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【2013备考各地试题解析分类汇编(二)理科数学:6平面向量 ]


各地解析分类汇编(二)系列: 平面向量
1.【云南省玉溪一中 2013 届高三第五次月考理】已知 | a |? 6 , | b |? 3 , a ? b ? ?12 ,则向 量 a 在向量 b 方向上的投影是( A.-4 【答案】A 【 解 析 】 cos ? a, b ?? B.4 ) C.-2 D.2

ab a b

?

?12 2 ?? , 向 量 a 在 向 量 b 方 向 上 的 投 影 为 6?3 3

2.【云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考(三)理】如图,在等腰直角 ?ABO 中,设

2 a cos ? a, b ?? 6 ? (? ) ? ?4 ,选 A. 3

OA ? a, OB ? b , OA ? OB ? 1, C 为 AB 上靠近点 A 的四等分点,过 C 作 AB 的垂线 l ,
设 P 为垂线上任一点, OP ? p, 则 p ? (b ? a) ?

A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D .

3 2

【答案】A 【 解 析 】 由 题 意 知 AC ?

1 AB , OP ? OA ? AC ? CP , 所 以 p (b ? a) ? OP AB , 即 4

(OA ? AC ? CP) AB ? OA AB ? AC AB ? CP AB 2 1 ? O A A B? A C A B ? OA A cB os ? O , A A ?B ? AB 4 1 1 2 1 1 1 ? 2 ? c o s 1 3 5? ? ( 2 2 )? 2 ? ? ( ? ) ?? 1 ? ?, ?所以 p (b ? a ) ? ? 选 2 4 2 2 2 2
A. 3.【山东省诸城市 2013 届高三 12 月月考理】已知 a 、b 、c 是共起点的向量, a 、b 不共线, 且存在 m,n∈R 使 c ? ma ? nb 成立,若 a 、 b 、 c 的终点共线,则必有

A.m+n=0 【答案】C

B.m-n= 1

C.m+n =1

D.m+ n=-1

【解析】设 OA ? a, OB ? b, OC ? c ,因为 a 、 b 、 c 的终点共线,所以设 AC ? ? AB ,即

OC ? OA ? ?(OB ? OA) ,所以 OC ? (1 ? ? )OA ? ?OB ,即 c ? (1 ? ?)a ? ?b ,又
?1 ? ? ? m ,所以 m ? n ? 1 ,选 C. c ? ma ? nb ,所以 ? ?? ? n
4.【山东省诸城市 2013 届高三 12 月月考 理】若向量 a ? ( x ?1, 2), b ? (4, y) 相互垂直,则

9 x ? 3 y 的最小值为
A.6 【答案】A B.2 3 C.3 2 D.12

x ? 1? ) y2 ? 【 解 析 】 因 为 a?b , 所 以 a b?0 , 即 4 (
y 2 ? x 9 x ? 3y ? 2 3 x ? 3y ? 2 2 3 x ? 3 ? 2 3 y

0 所 以 2x ? y ? 2 。 则 ,

?

2

32 x ? 3y , 2x ? y ? 1 取等号,所 2 ,当且仅当 3 ? 6

以最小值为 6,选 A. 5.【北大附中河南分校 2013 届高三第四次月考数学(理) 】 ?ABC 的外接圆圆心为 O ,半径为 2 , OA ? AB ? AC ? 0 , 且

OA ? AB


, CA在CB 方 向 上 的 投 影 为 )

A. ? 3 【答案】C

B. ? 3

C.

3

D. 3

【解析】由 OA ? AB ? AC ? 0 得 OB ? ? AC ? CA ,所以四边形 OBAC 为平行四边形。又

OA ? AB ,所以三角形 OAB 为正三角形,因为外接圆的半径为 2,所以四边形为边长
为 2 的菱形。所以 ?ACB ? C.

?
6

,所以 CA 在 CB 的投影为 CA cos

?
6

? 2?

