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2017版高考二轮专题击破:专题7-概率与统计-数学(文科)ppt课件(110页)_图文

专题七
第17讲 统计与统计案例

概率与统计

第18讲

概率

核 心 知 识 聚 焦 考 点 考 向 探 究

第17讲

统计与统计案例

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第17讲

统计与统计案例

核 心 知 识 聚 焦

1.[2015?福建卷] 某校高一年级有 900 名学生,其中女 生 400 名.按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学 生中抽取一个容量为 45 的样本,则应抽取的男生人数为 ________.测试要点:分层抽样
[答案] 25

45 [解析] 高一年级男生人数为 500,样本的抽取比例为900 1 1 =20,所以应抽取的男生人数为 500×20=25.
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统计与统计案例

核 心 知 识 聚 焦

2. [2014· 广东卷改编] 为了解 1000 名学生的学习情况, 采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 40 的样本,则分 段的间隔为________.测试要点:系统抽样
[答案] 25

1000 [解析] 由题意得,分段间隔是 40 =25.

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统计与统计案例

核 心 知 识 聚 焦

3. [2015?重庆卷改编] 重庆市 2013 年各月的平均气温(℃) 数据的茎叶图如图所示,则这组数据的中位数是 ________.测试要点:茎叶图及中位数计算

[答案]

20

20+20 [解析] 由茎叶图知,该组数据的中位数为 =20. 2

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第17讲

统计与统计案例

核 心 知 识 聚 焦

4. [2016?江苏卷] 已知一组数据 4.7, 4.8, 5.1, 5.4, 5.5, 则该组数据的方差是________. 测试要点: 样本数据的方 差计算
[答案] 0.1

-0.3-0.2+0.1+0.4+0.5 - [解析] 因为 x =5+ =5.1, 5 1 2 所以 s =5×(0.42+0.32+0.32+0.42)=0.1.

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统计与统计案例

核 心 知 识 聚 焦

5. [2015?山东卷改编] 为比较甲、 乙两地某月 14 时的气 温状况,随机选取该月中的 5 天,将这 5 天中 14 时的气 温数据(单位: ℃)制成如图所示的茎叶图, 则甲地该月 14 时的气温的标准差 ________( 填“大于”或“小于”) 乙 地该月 14 时的气温的标准差.测试要点:茎叶图及标准 差公式

[答案]

大于

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第17讲

统计与统计案例

核 心 知 识 聚 焦

26+28+29+31+31 - [解析] ∵ x 甲= =29, 5 28+29+30+31+32 - x 乙= =30, 5 1 2 2 2 2 ∴s 甲= × [(26 - 29) + (28 - 29) + (29 - 29) + 2 × (31 - 29) ] 5 3 10 = , 5 s 乙= 1 2 2 2 2 2 × [(28 - 30) + (29 - 30) + (30 - 30) + (31 - 30) + (32 - 30) ] 5 = 2, ∴s 甲>s 乙.
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统计与统计案例

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6.[2015·湖北卷改编] 已知变量 x 和 y 满足关系 y= -0.1x+1, 若变量 y 与 z 正相关, 则 x 与 y________相关, x 与 z________相关.测试要点:变量相关性
[答案] 负 负

[解析] 因为变量 x 和 y 满足关系 y=-0.1x+1,其中- 0.1<0,所以 x 与 y 负相关;又因为变量 y 与 z 正相关,不 妨设 z=ky+b(k>0),则将 y=-0.1x+1 代入即可得到 z= k(-0.1x+1)+b=-0.1kx+(k+b),所以-0.1k<0,所以 x 与 z 负相关.

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统计与统计案例

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7.[2016?北京卷改编] 某市居民用水拟实行阶梯水价, 每人月用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元/立方米收 费, 超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费. 从该市随 机调查了 10 000 位居民, 获得了他们某月的用水量数据, 整理得到如图所示的频率分布直方图,如果 w 为整数, 那么根据此次调查,为使 80%以上居民在该月的用水价 格为 4 元/立方米,w 至少定为________.测试要点:频 率分布直方图的认识

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第17讲 统计与统计案例

核 心 知 识 聚 焦

[答案]

3

[解析] 由用水量的频率分布直方图知,该市居民该月用水 量在区间[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3] 内的频率依次为 0.1,0.15,0.2,0.25,0.15, 所以该月用水量不超过 3 立方米的居民占 85%,用水量不 超过 2 立方米的居民占 45%. 依题意,w 至少定为 3.

