x∈R 都恒成立, 由 h(x)=x2-(a-2)x-a 是开口向上的抛物线, 则 h(x)≤0 不可能恒成立, 所以 f(x)不可能为 R 上的单调增函数. ②若函数 f(x)为 R 上单调递减函数,则 f′(x)≤0,对于 x∈R 都成立, 即[a+(a-2)x-x2]ex≤0 恒成立, 由 ex>0,x2-(a-2)x-a≥0 对于 x∈R 都恒成立, 故由 Δ =(a-2)2+4a≤0,整理得 a2+4≤0,显然不成立, 所以,f(x)不能为 R 上的单调递减函数. 综上,可知函数 f(x)不可能为 R 上的单调函数. 21.(1)设点 M(t,t2),由 f(x)=x2(0<x<1),得 f′(x)=2x, ∴过点 M 的切线 PQ 的斜率 k=2t. ∴切线 PQ 的方程为 y=2tx-t2.
取 y=0,得 x= ,取 x=1,得 y=2t-t2,

∴P( ,0),Q(1,2t-t2),

∴S=g(t)= (1- )(2t-t2)= t3-t2+t.

(2)由(1)得,g(t)= (t3-4t2+4t),

则 g′(t)= (3t2-8t+4),

由 g′(t)=0,解得 t1= ,t2=2(舍). ∴当 t∈(0, )时,g′(t)>0,g(t)为增函数. 当 t∈( ,1)时,g′(t)<0,g(t)为减函数. ∵g(t)在区间(m,n)上单调递增, ∴n 的最大值为 . (3)当 t= 时,g(t)有极大值,也就是(0,1)上的最大值为 . 又 g(0)=0,g(1)= . ∴要使△PQN 的面积为 b 时点 M 恰好有两个, 即 <S< . ∴b 的取值范围为( , ). 22.解 如图甲, 设∠DBC=α (0<α < ), 则 BD= cosα ,DC= sinα , 所以 S△BDC= BD·DC= · cosα · sinα = r2sin 2α ≤ r2, 当且仅当 α = 时取等号, 此时点 D 到 BC 的距离为 r,可以保证点 D 在半圆形材料 ABC 内部, 因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为 r2. 如图乙, 设∠EOD=θ ,则 OE=rcosθ ,DE=rsinθ , 所以 S△BDE= r2(1+cosθ )sinθ ,θ ∈[ , ]. 设 f(θ )= r2(1+cosθ )sinθ , 则 f′(θ )= r2(1+cosθ )(2cosθ -1),

当 θ ∈[ ,]时,f′(θ )≤0,所以 θ = 时,即点 E 与点 C 重合时,△BDE 的面积最大为 r2. 因为 r2> r2, 所以选择图乙的方案,截得的直角三角形面积最大,最大值为 r2.


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