3 ? 3 ,选 2

6.【北京市东城区 2013 届高三上学期期末理】若 a ,b 是两个非零向量,则“ a ? b ? a ? b ” 是“ a ? b ”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 【答案】C (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
2 2 2 2

【解析】a ? b ? a ? b 两边平方得 a ? 2a b ? b ? a ? 2a b ? b , 即a b ? 0 , 所以 a ? b , 所以“ a ? b ? a ? b ”是“ a ? b ”的充要条件选 C. 7. 【北京市丰台区 2013 届高三上学期期末理】 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 A(1,0), B (0,1) ,

?AOC ? 点 C 在第二象限内,
(A) 【答案】D 【 解 析 】 因 为 ?A O C?

5? , 且|OC|=2, 若O C ?O A ? 6
(C)

O B ??

? 的值是 , 则? , (
(D) ? 3 ,1



3 ,1

(B) 1, 3

-1, 3

5? 5? 5? ? ? ? ? 。则 , 所 以 ? OA, OC ?? 。 ? OC , OB ?? 6 6 6 2 3 5? OC OA ? (? , ? ) (1, 0) ? OC OA cos , 即 OC ? ? OA ? ? OB ?( ?, ?) 。 6

??2

3 ?( ? 2

) 。 OC ? OB 3 ? ? (? , ? ) (0,1) ? OC OB cos

?
3

,即 ? ? 2 ?

1 ? 1 ,所以 2

? ? ? 3, ? ? 1,选 D.
8. 【北京市海淀区 2013 届高三上学期期末理】 向量 a ? (3,4), b ? ( x,2) , 若 a ? b ?| a | ,则实数 x 的值为 A. ?1 【答案】A 【解析】由 a ? b ?| a | 得 3x ? 4 ? 2 ? 32 ? 42 ? 5 ,即 3x ? 8 ? 5 ,解得 x ? ?1 ,选 A. 9.【北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理】△ ABC 外接圆的半径为1 ,圆心为 B. ?

1 2

C. ?

1 3

D. 1

O ,且 2OA ? AB ? AC ? 0 , | OA |?| AB | ,则 CA ? CB 等于

(A) 【答案】C

3 2

(B) 3

(C) 3

(D) 2 3

【 解 析 】 由 2OA ? AB ? AC ? 0 得 OA ? AB ? OA ? AC ? OB ? OC ? 0 , 所 以

OB ? ?OC ? CO , 即 O 时 BC 的中点, 所以 BC 为外接圆的直径, BC ? 2 。 则 ?BAC ? 90 ,
因为 OA ? AB ,所以 ?ABO 为正三角形,所以 ?ABO ? 60 , ?ACB ? 30 ,且 AC ? 3 , 所以 CA CB ? CA CB cos30 ? 2 ? 3 ?

3 ? 3 ,选 C. 2

10,。 【北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理】 AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线,

AB ? (2,4), AC ? (1,3), 则AD ? (
【答案】D

) A. (2, 4) B. (3, 7) C. (1,1) D. (?1, ?1)

【 解 析 】 因 为 A B ?( 2 , 4A ? ) C ,

? C 1 , B3 C ) , A? 所( 以

(A ?B 1? ,

1 ? )即 ,

A D ?

B? ( C 1 ? , ,选 ?1 D. )

11.【贵州省遵义四中 2013 届高三第四次月考理】已知向量 a ? (2,1) ,b ? (1, k ) ,且 a 与 b 的 夹角为锐角,则实数 k 的取值范围是( ) (A) ? ?2, ??? 【答案】B (B) ( ?2, )

r

r

r

r

1 2

1 ( , ?? ) 2

(C) (??, ?2)

(D) (?2, 2)

r r 1 ,此时 a, b 方向相同夹角为 0 ,所以要使 a 与 b 的 2 1 夹角为锐角,则有 a b ? 0 且 a, b 不共线。由 a b ? 2 ? k ? 0 得 k ? ?2 ,且 k ? ,即实数 k 2 1 1 的取值范围是 ( ?2, ) ( , ?? ) ,选 B. 2 2 12. 【山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研理】 已知两点 A(1,0), B(1, 3), O 为坐标原点, 点C
【解析】当 a, b 共线时, 2k ? 1 ? 0 , k ? 在第二象限,且 ?AOC ? 120 ,设 OC ? ?2OA ? ?OB,(? ? R), 则? 等于
?