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第17讲 统计与统计案例
8. [2014· 辽宁卷改编] 某大学餐饮中心为了解新生的饮 食习惯, 在全校一年级学生中进行了抽样调查, 调查结果 如表所示: 根 据 表 中 数 据 , 可 以 认 为 ________( 填 “ 有 ” 或 “ 没 有”)95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品 的饮食习惯方面有差异” . 测试要点: 考查 2×2 列联表及 独立性检验公式

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喜欢甜品 南方学生 北方学生 合计 60 10 70

不喜欢甜品 20 10 30

合计 80 20 100
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第17讲 统计与统计案例
[答案] 有

核 心 知 识 聚 焦

[解析] 将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 2 100 ×( 60 × 10 - 20 × 10 ) 100 2 K = = 21 ≈4.762. 70×30×80×20 由于 4.762>3.841,所以有 95%的把握认为“南方学生和 北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.

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第17讲 统计与统计案例

—— 基础知识必备 ——
简单抽样 随机 抽样 分层抽样 系统抽样 统 计 样本 估计 总体 从总体中逐个抽取且不放回地抽 取样本的方法 将总体分层, 按照比例从各层中独 立抽取样本的方法 将总体均匀分段, 每段抽取一个样 本的方法

等概率抽样

统 计 与 统 计 案 例

频率分布

在样本中某个数据(范围)在总体中 占有的比例称为这个数据(范围)的 频率,常使用频率分布表、频率分 布直方图表示样本数据的频率分 布. 茎叶图也反映样本数据的分布

统计的基本思想是 以样本的分布估计 总体的分布,即以 样本的频率分布估 计总体的频率分 布,以样本的特征 数估计总体的特征 数

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第17讲 统计与统计案例

众数 中位数

统 计 与 统 计 案 例

样本数据中出现次数最多 的数据 从小到大排序后, 中间的数 或者中间两数的平均数 x1, x2, …, xn 的平均数- x=

统 计

样本估 计总体

平均数

1 n(x1+x2+…+xn) 1 n s =n ? (xi-- x )2 i=1
2

样本特征 数

方差

统计的基本思想是 以样本的分布估计 总体的分布,即以样 本的频率分布估计 总体的频率分布,以 样本的特征数估计 总体的特征数

标准差

s?

1 n ? ( xi ? x)2 n i ?1

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第17讲 统计与统计案例

相关关系 统 计 与 统 计 案 例 统 计 案 例 独立 性 检验 回归 分析 最小二乘法

两个变量之间的一种不确定性关系,有正相 关和负相关

使Q ?

?? y
n i ?1

i

? a ? bxi

? 取得最小值时得到回归

2

^x+a ^的方法 直线方程^ y=b

对于值域分别是{x1,x2}和{y1,y2}的分类变量 X 和 Y,列出 其样本频数的列联表,通过计算 K2,判断两个分类变量是否 有关

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第17讲 统计与统计案例
? 考点一 抽样方法

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题型:选择、填空、解答 难度:基础

分值:5 分 热点:分层抽样

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第17讲 统计与统计案例
例 1 (1)某社团有男生 30 名,女生 20 名,从中抽取一个容 量为 5 的样本,恰好抽到 2 名男生和 3 名女生,则 ①该抽样一定不是系统抽样;②该抽样可能是随机抽样; ③该抽样不可能是分层抽样; ④男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率. 其中说法正确的为( ) A.①②③ B.②③ C.③④ D.①④ (2)一个总体中有 100 个个体,随机编号为 0,1,2,…, 99, 依编号顺序平均分成 10 个小组. 现用系统抽样方法抽 取一个容量为 10 的样本, 规定如果在第 1 组随机抽取的号 码为 m, 那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m+k 的个 位数字相同.若 m=6,则在第 7 组中抽取的号码是( ) A.63 B.64 C.65 D.66
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第17讲 统计与统计案例
[答案] (1)B (2)A

