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2018版高中数学(人教A版)必修5同步教师用书:必修5 第2章 章末分层突破


精品 章末分层突破 [自我校对] ①无穷数列 ②常数列 ③通项公式法 ④前 n 项和公式 ⑤等比数列 等差(比)数列的基本运算 在等差数列和等比数列的通项公式 an 与前 n 项和公式 Sn 中, 共涉及五个量: 精品 a1,an,n,d(或 q),Sn,其中 a1 和 d(或 q)为基本量,“知三求二”是指将已知 条件转换成关于 a1,d(q),an,Sn,n 的方程组,利用方程的思想求出需要的量, 当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好,这样可以化繁为简,减少运 算量,同时还要注意整体代入思想方法的运用. 等比数列{an}中,已知 a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项,试求数列{bn}的通项公 式及前 n 项和 Sn. 【精彩点拨】 (1)由 a1,a4 求出公比 q,写出{an}的通项公式.(2)列出关于 b1,d 的方程组,求解 b1,d,进而写出 bn,Sn. 【规范解答】 (1)设{an}的公比为 q, 由已知得 16=2q3, 解得 q=2,∴an=2×2n-1=2n. (2)由(1)得 a3=8,a5=32, 则 b3=8,b5=32. ?b1+2d=8, 设{bn}的公差为 d,则有? ?b1+4d=32, ?b1=-16, 解得? ?d=12, 所以 bn=-16+12(n-1)=12n-28. 所以数列{bn}的前 n 项和 n?-16+12n-28? Sn= =6n2-22n. 2 [再练一题] 1.已知等差数列{an}的公差 d=1,前 n 项和为 Sn. (1)若 1,a1,a3 成等比数列,求 a1; (2)若 S5>a1a9,求 a1 的取值范围. 2 【解】 (1)因为数列{an}的公差 d=1,且 1,a1,a3 成等比数列,所以 a1 = 1×(a1+2), 精品 即 a2 1-a1-2=0,解得 a1=-1 或 a1=2. (2)因为数列{an}的公差 d=1,且 S5>a1a9, 所以 5a1+10>a2 1+8a1, 即 a2 1+3a1-10<0,解得-5<a1<2. 数列通项公式的求 法 (1)定义法. 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法, 这种方法适用于已知数 列类型的题目. (2)已知 Sn 求 an. 若已知数列的前 n 项和 Sn 与 an 的关系,求数列{an}的通项 an 可用公式 an= ?S1,?n=1?, ? 求解. ?Sn-Sn-1,?n≥2? (3)由递推公式求数列通项法. ①已知形如“an+1=can+d”的递推公式,一般利用待定系数法把关系式转 化为等比数列求 an. ②已知形如“an+1=pan+pn+1· q”的递推公式,一般转化为 an 用pn为等差数列求 an. ③已知形如“an+1=an+f(n)”的递推公式,可考虑叠加法求 an. ④已知形如“an+1=f(n)· an”的递推公式,则可考虑累乘法求 an. 3 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,n∈N*.已知 a1=1,a2=2,a3 5 =4,且当 n≥2 时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1. (1)求 a4 的值; ? 1 ? (2)证明:?an+1-2an?为等比数列; ? ? an+1 an = n+q,利 pn+1 p (3)求数列{an}的通项公式. 【精彩点拨】 (1)令 n=2,代入条件等式中求 a4;(2)将前 n 项和转化为通 精品 项形式

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