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2012年高三理科数学第一轮复习概率与统计(3)条件概率与事件的独立性


2012 年高三理科数学第一轮复习概率与统计(3)条件概率与事件的独立性 考纲要求 1、掌握条件概率的求法 2、掌握相互独立事件的概率的求法 3、掌握独立重复试验的模型及其二项分布 命题规律 高考中常以选择题或大题的形式出现。 考点解读 考点 1 条件概率的计算 互斥事件、条件概率等知识往往一起考查,解决条件概率问题的关键,首先是能够正确 判断出是条件概率问题,其次是使用条件概率的计算公式进行运算。 考点 2 相互独立事件的概率的求法 一般情况下, 一些较为复杂的事件可以拆分为一些相对简单事件的和或积, 这样就可以 利用概率公式转化为互斥事件和独立事件的组合,为解决问题找到新的途径。 考点 3 独立重复试验与二项分布 独立重复试验具备以下两个特点:1、在相同的条件下对一个试验重复多次;2、每次试 验是相互独立的。 解题时首先要弄清“一次试验”指的什么, 其次计算时要注意分清 p 和 1 ? p 。
k 二项分布 ? ~ B(n, p) ,其中 P(? ? k ) ? Cn pk (1 ? p)n?k ( k ? 0,1, 2,?, n )

考点突破 考点 1 条件概率的计算 典例 1 从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数, 事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”, 事件 B=“取 到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)等于( A. 1 8 B. 1 4 C. 2 5 ). D. P?AB? 计算. P?A? 1 2

解题思路 利用条件概率的计算公式 P(B|A)=

C2+C2 4 2 C2 1 3 2 2 解题过程 解:P(A)= = = ,P(A∩B)= 2= . C2 10 5 C5 10 5 1 P?A∩B? 10 1 由条件概率计算公式,得 P(B|A)= = = . P?A? 4 4 10 易错点拨 (1)利用定义,分别求 P(A)和 P(AB),得 P(B|A)= 方法. (2)借助古典概型概率公式,先求事件 A 包含的基本事件数 n(A),再求事件 A 与事件 B 的交 n?AB? 事件中包含的基本事件数,即 n(AB),得 P(B|A)= . n?A? P?AB? .这是通用的求条件概率的 P?A?

变式 1 如图,EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到 该圆内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”,B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影 部分)内”,则(1)P(A)=________;(2)P(B|A)=________.

点拨

π 圆的面积是 π,正方形的面积是 2,扇形的面积是 ,根据几何概型的概率计算公式 4

1 2 2 P?AB? π 1 得 P(A)= ,根据条件概率的公式得 P(B|A)= = = . π P?A? 2 4 π 答案 2 1 π 4

考点 2 相互独立事件的概率的求法 典例 1 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买 甲种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立. (1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率; (2)求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. 解题思路 准确把握“至少”与“恰”等字眼的意义,从而借助于独立事件的的概率知识求解. 解题过程 (1)设“购买甲种保险”事件为 A,“购买乙种保险”事件为 B 由已知条件 P(A)=0.5,P(BA)=0.3, 0.3 ∴P(B)P(A)=0.3,P(B)= =0.6, P?A? 因此,1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率为 1-P( A =1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8. (2)一位车主两种保险都不购买的概率为 P=P( A B )=0.2, 因此 3 位车主中恰有 1 位车主 B )=1-P(A)P(B)

甲、乙两种保险都不购买的概率为 C1× 0.82=0.384. 3 0.2× 易错点拨相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查, 这类问题具有一个明 显的特征,那就是在题目的条件中已经出现一些概率值,解题时先要判断事件的性质(是互 斥还是相互独立),再选择相应的公式计算求解. 变式 1 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛,甲对 A、乙对 B,丙对 C

各一盘.已知甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独 立. (1)求红队至少两名队员获胜的概率; (2)用 ξ 表示红队队员获胜的总盘数,求 ξ 的分布列和数学期望 E(ξ). 点拨 (1)设甲胜 A 的事件为 D,乙胜 B 的事件为 E,丙胜 C 的事件为 F, 则 D , E , F 分别表示甲不胜 A、乙不胜 B、丙不胜 C 的事件. 因为 P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5, 由对立事件的概率公式知 P(D)=0.4,P(E)=0.5,P(F)=0.5. 红队至少两人获胜的事件有:DEF,DEF,DEF,DEF. 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立, 因此红队至少两人获胜的概率为 P = P(DE F ) + P(D E F) + P( D EF) + P(DEF) = 0.6× 0.5× + 0.6× 0.5 0.5× + 0.4× 0.5 0.5× + 0.5 0.6× 0.5× 0.5=0.55. (2)由题意知 ξ 可能的取值为 0,1,2,3. 又由(1)知DEF,DEF,DEF是两两互斥事件,且各盘比赛的结果相互独立,因此 P(ξ=0)= P(DEF)=0.4× 0.5× 0.5=0.1, P(ξ=1)=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF) =0.4× 0.5× 0.5+0.4× 0.5× 0.5+0.6× 0.5× 0.5=0.35, P(ξ=3)=P(DEF)=0.6× 0.5× 0.5=0.15. 由对立事件的概率公式得 P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=0.4. 所以 ξ 的分布列为: ξ P 0 0.1 1 0.35 2 0.4 3 0.15