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[解析] (1)①该抽样可以是系统抽样.因此①不正确. ②因为总体个数不多,可以对每个个体进行编号,因此该 抽样可能是简单随机抽样,故②正确; ③若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样 的方法进行抽样,且分层抽样的比例相同,但现在某社团 有男生 30 名,女生 20 名,抽取 2 男 3 女,抽的比例不同, 故③正确; ④无论采取哪种抽样方法,每个个体被抽到的概率是相同 的,因此④不正确. 故选 B.
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第17讲 统计与统计案例
(2)由题设知,若 m=6,则在第 7 组中抽取的号码个位数 字与 13 的个位数字相同, 而第 7 组中数字编号顺次为 60, 61,62,63,…,69,故在第 7 组中抽取的号码是 63.也可 以一组组考虑:第 2 组为 18;第 3 组为 29;第 4 组为 30; 第 5 组为 41;第 6 组为 52;第 7 组为 63.
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第17讲 统计与统计案例

[小结] 分层抽样是高考重点考查的一种抽样方法, 其要求 是按某种特征将总体分成若干部分, 再按比例确定每部分 抽取个体的数量.而系统抽样一般适应总体容量较大,样 本容量也较大时,且总体无明显差异时使用.

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第17讲 统计与统计案例
变式题 (1)某学校采用系统抽样方法, 从该校高一年级全 体 800 名学生中抽 50 名学生做视力检查.现将 800 名学 生从 1 到 800 进行编号. 已知从 33~48 这 16 个数中抽到 的数是 39,则在 1~16 中随机抽到的数是( ) A.5 B.7 C.11 D.13 (2)某校共有高中学生 3600 人,为了了解本学期数学学科 的考试成绩,决定采用分层抽样的方法进行抽取,若从高 一、高二、高三年级抽取的人数分别为 a,b,c,且 a,b, c 构成等差数列,则高二年级的学生人数为________.

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第17讲 统计与统计案例

[答案]

(1)B

(2)1200

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[解析] (1)在 1~16 中随机抽到的数是 39-32=7. (2)因为 a,b,c 成等差数列,所以 2b=a+c,即高二年级 1 抽取的学生人数占抽样人数总数的3, 根据分层抽样的性质 1 可知, 高二年级的学生人数占总数的 , 即高二年级有学生 3 1200 人.

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第17讲 统计与统计案例
? 考点二 用样本估计总体

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题型:选择、填空、解答 分值:5~6 分 难度:基础 热点:平均数、方差、直方图
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第17讲 统计与统计案例
例 2[2016· 全国卷Ⅰ] 某公司计划购买 1 台机器, 该种机器 使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件, 在购进机器时, 可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使 用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策 在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理 了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得 下面柱状图:

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第17讲 统计与统计案例
记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数, y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n 表示购机的同时购买的易损零件数. (1)若 n=19,求 y 与 x 的函数解析式; (2)若要求“需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于 0.5,求 n 的最小值; (3)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损 零件, 或每台都购买 20 个易损零件, 分别计算这 100 台机 器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依 据, 购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件?

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第17讲 统计与统计案例
解:(1)当 x≤19 时,y=3800; 当 x>19 时,y=3800+500(x-19)=500x-5700. ? ?3800,x≤19, 所以 y 与 x 的函数解析式为 y=? (x∈N). ? ?500x-5700,x>19 (2)由柱状图知, 需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46, 不大于 19 的频率为 0.7,故 n 的最小值为 19. (3)若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件, 则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3800 元,20 台的费用为 4300 元,10 台的费用为 4800 元,因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 1 ×(3800×70+4300×20+4800×10)=4000(元). 100
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第17讲 统计与统计案例
若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件,则这 100 台机器中有 90 台在购买易损零件上的费用为 4000 元,10 台的费用为 4500 元, 因此这 100 台机器在购买易损零件上 所需费用的平均数为 1 100×(4000×90+4500×10)=4050(元). 比较两个平均数可知, 购买 1 台机器的同时应购买 19 个易 损零件.

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第17讲 统计与统计案例

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[小结] 用样本数字特征估计总体数字特征的方法: (1)用样本估计总体时,样本的平均数、标准差只是总体的 平均数、标准差的近似值; (2)若给出图形,如直方图,可分析样本数据的分布情况, 大致判断平均数的范围,并利用数据的波动性大小反映方 差(标准差)的大小. 频率 注意:频率直方图的纵轴刻度是 ,而不是频率,每个 组距 小直方图的面积才是相应区间的频率.

