tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
当前位置:首页 >> 数学 >>

三角函数诱导公式课件_图文

景县梁集中学数学组 张国营

一、复习引入
1、正弦函数,余弦函数的定义: 设角α的终边与单位圆交于点P(x,y)

y 则 sin ? ? y, cos ? ? x, tan ? ? x
2、终边相同的角的三角函数值有什么关系?

公式一:
sin(2k? ? ? ) ? sin ? cos(2k? ? ? ) ? cos? tan(2k? ? ? ) ? tan?

(k ? z )

公式一的用途: 公式一把求任意角的三角函数值转化为求

[0,2? )范围的角的三角函数值问题。我们对
[0, ) 范围内角的三角函数值很熟悉。 若把 [0,2? ) 2

?

内角的三角函数值转化为[0, )的三角函数值,那么 2 任意角的三角函数值就可以求出,这就是我们
这节课要解决的问题。

?

二、探究新知
1.对于任何一个[0,2? ) 有四种可能:
内的角 ? ,其中 ? ? [0,
? 2 ? ? ? ? ? ,当? ? [ ? , ? ) ? ?? 2 ? 3? ? ? ? ? ? ,当? ? [? , ) 2 3? 2? ? ? ,当? ? [ ,2? ) 2 ? ? ?, 因此我们只需研究 ? ? ? ,

?
2

? ,当? ? [0, )

?

)

与? 的三角函数关系。

2? ? ?

2.角α 与

? ? ?的三角函数的关系。

观察单位圆,回答下列问题:

① 角? 与角? ?? 的终边有怎样的对称关系? ② 角? 与角? ?? 的终边与单位圆的交点P,P1
之间有怎样的对称关系? ③ P与P1的坐标有怎样的关系?

① 角? 与角? ?? 的终边 关于原点对称。 ② 角? 与角? ?? 的终边与单位圆的交点P,P1
关于原点对称。 ③ P与P1的纵坐标 、横坐标都互为相反数。

设p( x, y ), 则p1 (? x,? y ),由三角函数的定义得 y sin ? ? y, cos ? ? x, tan ? ? x y sin(? ? ? ) ? ? y, cos(? ? ? ) ? ? x, tan(? ? ? ) ? x

公式二: sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos? tan( ? ? ? ) ? tan?

3.角 ? 与 ? ? , 的三角函数的关系。 观察单位圆,让角 ? 的终边绕单位圆一周,回答问题。 ① 角? 的终边与 ? ? 的终边有怎样的对称关系?

② 角? 的终边、 ? ?的终边与单位圆交点P与P1有 怎样的对称关系?
③ P与P1的坐标又怎样的关系?

① 角? 的终边与 ? ? 的终边关于x轴对称。

② 角? 的终边、 ? ?的终边与单位圆交点
P与p1关于x轴对称
③ P与P1的横坐标相等,纵坐标互为相反数。

公式三 sin(?? ) ? ? sin ?
cos(?? ) ? cos?

tan(?? ) ? ? tan?

因为角? ?与2k? ? ?的终边相同, 故其同名三角函数值也 相等, 即 sin(2k? ? ? ) ? sin(?? ) ? ? sin ? cos(2k? ? ? ) ? cos(?? ) ? cos? t an(2k? ? ? ) ? t an(?? ) ? ? t an?

4. ?与? ? ? 的三角函数值之间有什么关系?

? ?? 的终边与单 设角? 的终边与单位圆交于点P,
位圆交于P1,当 ? 为任意角时: ① 角? 的终边与? ?? 的终边有怎样的对称关系?
② P与P1的坐标有什么对称关系?你能写出它们的 坐标吗?



角? 的终边与? ??的终边关于y轴对称。



P与P1关于y轴对称,P与P1 的横坐标互为相反数,纵坐标相等。

公式四:

sin(? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos?
tan( ? ? ? ) ? ? tan?

公式一

(k ? z )

sin(? ? ? ) ? ? sin ?

sin(2k? ? ? ) ? sin ? cos(2k? ? ? ) ? cos? tan(2k? ? ? ) ? tan?

补: tan(?? ) ? ? tan? sin(2k? ? ? ) ? ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos(2k? ? ? ) ? cos? 公式四 cos(? ? ? ) ? ? cos? tan(2k? ? ? ) ? ? tan?