A. ? 1 【答案】C

B.2

C.1

D. ? 2

【解析】因为 OA ? (1 , 0), OB ? (1, 3) 所以 OA ? 1 , OC ? ?2OA ? ?OB ? (? ? 2,? 3) ,

? OC ? (? ? 2)2 ? (? 3)2 ? 4? 2 ? 4? ? 4 , 因 为 O A O C

OA O co Cs 1 2 , 0 所以

? ? 2 ? 4? 2 ? 4? ? 4 ? (? ) ? 0 ,所以 ? ? 2 。平方解得 ? ? 1 ,选 C.
13.【山东省诸城市 2013 届高三 12 月月考理】已知各项均不为零的数列{an},定义向量

1 2

cn ? (an , an?1 ), bn ? (n, n ?1), n ? N * 。下列命题中真命题是
A.若 ? n∈N 总有 cn ∥ bn 成立,则数列{an}是等差数列
*

B.若 ? n∈N 总有 cn ∥ bn 成立,则数列{an}是等比数列
*

C.若 ? n∈N 总有 cn ⊥ bn 成立,则数列{an}是等差数列
*

D.若 ? n∈N 总有 cn ⊥ bn 成立,则数列{an}是等比数列
*

【答案】A

an?1 n ? 1 an ?1 an ? ? na ? ( n ? 1) a c / / b a n ,所以 an ? na1 , n ? 1 n n ? 1 n n n n 【解析】由 得, ,即 ,所以
故数列

?an ? 是等差数列,选 A。

14.【北大附中河南分校 2013 届高三第四次月考数学(理) 】 向量 a, b 的夹角为 120°,

| a |? 1, | b |? 3, 则 | 5a ? b | =
【答案】7 【解析】 a b ? a b cos120 ? ?



3 ,所以 2

2 2 2 3 5a ? b ? 25a ? 10a b ? b ? 25 ? 10 ? (? ) ? 9 ? 49 ,所以 5a ? b ? 7 。 2

15. 【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理】 在 Rt?ABC 中,?C ? 90 ,AC ? 4, BC ? 2 ,

?

D 是 BC 的中点,那么 ( AB ? AC) ? AD ? ____________;若 E 是 AB 的中点, P 是 ?ABC
( 包 括 边 界 ) 内 任 一 点 . 则 A D ?

uu u r uuu r

uuu r

u u ur

u u r E的 P 取 值 范 围 是 ___________.

【答案】2; [?9,9]

CD ? 【解析】 ( AB ? AC ) ? AD ? CB g( AC ? CD) ? CB g

uu u r uuu r

uuu r

uur uuu r

uuu r

uur uuu r

1 uur 2 1 2 CB ? ? 2 ? 2 . 2 2

将 直 角 三 角 形 放 入 直 角 坐 标 系 中 , 则 A(0, 4), B(2,0), E (1, 2), D(1,0) , 设 P( x, y) , 则

uuu r uur 1 7?z ,做直线 AD? EP?(1, ? 4) g (x? 1,y? 2) ? x? 4 y ?,令 7 z ? x ? 4 y ? 7 ,则 y ? x ? 4 4 1 1 1 7?z y ? x ,平移直线 y ? x ,由图象可知当直线 y ? x ? 经过点 A 时,直线的截距最 4 4 4 4
大,但此时 z 最小,当直线 经过点 B 时,直线的截距最小,此时 z 最大。即 z 的最下值为

uuu r uur uuu r uur z ? ?4 ? 4 ? 7 ? ?9 ,最大值为 z ? 2 ? 7 ? 9 ,即 ?9 ? AD ? EP ? 9 。 AD ? EP 的取值范围是