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第17讲 统计与统计案例
变式题 某机械厂今年进行了五次技能考核,其中甲、乙 两名技术骨干得分的平均分相等,成绩统计情况的茎叶图 如图所示(其中 a 是 0~9 的某个整数). (1)若该厂决定从甲、乙两人中选派一人去参加技能培训, 从成绩稳定性角度考虑,你认为谁去比较合适? (2)若从甲的成绩中任取两次成绩作进一步分析, 在抽取的 两次成绩中,求至少有一次成绩在(90,100]内的概率.

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第17讲 统计与统计案例
解:(1)由题中的茎叶图可得, 1 甲的平均分为 ×(88+89+90+91+92)=90. 5 ∵甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等, 1 ∴乙的平均分为5×(84+88+89+90+a+96)=90, 解得 a=3. 1 2 则 s甲=5×[(88-90)2+(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+ 1 2 2 (92 - 90) ]= 2 , s 乙 = 5 × [(84 - 90)2 + (88 - 90)2+ (89 - 90)2 +(93-90)2+(96-90)2]=17.2. 2 ∵甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等,但 s2 乙>s甲, ∴从成绩稳定性角度考虑,甲去比较合适.
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第17讲 统计与统计案例
(2)若从甲的五次成绩 88,89,90,91,92 中任取两次成 绩作进一步分析,有(88,89),(88,90),(88,91),(88, 92),(89,90),(89,91),(89,92),(90,91),(90,92), (91,92),共 10 种不同抽取方法, 其中至少有一次成绩在(90, 100]内的有(88, 91), (88, 92), (89,91),(89,92),(90,91),(90,92),(91,92),共 7 种不同抽取方法, 7 故至少有一次成绩在(90,100]内的概率 P=10.

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第17讲 统计与统计案例
? 考点三 统计案例

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题型:选择、填空、解答 分值:5~6 分 热点:线性回归方程、散点图、2× 2 列联表

难度:中等

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第17讲 统计与统计案例
例 3 [2016· 全国卷Ⅲ] 如图是我国 2008 年至 2014 年生 活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.

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注:年份代码 1~7 分别对应年份 2008~2014.
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第17讲 统计与统计案例
(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系, 请用相关系数加以说明; (2)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01),预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量. 附注:
yi 参考数据: ? i ?1
7

? 9.32

ti yi ? 40.17 , ? i ?1

7

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?(y
i ?1

7

i

? y ) 2 ? 0.55

, 7≈2.646.

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第17讲 统计与统计案例
解: (1)由折线图中数据和附注中参考数据得 t=4, ? (ti ? t ) ? 28 ,
2 i ?1 7

?(y
i ?1
7 i ?1

7

i

? y ) 2 ? 0.55

? (t
i ?1

7

i

? t )( yi ? y ) ? ? ti yi ? t ? yi
i ?1

7

=40.17-4×9.32=2.89,

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2.89 2.89 r= ≈ ≈0.99. 0.55× 28 0.55×2×2.646 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99,说明 y 与 t 的线性相 关程度相当高, 从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关 系.

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第17讲 统计与统计案例
9.32 - (2)由 y = 7 ≈1.331 及(1)得

?? b

? (t
i ?1

7

i

? t )( yi ? y )

2 ( t ? t ) ? i i ?1

7

2.89 ? ? 0.103, 28

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^=- ^- a y -b t ≈1.331-0.103×4≈0.92. 所以,y 关于 t 的回归方程为^ y=0.92+0.10t. 将 2016 年对应的年份代码 t=9 代入回归方程,得^ y=0.92 +0.10×9=1.82, 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约为 1.82 亿吨.
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第17讲 统计与统计案例

[ 小 结 ] 求 线 性 回 归 方 程 的 步 骤 : (1) 计 算 - x ,- y ,

? x ,? x
i ?1 2 i i ?1

n

n

i

yi

^,b ^;(3)写出回归直 的值;(2)计算回归系数a

^ x+a ^ . 另外要注意回归直线一定过样本点的 线方程^ y =b 中心(- x ,- y ).
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第17讲 统计与统计案例
变式题 为了研究“教学方式”对教学质量的影响,某高 中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学时数学平均 分数和优秀率都相同的甲、 乙两个高一新班进行教学(学生 的勤奋程度和自觉性都一样).图中的茎叶图为甲、乙两班 (每班均为 20 人)学生的数学期末考试成绩.

