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必修一第2章指数函数










鸟 §2.1.1 指数











要点: (1)根式(2)分数指数幂(3)根式与分数指数幂的转化; (4)有理指数幂; 重点、难点:分数指数幂的意义,根式与分数指数幂之间的相互转化,有理指数幂的运算性质

a m ? a n ? a m?n
1. 初中整数指数幂的运算性质;

( a m ) n ? a mn ( ab) n ? a n b n

(熟记并灵活运动)

(一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念 一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根(n th root) ,其中 n >1,且 n ∈ N .
n
*

①当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数.此时,a 的 n 次方根用符号 n a 表 示. 式子 n a 叫做根式(radical) ,这里 n 叫做根指数(radical exponent) , a 叫做被开方数(radicand) . ②当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表 示,负的 n 次方根用符号- n a 表示.正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并成± n a ( a >0) . 由此可得:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 . 思考:
n

a n = a 一定成立吗?.

结论:当 n 是奇数时, n a n ? a 当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定: (熟记并灵活运用)

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)

a ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)
a
? m n

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

特别的:0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.有 理 指 数 幂的运算性质 ( 1) a · a ? a
r r r ?s

(a ? 0, r , s ? Q) ;

(2) (a ) ? a
r s

rs

(a ? 0, r , s ? Q) ;

(3) (ab) ? a a
r r

s

(a ? 0, b ? 0, r ? Q) .

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§2.1.2 指数函数及其性质
重点、难点:指数函数的的概念和性质、数形结合 (一)指数函数的概念 一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R.
1 指数函数的定义是一个形式定义, 注意:○ ; 2 注意指数函数的底数的取值范围,分析底数为什么不能是负数、零和 1. ○ (二)指数函数的图象和性质 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象: (考点:比较大小)

(1) y ? ( ) (2) y ? ( )
x

1 3

1 2

x

(3) y ? 2 x (4) y ? 3x 2.指数函数的性质: 图象特征 函数性质

a ?1

0 ? a ?1

a ?1

0 ? a ?1
非奇非偶函数

向 x、y 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右看, 图象逐渐上升 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 图象上升趋势是越 来越陡 自左向右看, 图象逐渐下降 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1 图象上升趋势是越 来越缓

函数的定义域为 R 函数的值域为 R+

a0 ? 1
增函数 减函数

x ? 0, a x ? 1 x ? 0, a x ? 1
函数值开始增长较 慢,到了某一值后 增长速度极快;

x ? 0, a x ? 1 x ? 0, a x ? 1
函数值开始减小极 快,到了某一值后 减小速度较慢;

利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上, f (x) ? a (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ;
x

(2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f (x) ? a (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ;
x

(4)当 a ? 1 时,若 x1 ? x 2 ,则 f (x 1 ) ? f ( x 2 ) ;

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指数函数考点逐一剖析











1.比较大小 例1 已知函数 f ( x) ? x ? bx ? c 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且 f (0) ? 3 ,则 f (b ) 与 f (c ) 的大小关系是_____.
2 x x x

x f( 3 ≥ ) f

( ,即 2 ) f (c x ) ≥ f (b x ) .

2.求解有关指数不等式 例2 已知 (a ? 2a ? 5)
2 3x

?1 ? ? ∞ ? . 凑成底数相同的指数式, ? (a2 ? 2a ? 5)1? x ,则 x 的取值范围是___________. ? , ?4 ?

3.求定义域及值域问题 例3 求函数 y ? 1 ? 6x ?2 的定义域和值域.

1? .注:利用指数函数的单调性求值域时,要注意定义域对它的影响. ?0,

4.最值问题 例4 函数 y ? a
2x

, 上有最大值 14,则 a 的值是_______. ? 2a x ? 1(a ? 0且a ? 1) 在区间 [?11]

a 的值是 3 或

1 . 注:换元法,整体代入等. 3

5.解指数方程(复合函数) 例5 解方程 3
x?2

? 32? x ? 80 .

x?2.

注:解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要注意验根.

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例6






x


x


) .









6.图象变换及应用问题 为了得到函数 y ? 9 ? 3 ? 5 的图象,可以把函数 y ? 3 的图象(

A.向左平移 9 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度 B.向右平移 9 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度 C.向左平移 2 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度 D.向右平移 2 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度 练习 1、比较下列各组数的大小: (C) .

(1)若

,比较





(2)若

,比较





(3)若

,比较





(4)若

,且

,比较 a 与 b;

(5)若

,且

,比较 a 与 b.

2 曲线

分别是指数函数

,



的图象,则

与 1 的大小关系是 (

).

(

1

3 下列函数的定义域与值域.(1)y=2 x ?3 ;

(2)y=4x+2x+1+1.

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x+1 x











4. 已知-1≤x≤2,求函数 f(x)=3+2·3 -9 的最大值和最小值

5、设

,求函数

的最大值和最小值.

6.已知函数

y ? a 2 x ? 2a x ? 1(a ? 1) 在区间[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.

a=3 (a= -5 舍去)

7.已知函数





)(1)求

的最小值;

(2)若

,求

的取值范围.

8(10分) (1)已知

f ( x) ?

2 ? m 是奇函数,求常数m的值;(2)画出函数 y ?| 3 x ? 1 | 的图象,并利用图象回答:k为何 3 ?1
x

X 值时,方程|3 -1|=k无解?有一解?有两解?

9.若函数

是奇函数,求

?1? 的值.求函数 y= ? ? ?3?

x 2 ?3 x ? 2

的单调区间.

10. 已知 9 -10.3 +9≤0,求函数 y=(

x

x

1 4

) -4· (

x-1

1 2

) +2 的最大值和最小值

x

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的值域.求函数 y ? 2
? x 2 ?2 x?2











11.已知

,求函数

的定义域,值域和单调区间

12

a x ?1 已知函数 f(x)= x a ?1

(a>0 且 a≠1).(1)求 f(x)的定义域和值域;(2)讨论 f(x)的奇偶性;(3)讨论 f(x)的单调性.

13、已知函数 f(x)=a-

2 (a∈R),求证:①对任何 a∈R,f(x)为增函数.②若 f(x)为奇函数时,求 a 的值。 2 ?1
x

14、定义在 R 上的奇函数 f ( x) 有最小正周期为 2,且 x ? (0,1) 时, f ( x) ?

(1)求 f ( x) 在[-1,1]上的解析式; (2)判断 f ( x) 4 x ?1 在(0,1)上的单调性; (3)当 ? 为何值时,方程 f ( x) = ? 在 x ? [?1,1] 上有实数解.

2x

15、

函数 y=a

|x|

(a>1)的图像是(

)

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