公式二 cos(? ? ? ) ? ? cos? tan( ? ? ? ) ? tan? cos(?? ) ? cos? 公式三 sin(?? ) ? ? sin ?

tan( ? ? ? ) ? ? tan?

总结:
2k? ? ? (k ? Z ),?? , ? ? ?的三角函数, 等于?的 同名函数值, 前面加上一个把 ?看成锐角时 原函数值的符号 。

三、应用
例 1 求下列各角的三角函数值。

7? (1) sin( ? ) 4 31? ) (3)cos( ? 6

2? (2) cos 3

? 7? 7? ? ? 2 ? ? sin( 2? ? )? ?(? sin ) ? sin ? 解 : (1) sin( ? ) ? ? sin 4 4 4 4 4 2

? 1 2? ? (2) cos ? cos( ? ? ) ? ? cos ? ? 3 2 3 3
31? 31? ? (3) cos( ? ) ? cos ? cos( 4? ? ? ? ) 6 6 6 ? ? cos( ? ? ) ? ? cos ? ? ? 3 6 6 2

方法总结:
由诱导公式可将任意的三角函数化为锐角三角函数, 一般步骤如下:

(1)化负角的三角函数为正角的三角函数。
? 360 (2)化为 0 ~ 的三角函数。
?

(3)化为锐角的三角函数。 概括为:“负化正,正化小,化到锐角就终了。” 用框图表示为:

用公式一

任意角的三角函数
或公式三

任意正角的三角函数
公式一 用公式二

锐角三角函数
或公式四

0 ~2? 的角的三角函数

cos(1800 ? ? ) ? sin(? ? 3600 ) 例2: 化简 sin(?? ? 1800 ) ? cos(?? ? 1800 )
0 sin( ? ? 360 ) ? sin ? 解: cos(180 ? ? ) ? ? cos?

0

? cos(1800 ? ? ) ? ? cos? ? cos? ? sin ? ?1 所以原式= sin ? ? (? cos ? )

0 ? sin(?? ?180 ) ? sin[ (180 ? ? )] ? ? sin(1800 ? ? ) ? ?(? sin ? ) ? sin ? cos(?? ? 1800 ) ? cos[?(1800 ? ? )]

0

四、课堂练习
4 4 13 1.(1) cos ? ? cos( ? ? ? ) ? ? cos ? 9 9 9 (2) sin(1 ? ? ) ? ? sin 1
(3) sin( ? ) ? ? sin 5 5
(4) cos(?70060' ) ? cos 700 6'

?

?

2.利用公式求下列三角函数值:
1 (1) cos(?420 )? cos 420 ? cos(360 ? 60 ) ? cos 60 ? 2 7 7 ? ? 1 1 (2) sin( ? ? ) ? ? sin ? ? ? sin(? ? ) ? ?(? sin ) ? ?(? ) ? 6 6 6 2 2 6
0

0

0

0

0

0 0 ? ? sin( 4 ? 360 ? 140 ) (3) sin(?1300 ) ? ? sin 1300
0

0

? ?(? sin 1400 ) ? sin 1400? sin(1800 ? 400 ) ? sin 400
79 ? cos(12? ? 7 ? ) ? cos 7 ? 79 (4) cos( ? ? ) ? cos ? 6 6 6 6 ? ? 3 ? cos( ? ? ) ? ? cos ? ? 6 6 2

3.化简 (1) sin(? ? 180 ) cos(?? ) sin(?? ? 180 )
0 0

? (? sin ? ) cos? (? sin(1800 ? ? ) ? (? sin ? ) cos? (?(? sin ? ))
? ? sin ? cos?
2

(2) sin 3 (?? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ? ? ) ? (? sin ? )3 cos? (? tan( ? ? ? ))
? ? sin ? cos? (? tan? )? sin ? cos? tan?
3
3

? sin 4 ?

五、课堂小结
1.

2k? ? ? (k ? Z ),?? , ? ? ?的三角函数, 等于?的同名函数值 , 前面加上一个把 ?看成锐角时原函数值的 符号。

2.

用公式一 任意角的三角函数 任意正角的三角函数 或公式三

公式一
锐角三角函数 用公式二

或公式四

0 ~2? 的角的三角函数

六、布置作业

课本习题1.3 A组1题2题


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com