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第17讲 统计与统计案例
(1)现从甲班数学成绩不低于 80 分的学生中随机抽取两名 学生,求成绩为 87 分的学生至少有一名被抽中的概率; (2)学校规定:成绩不低于 75 分的为优秀.请填写下面的 2 ×2 列联表,并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方 式有关”.

甲班 考 点 考 向 探 究 优秀 不优秀

乙班

合计

合计

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第17讲 统计与统计案例
解:(1)记成绩为 87 分的学生为 A,B,其他不低于 80 分 的学生为 C,D,E,“从甲班数学成绩不低于 80 分的学 生中随机抽取两名学生”的一切可能结果组成的基本事 件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D), (B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共 10 个, “抽到至少有一个 87 分的学生”所组成的基本事件有 (A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B, E),共 7 个, 7 所以所求的概率 P=10.

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第17讲 统计与统计案例
(2) 甲班 优秀 不优秀 合计 6 14 20 乙班 14 6 20 合计 20 20 40

考 考 点 点 考 考 向 向 探 探 究 究

2 40 ×( 6 × 6 - 14 × 14 ) K2 的观测值 K= =6.4>5.024, 20×20×20×20 因此,我们有 97.5%的把握认为“成绩优秀与教学方式有 关”.

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第17讲 统计与统计案例

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 例 1 考查简单随机抽样的随机数表法,是 对常规考分层抽样和系统抽样方法的补充; 例 2 在频率 分布表和频率分布直方图的基础上, 考查通过样本中的 指定量进行判断的问题; 例 3 是一个统计与概率结合的 问题, 综合考查 2×2 列联表、 求 K2 以及古典概型知识.

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第17讲 统计与统计案例
例 1(配例 1 使用) 总体由编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体,选取 方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左 到右依次选取两个数字,则选出来的第 5 个个体的编号为 ( ) 7816 3204 A.08 6572 9234 0802 4935 B.07 6314 8200 0702 3623 4369 4869 9728 6938 0198 7481

C.02

D.01

[解析] D 选出来的 5 个个体编号依次为 08,02,14, 07,01.故选 D.
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第17讲 统计与统计案例
例 2(配例 2 使用) 在一次文、理科 学习倾向的调研中,对高一年段 1000 名学生进行文综、理综各一 次测试(满分均为 300 分).测试后, 随机抽取若干名学生成绩,记理综 成绩为 X,文综成绩为 Y,|X-Y|为 Z,将 Z 值分组统计制成下表,并将 其中女生的 Z 值分布情况制成频 率分布直方图(如图所示).
分组 频数 [0,20) 4 [20,40) 18 [40,60) 42 [60,80) 66 [80,100) 48 [100, 120) 20 [120, 140] 2
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第17讲 统计与统计案例
(1)若已知直方图中[60,80)的频数为 25,试分别估计全体 学生中,Z∈[0,20)的男、女生人数; (2)记 Z 的平均数为- Z ,如果- Z >60 称为整体具有学科学习 倾向, 试估计高一年段女生的- Z 值(同一组中的数据用该组 区间中点值作代表), 并判断高一年段女生是否整体具有显 著学科学习倾向.

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第17讲 统计与统计案例
解:(1)由频率分布直方图可知,女生 Z∈[60,80)的频率为 25 5 5 1600×20=16.所以样本中女生总人数为 25÷ 16=80. 由频率分布直方图可知,女生 Z∈[0,20)的频率为 1 6 10 15 20 25 3 1-1600+1600+1600+1600+1600+1600×20=80, 3 所以女生 Z∈[0,20)的频数为 80×80=3. 结合统计表可知,男生 Z∈[0,20)的频数为 4-3=1. 又因为样本容量为 200,故样本中,男、女生 Z∈[0,20) 1 3 的频率分别为200与200,据频率估计概率、样本估计总体 的统计思想,可知高一年段 1000 名学生中,Z∈[0,20)的 男生约有 5 名,女生约有 15 名.
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第17讲 统计与统计案例
(2)依题意,样本中女生的- Z 值约为 3 10 20 25 15 6 10 × 80 + 30× 80 + 50× 80 + 70× 80 + 90× 80 + 110× 80 + 1 130×80=65.25. 根据样本估计总体的统计思想,全体女生的- Z ≈65.25. 因为 65.25>60,所以高一年段女生整体具有显著学科学习 倾向.

