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第1课时向量的概念与几何运算


第 1 课时

向量的概念与几何运算

基础过关 1.向量的有关概念 ⑴ 既有 又有 的量叫向量. 的向量叫零向量. 的向量,叫单位向量. ⑵ 叫平行向量,也叫共线向量.规定零向量与任一向量 . ⑶ 且 的向量叫相等向量. 2.向量的加法与减法 ⑴ 求两个向量的和的运算,叫向量的加法.向量加法按 法则或 法则进行.加法满足 律和 律. ⑵ 求两个向量差的运算,叫向量的减法.作法是将两向量的 重合,连结两向量 的 ,方向指向 . 3.实数与向量的积 ⑴ 实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a .它的长度与方向规定如下: ① | ? a |= . ② 当 ? >0 时, ? a 的方向与 a 的方向 ; 当 ? <0 时, ? a 的方向与 a 的方向 ; 当 ? =0 时, ? a . ⑵ ? (μ a )= . ( ? +μ) a = .
? ( a + b )=

. .

⑶ 共线定理:向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ 使得

4.⑴ 平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平 面内的任一向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使得 .

⑵ 设 e1 、 e2 是一组基底, a = x1 e1 ? y1 e2 , b = x2 e1 ? y2 e2 ,则 a 与 b 共线的充要条件 是 .

典型例题 例 1.已知△ABC 中,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点.设 AB ? a , AC ? b ,求 BE . 解: BE = AE - AB = ( AB + AC )- AB =-
1 4 3 1 a+ b 4 4

变式训练 1.如图所示,D 是△ABC 边 AB 上的中点,则向量 CD 等于( ) A.- BC + BA B.- BC - BA B
-11 2 1 2

A D C

C. BC - BA D. BC + BA 解:A 例 2. 已知向量 a ? 2e1 ? 3e2 , b ? 2e1 ? 3e2 , c ? 2e1 ? 9e2 ,其中 e1 、 e2 不共线,求实数 ? 、 ? ,使
c ? ? a ? ?b .

1 2

1 2

解: c =λ a +μ b ? 2 e1 -9 e 2 =(2λ+2μ) e1 +(-3λ+3μ) e 2 ? 2λ+2μ=2,且-3λ+3μ=-9 ? λ =2,且 μ=-1 变式训练 2:已知平行四边形 ABCD 的对角线相交于 O 点,点 P 为平面上任意一点,求证:
PA ? PB ? PC ? PD ? 4 PO

证明 PA + PC =2 PO , PB + PD =2 PO ? PA + PB + PC + PD =4 PO 例 3. 已知 ABCD 是一个梯形,AB、CD 是梯形的两底边,且 AB=2CD,M、N 分别是 DC 和 AB 的中点,若 AB ? a , AD ? b ,试用 a 、 b 表示 BC 和 MN . 解:连 NC,则 NC ? AD ? b MN ? MC ? CN ? AB ? CN ? a ? b ; BC ? NC ? NB ? b ? a 变式训练 3: 如图所示, OADB 是以向量 OA = a ,OB = b 为邻边的平行四边形, 又 BM =
CN =

1 4

1 4

1 2

1 BC , 3

1 CD ,试用 a 、 b 表示 OM , ON , MN . 3

B M O C N A

1 5 2 2 解: OM = a + b , ON = a + b , 6 6 3 3 1 1 MN = a - b 2 6

D

例 4. 设 a , b 是两个不共线向量,若 a 与 b 起点相同,t∈R,t 为何值时, a ,t b , ( a + b ) 三向量的终点在一条直线上? 解:设 a ? t b ? ? [ a ? (a ? b) ] ( ? ∈R)化简整理得: ( ? ? 1)a ? (t ? ? )b ? 0
3 ?2 ? ? 3 ? ?1 ? 0 ? ?? ? 2 ? ∵ a 与 b 不共线 ,∴ ? ?? ?t ? ? ? 0 ?t ? 1 ? ? ? 2 ? 3
1 3 2 3 1 3

1 3

故t ?

1 1 时, a, t b, (a ? b) 三向量的向量的终点在一直线上. 2 3

变式训练 4:已知 OA ? a, OB ? b, OC ? c, OD ? d , OE ? e ,设 t ? R ,如果 3a ? c, 2b ? d ,

e ? t (a ? b) ,那么 t 为何值时, C, D, E 三点在一条直线上?
解:由题设知, CD ? d ? c ? 2b ? 3a, CE ? e ? c ? (t ? 3)a ? tb , C, D, E 三点在一条 直线上的充要条件是存在实数 k ,使得 CE ? kCD ,即 (t ? 3)a ? tb ? ?3ka ? 2kb ,

-2-

整理得 (t ? 3 ? 3k )a ? (2k ? t )b . ①若 a, b 共线,则 t 可为任意实数; ②若 a, b 不共线,则有 ?

?t ? 3 ? 3k ? 0 6 ,解之得, t ? . 5 ? t ? 2k ? 0
6 . 5

综上, a, b 共线时,则 t 可为任意实数; a, b 不共线时, t ?

小结归纳 1.认识向量的几何特性.对于向量问题一定要结合图形进行研究.向量方法可以解决几何中 的证明. 2.注意 O 与 O 的区别.零向量与任一向量平行. 3.注意平行向量与平行线段的区别.用向量方法证明 AB∥CD,需证 AB ∥ CD ,且 AB 与 CD 不共线.要证 A、B、C 三点共线,则证 AB ∥ AC 即可. 4.向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则,特点:首尾相接首尾连; 向量减法的三角形法则特点:首首相接连终点.

-3-


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