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江苏省海州高级中学2015届高三数学(理)自编专题训练:专题三 解析几何(1)


解析几何

卢恒

1、 圆心在曲线 上,且与直线 相切的面积最小的圆方程为 2、设集合 M ?

?? x, y ? | x

2

? y 2 ? 25? , N ?

?? x, y ? | ? x ? a ?

2

? y 2 ? 9 ,若,则实数 a 的取值

?

范围是-2≤a≤2 3、抛物线方程为,直线 的方程为,在抛物线上有一动点到轴的距离为,到直线 的距离为 , 则 的最小值为 -1 4、已知 F1 , F2 分别为双曲线

x2 y2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 的左右焦点,如果双曲线右支上存在 a2 b2

一点 P ,使得 F2 关于直线 PF1 的对称点恰在 y 轴上,则该双曲线的离心率 e 的取值范围为

e?

2 3 3

x2 y 2 2 5、已知椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0)的一个顶点为 A (2,0) ,离心率为 , 直线 a b 2
y=k(x-1)与椭圆 C 交与不同的两点 M,N (Ⅰ)求椭圆 C 的方程 ( Ⅱ ) 当 △ AMN 的 面 积 为

10 3







k





-1-

6、给定椭圆 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,称圆心在坐标原点 O,半径为 a2 ? b2 的圆是椭圆 2 a b

C 的“伴随圆” ,已知椭圆 C 的两个焦点分别是 F1 ? 2, 0 , F2

?

? ?

2, 0 .

?

(1)若椭圆 C 上一动点 M 1 满足 M 1 F1 ? M 1 F2 ? 4 ,求椭圆 C 及其“伴随圆”的方程; (2)在(1)的条件下,过点 P ? 0, t ??t ? 0? 作直线 l 与椭圆 C 只有一个交点,且截椭圆 C 的 “伴随圆”所得弦长为 2 3 ,求 P 点的坐标; (3) 已知 m ? n ? ?

cos ? 3 , mn ? ? ? m ? n,? ? ? 0, ? ? ? ,是否存在 a,b,使椭圆 C 的“伴 sin ? sin ?

2 2 随圆”上的点到过两点 m, m , n, n 的直线的最短距离 d min ?

?

??

?

a 2 ? b 2 ? b .若存在,求出

a,b 的值;若不存在,请说明理由.

-2-

-3-

7、在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线 y ? x 相切于 坐标原点 O .椭圆

x2 y 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10 . a2 9

(1)求圆 C 的方程; (2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q ,使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长.若存在,请求出 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 分析:问题(2)可以转化为探求以右焦点 F 为顶点,半径为 4 的圆(x─4)2+y2=8 与(1)所求的圆 的交点数。 解: (1)设圆心坐标为(m,n)(m<0,n>0),则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8 已知该圆与直线 y=x 相切,那么圆心到该直线的距离等于圆的半径,则

m?n 2

=2 2

即 m ? n =4



又圆与直线切于原点,将点(0,0)代入得 m2+n2=8 ② 联立方程①和②组成方程组解得

?m ? ?2 ? ?n ? 2
故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8 (2) a =5,∴a =25,则椭圆的方程为
2

x

2

25

+

y
9

2

=1

其焦距 c= 25 ? 9 =4,右焦点为(4,0),那么 OF =4。 要探求是否存在异于原点的点 Q, 使得该点到右焦点 F 的距离等于 OF 的长度 4, 我们可以转 化为探求以右焦点 F 为顶点,半径为 4 的圆(x─4)2+y2=8 与(1)所求的圆的交点数。

12 4 ,y= 5 5 4 12 即存在异于原点的点 Q( , ),使得该点到右焦点 F 的距离等于 OF 的长。 5 5
通过联立两圆的方程解得 x=

-4-


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