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第17讲 统计与统计案例
例 3(配例 3 使用) 为了调查某中学的学生在周日的上网时 间,随机对 100 名男生和 100 名女生进行了不记名的问卷 调查,得到了如下统计结果: 表 1:男生上网时间与频数分布表
上网时 [30, 40) [40,50) 间(分钟) 人数 5 25 [50,60) 30 [60,70) 25 [70,80] 15

表 2:女生上网时间与频数分布表
上网时间 (分钟) 人数 [30,40) 10 [40,50) 20 [50,60) 40 [60,70) 20 [70,80] 10

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第17讲 统计与统计案例
(1)若该中学共有女生 600 人,试估计其中上网时间不少于 60 分钟的人数; (2)完成表 3 的 2×2 列联表,并回答能否有 90%的把握认 为“学生周日上网时间与性别有关”; (3)从表 3 的男生“上网时间少于 60 分钟”和“上网时间不 少于 60 分钟”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量 为 5 的样本,再从中任取 2 人,求至少有 1 人上网时间不 少于 60 分钟的概率. 表3
上网时间少于60分钟 男生 女生 上网时间不少于60分钟 合计

合计
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第17讲 统计与统计案例
x 解: (1)设上网时间不少于 60 分钟的人数为 x, 依据题意有600 30 =100,解得 x=180, 所以估计上网时间不少于 60 分钟的人数是 180. (2)根据题目所给数据得到如下列联表:
上网时间少于60分钟 上网时间不少于60分钟 合计

男生
女生 合计
? ? ?

60
70 130

40
30 70

100
100 200

?2 ? 60 × 30 - 40 × 70 200× 200 ? 2 K = = 91 ≈2.198<2.706. 100×100×130×70 故不能有 90%的把握认为 “学生周日上网时间与性别有关” .

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第17讲 统计与统计案例
(3)因为男生中上网时间少于 60 分钟与上网时间不少于 60 分钟的人数之比为 3∶2, 所以 5 人中上网时间少于 60 分钟的有 3 人, 记为 A, B, C, 上网时间不少于 60 分钟的有 2 人,记为 D,E, 从 5 人中取 2 人,总的基本事件为(A,B),(A,C),(A, D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E), (D,E),共 10 个,其中“至少有 1 人上网时间不少于 60 7 分钟”包含 7 个基本事件,所以所求概率为10.

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第18讲

概率

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第18讲 概率
核 心 知 识 聚 焦

1.[2016?北京卷改编] 从甲、乙等 5 名学生中随机选 出 2 人,则甲被选中的概率为________.测试要点:古 典概型
[答案] 2 5

C1 2 4 [解析] 甲被选中的概率为C2=5. 5

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第18讲 概率
2.[2015·新课标全国卷Ⅰ改编] 从 1,2,3,4,5 中 任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率 为________.测试要点:古典概型
[答案] 1 10

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[解析] 从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数有(1,2, 3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4, 5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共 10 种取法,其中只有(3,4,5)是一组勾股数,所以构成勾股 1 数的概率为10.
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第18讲 概率
3.[2016·天津卷改编] 甲、乙两人下棋,两人下成和棋的 1 1 概率是2, 甲获胜的概率是3, 则甲不输的概率为________. 测 试要点:互斥事件
[答案] 5 6

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1 1 5 [解析] 甲不输的概率 P=3+2=6.

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第18讲 概率
4.[2016·江苏卷改编] 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面 上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次, 则出现向上的点数之和小于 10 的概率是________. 测试 要点:古典概型
[答案] 5 6

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[解析] 本题为古典概型, 基本事件共有 36 个, 点数之和大 于等于 10 的有(4,6),(5,5),(5,6),(6,6),(6,5),(6, 4),共计 6 个基本事件,故点数之和小于 10 的有 30 个基 5 本事件,所求概率为6.