[?9,9] 。
16. 【北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末理】在直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90? ,

AC ? BC ? 2 ,点 P 是斜边 AB 上的一个三等分点,则 CP ? CB ? CP ? CA ?
【答案】 4



【解析】

,由题意知三角形为等腰直角三角形。因为 P 是斜边

1 1 AB ,所以 CP ? CA? AP ? CA? AB ,所以 3 3 2 1 1 8 CP CA? CA ? AB CA ? 4 ? ?2 2 ?2 cos135 ? , 3 3 3 1 1 4 CP CB ? CA CB ? AB CB ? ? 2 2 ? 2 cos 45 ? , 所 以 3 3 3
AB 上的一个三等分点,所以 AP ?

8 4 CP ? CB ? CP ? CA ? ? ? 4 。 3 3
17.【北京市通州区 2013 届高三上学期期末理】在边长为 1 的等边 ?ABC 中, D 为 BC 边上 一动点,则 AB ? AD 的取值范围是 【答案】 [ ,1] 【 解 析 】 因 为 D 在 BC 上 , 所 以 设 BD ? x,0 ? x ? 1 , 则 B D? x B C 。所以 .

1 2

1 ?A B 1 ? BD ? c o s 1x 2 0 ? 1, ? 因为 0 ?xx ? 1 , 所以 2 1 1 1 ? 1 ? x ? 1 ,即 AB ? AD 的取值范围数 [ ,1] 。 2 2 2 A B? A D ? A( B ? A? B )B D ?
2

A? B

18. 【北京市西城区 2013 届高三上学期期末理】 已知向量 a ? (1,3) ,b ? (?2,1) ,c ? (3, 2) . 若向量 c 与向量 ka ? b 共线,则实数 k ? _____. 【答案】 k ? ?1 【 解 析 】 k a? b ? k 因 为 向 量 c 与 向 量 ka ? b 共 线 , 所 以 (1, 3)+( ?, 2 1) ? k ( ? 2,k3? , 1)

k ? ?1 。 ,解得 2(k ? 2)? 3(3 k ? 1) = 0
MN 19. 【贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考理】 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2 ,
是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦) , P 为正方体表面上 的动点,当弦 MN 的长度最大时, PM ? PN 的取值范围是 【答案】 [0, 2] 【解析】因为 MN 是它的内切球的一条弦,所以当弦 MN 经过球心时,弦 MN 的长度最大, .

此时 MN ? 2 .以 A ' 为原点建立空间直角坐标系如图.

根据直径

, 2), N (1,1, 0) , 的任意性,不妨设 M , N 分别是上下底面的中心,则两点的空间坐标为 M (1,1
设坐标为 P( x, y, z ) ,则 PM ? (1 ? x,1 ? y, 2 ? z) , PN ? (1 ? x,1 ? y, ? z) ,所以

PM PN ? (1 ? x)2 ? (1 ? y)2 ? z(2 ? z) ,即 PM PN ? ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? ( z ?1)2 ?1 .因为
点 P 为正方体表面上的动点, , 所以根据 x, y, z 的对称性可知,PM PN 的取值范围与点 P 在 哪个面上无关,不妨设,点 P 在底面 A ' B ' C ' D ' 内,此时有 0 ? x ? 2,0 ? y ? 2, z ? 0 ,所以 此时 PM PN ? ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? ( z ?1)2 ?1 ? ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ,,所以当 x ? y ? 1 时,

PM PN ? 0 ,此时 PM PN 最小,当但 P 位于正方形的四个顶点时, PM PN 最大,此时
有 PM PN ? ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 ,所以 PM PN 的最大值为 2. ,所以 0 ? PM PN ? 2 ,

即 PM PN 的取值范围是 [0, 2] . 20.【山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研理】已知把向量 a ? (1,1) 向右平移两个单位,再 向下平移一个单位得到向量 b ,则 b 的坐标为

