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高中新课程数学(新课标人教B版)必修一2.4.2《求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》课件2


2.4.1求函数零点近似解的一种计算方法 ——二分法 课件

复习:
1、函数的零点的定义:
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
方程f ( x) ? 0有实数根 ? 函数y ? f ( x)的图象与x轴有交点 ? 函数y ? f ( x)有零点

复习:
2、零点存在性判定法则
如果函数 y ? f ( x) 在区间? a, b ?上的图象是连续不断的一条曲线,
并且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 ? a , b ? 内有零点,

即存在 c ? ? a, b ? ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。

探索新授:

问题1.能否求解以下几个方程

(1) x2-2x-1=0

(2) 2x=4-x (3) x3+3x-1=0
指出:用配方法可求得方程x2-2x-1=0的解, 但此法不能运用于解另外两个方程.

问题2.不解方程,如何求方程x2-2x-1=0的 一个正的近似解(精确到0.1)? y y=x2-2x-1 画出y=x2-2x-1的图象(如图) x 由图可知:方程x2-2x-1=0 -1 0 1 2 3 的一个根x1在区间(2,3)内, 另一个根x2在区间(-1,0)内.

结论:借助函数 f(x)= x2-2x-1的图象,我们
发现 f(2)=-1<0, f(3)=2>0,这表明此函数图象 在区间(2, 3)上穿过x轴一次,可得出方程在区 间(2,3)上有惟一解.

问题3.如何描述二分法?
对于在区间[a,b]上连续不断,且f(a) · f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所 在的区间一分为二,使区间的两端点逐步逼近 零点,进而得到零点(或对应方程的根)近似解的 方法叫做二分法.

问题4:二分法实质是什么?
用二分法求方程的近似解,实质上就是通 过“取中点”的方法,运用“逼近”思想逐步 缩小零点所在的区间。

数学运用(应用数学)
例题:利用计算器,求方程2x=4-x的近似解 (精确到0.1) 怎样找到它的解所在的区间呢? 在同一坐标系内画函数 y=2x 与y=4-x的图象(如图) 方程有一个解x0∈(0, 4) 如果画得很准确,可得x0∈(1, 2) 能否不画图确定根所在的区间?

解:设函数 f (x)=2x+x-4 则f (x)在R上是增函数∵f (0)= -3<0, f (2)=2>0 ∴ f (x)在(0,2)内有惟一零点, ∴方程2x+x-4 =0在(0, 2)内有惟一解x0.

由f (1)= -1<0, f (2)=2>0 得:x0∈(1,2)
由f (1.5)= 0.33>0, f (1)=-1<0 得:x0∈(1,1.5) 由f (1.25)= -0.37<0, f (1.5)>0 得:x0∈(1.25,1.5)

由f (1.375)= -0.031<0, f (1.5)>0 得:x0∈(1.375,1.5)
由 f (1.4375)= 0.146>0, f (1.375)<0 得: x0∈(1.375,1.4375) ∵ 1.375与1.4375的近似值都是1.4, ∴x0≈1.4

问题5:能否给出二分法求解方程f(x)=0(或 g(x)=h(x))近似解的基本步骤?

1.利用y=f(x)的图象,或函数赋值法(即验证 f (a)?f(b)<0 ),判断近似解所在的区间(a, b). 2.“二分”解所在的区间,即取区间(a, b) a?b 的中点 ? x
1

2

3.计算f (x1): (1)若f (x1)=0,则x0=x1; (2)若f (a)?f(x1)<0,则令b=x1 (此时x0∈(a, x1)); (3)若f (a)?f(x1)<0,则令a=x1 (此时x0∈(x1,b)).
; ;

4.判断是否达到给定的精确度,若达到,则 得出近似解;若未达到,则重复步骤2~4.

练习1: 求方程x3+3x-1=0的一个近似解(精确到 0.01)
画y=x3+3x-1的图象比较困难, 变形为x3=1-3x,画两个函数的图象如何?

y
1

y=x3

有惟一解x0∈(0,1)
0 1

x
y=1-3x

练习2: 下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分 法求其零点的是 (C )

y
0

y x
0

y x
0

y x
0

x

问题5:根据练习2,请思考利用二分法求函数 零点的条件是什么? 1. 函数y=f (x)在[a,b]上连续不断. 2. y=f (x)满足 f (a) · (b)<0,则在(a,b)内必有零点. f

回顾反思(理解数学)
思考题

从上海到美国旧金山的海底电缆有15 个接点,现在某接点发生故障,需及时修 理,为了尽快断定故障发生点,一般至少 需要检查几个接点? 6
2 3 4 5

1

7 8 9 10
11 12 13 14 15

课堂小结
1.理解二分法是一种求方程近似解的常用 方法. 2.能借助计算机(器)用二分法求方程的近 似解,体会程序化的思想即算法思想. 3.进一步认识数学来源于生活,又应用于 生活. 4.感悟重要的数学思想:等价转化、函数 与方程、数形结合、分类讨论以及无限逼 近的思想.


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