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第18讲 概率
5. [2016·全国卷Ⅱ改编] 某路口人行横道的信号灯为红 灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为 40 秒.若一名行人 来到该路口遇到红灯,则至少需要等待 15 秒才出现绿灯 的概率为________.测试要点:考查长度型几何概型
[答案] 5 8

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40-15 [解析] 至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 40 = 5 8.

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第18讲 概率
6.[2015·福建卷改编] 如图所示,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上, 点 B 的坐标为(1, 0), 且点 C 与点 D 在函数 f(x) x+1,x≥0, ? ? =? 1 的图像上.若在矩形 ABCD 内随机取一 - x+1,x<0 ? ? 2 点, 则此点取自阴影部分的概率等于________. 测试要点: 考查面积型几何概型

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第18讲 概率

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[答案]

1 4

[解析] 由函数 f(x)可知其图像与 y 轴交于点 E(0,1),又因 为 B(1,0),依次可求得 C(1,2),D(-2,2),A(-2,0), 1 矩形 ABCD 的面积为 3×2=6, 阴影部分的面积为2×3×1 3 2 1 3 =2,故所求概率为6=4.

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第18讲 概率
7.[2015·福建卷改编] 全网传播的融合指数是衡量电视 媒体在中国网民中影响力的综合指标.根据相关报道提供 的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻 台”融合指数的数据,对名列前 20 名的“省级卫视新闻 台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.
组号 1 2 3 4 分组 [4,5) [5,6) [6,7) [7,8] 频数 2 8 7 3

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现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中 随机抽取 2 家进行调研,则至少有 1 家的融合指数在[7, 8]内的概率为 ________.测试要点:结合图表考查随机事 件的概率
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第18讲 概率
[答案] 9 10

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[解析] 融合指数在[7, 8]内的“省级卫视新闻台”记为 A1, A2 , A3 ;融合指数在 [4 , 5) 内的“省级卫视新闻台”记为 B1, B2.从融合指数在[4, 5)和[7, 8]内的“省级卫视新闻台” 中随机抽取 2 家的所有基本事件是: {A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2, B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共 10 个. 其中,至少有 1 家融合指数在[7,8]内的基本事件是:{A1, A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1}, {A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},共 9 个. 9 所以所求的概率 P=10.
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第18讲 概率
8.[2016·全国卷Ⅱ改编] 某险种的基本保费为 a(单位: 元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年 度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数 保费 0 0.85a 1 a 2 1.25a 3 1.5a 4 1.75a ≥5 2a

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随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况, 得到如下统计表:
出险次数 频数 0 60 1 50 2 30 3 30 4 20 ≥5 10

则续保人本年度平均保费的估计值为 ________ . 测试要 点:频率的概念、平均值、样本估计总体

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第18讲 概率
[答案] 1.192 5a

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[解析] 由所给数据得 保费 频率 0.85a 0.30 a 0.25 1.25a 0.15 1.5a 0.15 1.75a 0.10 2a 0.05

调查的 200 名续保人的平均保费为 0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a× 0.10+2a×0.05=1.192 5a. 因此,续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5a.

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第18讲 概率

—— 基础知识必备 ——
如果随机事件 A 在 n 次试验中发生了 m 次,当试验的次数 n 很大时, 定义 m m 我们可以将发生的频率 n 作为事件 A 发生的概率的近似值, 即 P(A)≈ n ①包含关系; ②相等关系; ③和事件; ④积事件 事件 A 和事件 B 在任何一次实验中不 类比集合 关系 会同时发生 事件 A 和事件 B,在任何一次实验中 有且只有一个发生

概 率 事件 关系

基本关系

互斥事件

对立事件

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第18讲 概率
基本 性质 互斥 性质 事件 0≤P(A)≤1,P(?)=0,P(Ω)=1(Ω 为必然事件) 类比 事件 A,B 互斥,则 P(A+B)=P(A)+P(B) 集合 关系

对立 事件 A 与它的对立事件- A 的概率满足 P(A)+P(- A )= 事件 1 概 率 古典 概型 特征 基本事件发生的等可能性和基本事件的个数的有限性

m 计算 P(A)= , m 为事件 A 所包含的基本事 n n 为基本事件的个数, 公式 件个数 特征 计算 公式 基本事件个数的无限性和每个基本事件发生的等可能性 构成事件A的测度 P(A)= 试验全部结果所构成的测度