, 【答案】 (11)
【解析】因为向量 b ? a ,所以 b ? (1,1) 。 21. 【山东省师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月理】 已知 ?ABC 中 AC ? 4, AB ? 2 错

误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,若 G 为 ?ABC 的重心,则 AG ? BC ? 错 误!未找到引用源。
【答案】4



【解析】

, 设 BC 的中点为 D, 因为 G 为 ?ABC 的重心,所以

2 2 1 1 AD ? ? ( AB ? AC ) ? ( AB ? AC ) , BC ? AC ? AB , 所 3 3 2 3 2 2 2 1 1 1 AG ? AD BC ? ( AB ? AC ) ( AB ? AC ) ? ( AB ? AC ) ? (42 ? 22 ) ? 4 。 3 3 3 3 AG ?



22. 【 山 东 省 枣 庄 三 中 2013 届 高 三 上 学 期 1 月 阶 段 测 试 理 】 已 知
0 OB 0 点,C 在 ?AOB 内, ?AOC ? 45 , OA ? 1, O B? 2 , O A ?

设 OC ? mOA ? nOB,(m, n ? R), 则 【答案】 2

m ? _______. n

【解析】因为 OA OB ? 0, 所以向量 OA ? OB ,将 OA, OB 放在平面直角坐标系中,如图

, 因 为 OA ? 1, OB ?

2, 所 以 A( 1 , 0B ),

因 ( 0 , 。2 )为 ,

?AOC ? 450 , 所以点 C 在直线 y ? x 上, 设 C ( x, x ) , 则O 由O C m ? O A n O B? C ? xx (, ) 。
得 ( x, x) ? m(1,0) ? n(0, 2) ,即 ( x, x) ? (m, n 2) ,所以 m ? n 2 ,即

m ? 2。 n

23.【山东省诸城市 2013 届高三 12 月月考理】以下命题:①若 | a ? b |?| a | ? | b | ,则 a ∥ b ; ② a =(-1,1)在 b =(3,4)方向上的投影为

1 ;③若△ABC 中,a=5,b =8,c =7,则 5

BC · CA =20;④若非零向量 a 、 b 满足 | a ? b |?| b | ,则 |2b| ? | a ?2 b| .其中所有真命
题的标号是 【答案】①②④ 【解析】由 | a ? b |?| a | ? | b | cos ? a, b ? ?| a | ? | b | ,所以 cos ? a, b ?? ?1,即 ? a, b ?? 0 或 。

? a, b ?? ? ,所以 a ∥ b ,所以①正确。 a 在 b 方向上的投影为
a cos ? a, b ?? ab b ?
52 ? 82 ? 72 1 ?3 ? 4 1 ? , ? , 所以②正确。cos C ? 即 C ? 60 。 2? 5?8 2 5 5

所以 BC CA ? BC CA cos120 ? 5 ? 8 ? (? ) ? ?20 ,所以③错误。由 | a ? b |?| b | 得,

1 2

a ? 2a b ? 0 ,即 2a b ? ?a ,若 | 2b |?| a ? 2b | ,则有 4b ? a ? 4a b ? 4b ,即

2

2

2

2

2

a ? 4a b ? a ? 2a ? ?a ? 0 ,显然成立,所以④正确。综上真命题的标号为①②④。
24. 【 天 津 市 新 华 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 月 考 理 】 已 知 向 量 a, b 夹 角 为 45? , 且

2

2

2

2

a ? 1, 2a ? b ? 10 ;则 b ? ___
【答案】 3 2

___.

【解析】因为向量 a, b 的夹角为 45 ,所以 a b ? a b cos 45 ? 即 4a ? 4a b ? b ? 4 ? 4 ?
2 2

2 2 b ,所以 2a ? b ? 10 , 2

2 2 2 b ? b ? 10 ,所以 b ? 2 2 b ?6 ?0 ,解得 b ? 3 2 。 2

25. 【 天 津 市 新 华 中 学

2013

届 高 三 第 三 次 月 考 理 】 .



S?