因此 E(ξ)=0× 0.1+1× 0.35+2× 0.4+3× 0.15=1.6. 答案(1)P=0.55 (2) E(ξ)= 1.6 考点 3 独立重复试验与二项分布 典例 1 一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有 6 个交通岗,假设他在各个交通岗 1 遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是 . 3 (1)设 X 为这名学生在途中遇到红灯的次数,求 X 的分布列; (2)设 Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数,求 Y 的分布列; (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 解题思路 首先判断分布的类型,再根据 X,Y 的取值所对应的事件意义求解.

1 解题思路 (1)将通过每个交通岗看做一次试验,则遇到红灯的概率为 ,且每次试验结果是 3 1 相互独立的,故 X~B?6,3?. ? ? 所以 X 的分布列为 1 ?2 - P(X=k)=Ck ?3?k·3?6 k,k=0,1,2,3,4,5,6. 6 ? ? ? ? (2)由于 Y 表示这名学生在首次停车时经过的路口数,显然 Y 是随机变量,其取值为 0,1,2,3,4,5,6. 其中:{Y=k}(k=0,1,2,3,4,5)表示前 k 个路口没有遇上红灯,但在第 k+1 个路口遇上红灯, 故各概率应按独立事件同时发生计算. 2 1 P(Y=k)=?3?k·(k=0,1,2,3,4,5), ? ? 3 而{Y=6}表示一路没有遇上红灯. 2 故其概率为 P(Y=6)=?3?6, ? ? 因此 Y 的分布列为: Y P 0 1 3 1 12 · 33 2 1 ?2?2 · 3 ?3? 3 1 ?2?3 · 3 ?3?

Y P

4 1 ?2?4 · 3 ?3?

5 1 ?2?5 · 3 ?3?

6

?2?6 ?3?

(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为 {X≥1}={X=1 或 X=2 或…或 X=6}, 所以其概率为 P(X≥1)= ?P(X=k)=1-P(X=0)
k=1 6

2 665 =1-?3?6= . ? ? 729 易错点拨 独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此),就像对立事件是互斥 事件的特例一样,只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单,就像有“至 少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样. 变式 1 某气象站天气预报的准确率为 80%,计算(结果保留到小数点后面第 2 位) (1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率; (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率; (3)5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确的概率.

点拨 设“5 次预报中恰有 2 次准确”为事件 A,“5 次预报中至少有 2 次准确”为事件 B,“5 次预报恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确”为事件 C. 4 4 16 1 (1)P(A)=C2?5?2?1-5?3=10× × ≈0.05. 5 ? ?? ? 25 125 4 4 4 4 (2)P(B)=1-C0?5?0?1-5?5-C1× ?1-5?4≈0.99. 5 5 ? ?? ? ? 5? 4 4 4 (3)P(C)=C1× ?1-5?3× ≈0.02. 4 ? 5 5? 答案 (1)P(A)≈0.05. (2)P(B)≈0.99. (3)P(C)≈0.02.

综合突破 突破 1 概率与实际问题结合考查 典例 1 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训, 以提高下岗人员的再就业能力, 每名 下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的有 60%,参加过计算机培训的有 75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的 选择相互之间没有影响. (1)任选 1 名下岗人员,求该人参加过培训的概率; (2)任选 3 名下岗人员,记 X 为 3 人中参加过培训的人数,求 X 的分布列和期望. 解题过程 (1)任选 1 名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件 A,“该人参加过计算机 培训”为事件 B,由题设知,事件 A 与 B 相互独立,且 P(A)=0.6,P(B)=0.75. 所以,该下岗人员没有参加过培训的概率是 P( A 0.1. ∴该人参加过培训的概率为 1-0.1=0.9. (2)因为每个人的选择是相互独立的,所以 3 人中参加过培训的人数 X 服从二项分布 X~ B(3,0.9), P(X=k)=Ck 0.9k× 3 k,k=0,1,2,3, 0.1 3 ∴X 的分布列是 X P E(ξ)=np=2.7 变式 1 某次乒乓球比赛的决赛在甲、乙两名选手之间举行,比赛采用五局三胜制,按以往 2 比赛经验,甲胜乙的概率为 . 3 (1)求比赛三局甲获胜的概率; (2)求甲获胜的概率. 0 0.001 1 0.027 2 0.243 3 0.729


B )=P( A )· B )=(1-0.6)(1-0.75)= P(

点拨 记甲 n 局获胜的概率为 Pn,n=3,4,5, (1)比赛三局甲获胜的概率是: 8 3 2 P3=C3?3?3= . ? ? 27 (2)比赛四局甲获胜的概率是: 1 8 2 2 P4=C3?3?3?3?= ; ? ? ? ? 27 比赛五局甲获胜的概率是: 1 16 2 2 P5=C4?3?3?3?2= . ? ? ? ? 81 64 ∴甲获胜的概率是:P3+P4+P5= . 81 8 答案 (1)P= 27 64 (2)P= 81

快乐训练 1、甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两 局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( 3 A. 4 2 B. 3 3 C. 5 1 D. 2 ).