1 1 1 ? ? ??? ? ,则 S ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)
n 2n ? 1
析 】

【答案】





1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 n ? ) , ? (1 ? )? 。 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2 n ? 1







S?

1 1 1 1 (1 ? ? ? ? 2 3 3 5

?

26.【北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 12 月综合练习(一)理】正三角形 ABC 边长 为 2,设 BC ? 2 BD , AC ? 3 AE ,则 AD ?BE ? _____________. 【答案】 ?2 【 解 析 】 因 为 AD ? AB ? BD ? AB ?

1 1 BC , BE ? AE ? AB ? AC ? AB , 所 以 2 3 1 BC A ?C 2 BC ? AB
2

AD BE ? ( AB ?

1 1 1 1 BC ) ( AC ? AB) ? A B A C ? 2 3 3 6

AB

1 1 1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 2 ? ?2 。 3 2 6 2 2 2

27. 【 天 津 市 新 华 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 月 考 理 】 如 图 , 在 矩 形 A B C D中 ,

AB ? 2 , BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若 AB ? AF ? 2 ,则 AE ? BF 的值
是 .

【答案】 2

【解析】 将矩形放入平面直角坐标系, 如图 为 BC 的 中 点 , 所 以 B(

因为 AB ? 2, BC ? 2 , E

,) D(0, 2), C( 2, 2), E( 2,1) , 设 F ( x, 2) , 则 2 , 0

AF ? ( x, 2) , AB ? ( 2,0) , 所以 AF AB ? ( x, 2) ( 2, 0)?

2x ?

,所以 x ? 1 。所以 2

AE ? ( 2,1) , BF ? ( x ? 2, 2) ? (1 ? 2, 2) ,所以 AE BF ? ( 2,1) (1 ? 2, 2) ? 2 .

28. 【 云 南 省 昆 明 一 中 2013 届 高 三 第 二 次 高 中 新 课 程 双 基 检 测 理 】 已 知 向 量

a ? (1, 2), b ? (?3, 2), 若向量ka ? b与2a ? b 共线,则 k=
【答案】 ?2



【 解 析 】 ka ? b ? (k ? 3, 2k ? 2) , 2a ? b ? (5, 2) , 因 为 k a ? b 与 2a ? b 共 线 , 所 以 有

2(k ? 3) ? 5(2k ? 2) ? 0 ,即 8k ? ?16 ,所以 k ? ?2 。
29.【北京北师特学校 2013 届高三第二次月考 理】(本小题共 13 分)在 ?ABC 所在平面上有 一点 P ,使得 PA ? PB ? PC ? AB ,试判断 P 点的位置. 【答案】解:

PA ? PB ? PC ? AB

? PA ? PC ? AB ? PB ? AB ? BP ? AP
所以 AP 与 PC 共线,即点 A,P,C 共线

? PC ? AP ? PA ? 2 AP

且点 P 位线段 AP 的三等分点。 30. 【 北 京 北 师 特 学 校 2013 届 高 三 第 二 次 月 考 理 】 ( 本 大 题 满 分 14 分 ) 已 知

a ? (1, 2, )b ? (?3,2) ,当 k 为何值时,ka ? b 与 a ? 3 b 平行?平行时它们是同向还是反向?
【答案】解:因为 a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10, ?4) ;

ka ? b ? k (1, 2) ? (?3, 2) ? (k ? 3, 2k ? 2)


(ka ? b) / /(a ? 3b)

??4(k ? 3) ? 10(2k ? 2)

?k ? ? 1 3
这时 ka ? b ? (? 10 , 4 ) ,所以当 k ? ? 1 时, ka ? b 与 a ? 3b 平行,并且是反向的。

3 3

3

31.【山东省诸城市 2013 届高三 12 月月考理】(本小题满分 12 分) 已知 m、x∈R,向量 a ? ( x, ?m), b ? ((m ? 1) x, x) . (1)当 m>0 时,若 | a |?| b | ,求 x 的取值范围; (2)若 a · b >l-m 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围. 【答案】


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