1 2、小王通过英语听力测试的概率是 ,他连续测试 3 次,那么其中恰有 1 次获得通过的概率 3 是( ). 4 A. 9 2 B. 9 C. 4 27 2 D. 27

3、如图,用 K、A1、A2 三类不同的元件连接成一个系统,当 K 正常工作且 A1、A2 至少有一 个正常工作时,系统正常工作,已知 K、A1、A2 正常工作的概率依次为 0.9,0.8,0.8,则系统 正常工作的概率为( ).

A.0.960

B.0.864

C.0.720

D.0.576

4、把一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件 A,“第二次出现正面”为事件 B,则 P(B|A)等于( 1 A. 2 ). 1 B. 4 1 C. 6 1 D. 8

5、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人 选择的项目完全相同的概率是______(结果用最简分数表示). 6、某校要从 2 名男生和 4 名女生中选出 4 人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的志愿

者中,男、女都有的概率为______(结果用数值表示). 7、一个盒子里有 6 只好晶体管,4 只坏晶体管,任取两次,每次取一只,第一次取出后不 放回。若已知第一只是好的,求第二只也是好的的概率。 8、一个口袋里装有 2 个白球和 2 个黑球, (1)先摸出 1 个白球后不放回,再摸出 1 个白球的概率是多少? (2)先摸出 1 个白球后放回,再摸出 1 个白球的概率是多少?

提高训练 1、位于直角坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向 向左或向右,并且向左移动的概率为 点 ?1,0 ? 的概率是( A. ) B.

2 1 ,向右移动的概率为 ,则质点 P 移动五次后位于 3 3

4 243

8 243

C.

40 243
).

D.

80 243

1 2、如果 X~B?15,4?,则使 P(X=k)取最大值的 k 值为( ? ? A.3 B.4 C.3 或 4

D .5

3、 某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中, 选手若能连续正确回答出两个问题, 即停止答题,晋级 下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8 ,且每个问题的回 答结果相互独立,则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于 . 4、若甲以 10 发 8 中,乙以 10 发 6 中,丙以 10 发 7 中的命中率打靶,三 人各射击一次, 三人中只有一人命中的概率是___________. 5、甲乙两地都位于长江下游,根据一百多年的气象记录知道,甲、乙两地一年中雨天所占 的比例分别为 20%和 18%,两地同时下雨的比例为 12% (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是 (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是 6、某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常工作, 则部件正常工作,设三个电子 元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布 N (1000,50 ) ,且 各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为_________
元件1 元件3 元件2

2

7、设在 10 件产品中含有 3 件次品,今依次取出 2 件(每次取出后不放回) ,如果已经知道 取出的第一件产品为次品,求在此条件下取出的第二件产品也是次品的概率。 3 8、某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的概率为 ,且各次射击的结果互不影响. 5 (1)求射手在 3 次射击中,至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答); (2)求射手第 3 次击中目标时,恰好射击了 4 次的概率(用数字作答); (3)设随机变量 ξ 表示射手第 3 次击中目标时已射击的次数,求 ξ 的分布列.

超越训练 1、甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束。假设 在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立,已知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局. (1)求再赛 2 局结束这场比赛的概率 (2)求甲获得这次比赛胜利的概率 2、有两门高射炮,每门高射炮击中敌机的概率均为 0.6. (1)两门高射炮同时射击,求击中敌机的概率 (2)要使击中敌机的概率达到 0.99,至少需要配置这样的高射炮多少门? 3、某会议室用 5 盏照明灯,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同,假定每盏灯能否正常照 明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为 p1,寿命为 2 年以上的概 率为 p2,从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡更换工作,只更换已坏的灯泡,平时不换。 (1)在第一次灯泡更换工作中,求不需要更换灯泡的概率和更换 2 只灯泡的概率 (2)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的概率 (3)当 p1=0.8,p2=0.3 时,求在第二次灯泡更换工作中,至少需要更换 4 只灯泡的概率(结 果保留两个有效数字) 4、 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) A 和 B ,系统 A 和 B 在任意时刻发 生故障的概率分别为

1 和p. 10
49 ,求 p 的值; 50

(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

(Ⅱ)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ? ,求 ? 的概率分 布列及数学期望 E? .


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