几何 概型

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第18讲 概率
? 考点一 古典概型

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题型:选择、填空、解答 难度:基础

分值:5-6 分 热点:古典概型

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第18讲 概率
例 1 [2016· 山东卷] 某儿童乐园在“六一”儿童节推 出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示 的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录 指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为 x , y. 奖励规则如下: ①若 xy≤3,则奖励玩具一个; ②若 xy≥8,则奖励水杯一个; ③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀,四个区域划分均 匀.小亮准备参加此项活动. (1)求小亮获得玩具的概率; (2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并 说明理由.
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第18讲 概率
解: 用数对(x, y)表示儿童参加活动时先后记录的数, 则基 本事件空间 Ω 与点集 S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4, 1≤y≤4}一一对应. 因为 S 中元素的个数是 4×4=16, 所以基本事件总数 n=16. (1)记“xy≤3”为事件 A, 则事件 A 包含的基本事件共 5 个, 即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1), 5 5 所以 P(A)=16,即小亮获得玩具的概率为16.

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第18讲 概率
(2)记“xy≥8”为事件 B,“3<xy<8”为事件 C, 则事件 B 包含的基本事件共 6 个,即(2,4),(3,3),(3, 4),(4,2),(4,3),(4,4), 6 3 所以 P(B)= = . 16 8 事件 C 包含的基本事件共 5 个,即(1,4),(2,2),(2,3), (3,2),(4,1), 5 所以 P(C)=16. 3 5 因为 > , 8 16 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.

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第18讲 概率

[小结] 求解古典概型问题的关键:先求出基本事件的总 数,再确定所求目标事件包含的基本事件的个数,结合 古典概型公式求解.一般涉及“至多”“至少”等事件 的概率计算问题时,可以考虑其对立事件的概率,从而 简化运算.
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第18讲 概率
变式题 春节期间,某微信群主发 60 个随机红包(即每个人 抢到的红包中的钱数是随机的,且每人只能抢一个 ),红包 被一抢而空,据统计,60 个红包中钱数(单位:元)分配如频 率分布直方图所示(其分组区间为[0,1),[1,2),[2,3),[3, 4),[4,5]). (1) 试估计该群中某成员抢到钱数 不小于 3 元的概率; (2)若该群中成员甲、 乙两人都抢到 4.5 元红包,现系统将从抢到 4 元 及以上红包的人中随机抽取 2 人给 群中每个人拜年,求甲、乙两人至 少有一人被选中的概率.

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第18讲 概率
解:(1)根据频率分布直方图,该群中抢到红包的钱数不小 于 3 元的频率是 1-0.05-0.20-0.40=0.35, ∴估计该群中某成员抢到钱数不小于 3 元的概率是 0.35. (2)该群中抢到钱数不小于 4 元的频率为 0.10,对应的人数 是 60×0.10=6,这 6 人记为 1,2,3,4,甲,乙, 现从这 6 人中随机抽取 2 人,基本事件是(1,2),(1,3), (1,4),(1,甲),(1,乙),(2,3),(2,4),(2,甲),(2, 乙),(3,4),(3,甲),(3,乙),(4,甲),(4,乙),(甲,乙), 共 15 个; 其中甲、乙两人至少有一人被选中的基本事件为 (1,甲),(1,乙),(2,甲),(2,乙),(3,甲),(3,乙),(4, 甲),(4,乙),(甲,乙),共 9 个. 9 3 ∴所求概率为 P=15=5.
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第18讲 概率
? 考点二 几何概型

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题型:选择、填空 难度:中等

分值:5 分 热点:面积型几何概型
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第18讲 概率
例 2
? ?0≤x≤2, (1)设不等式组? 表示的平面区域为 ? 0 ≤ y ≤ 2 ?

D,在

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区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是( ) π π-2 A. B. 4 2 π 4-π C. 6 D. 4 (2)设函数 f(x)=x2-2x+m,m∈R.若在区间[-2,4]上随 2 机取一个数 x,f(x)<0 的概率为3,则 m 的值为( ) A.2 B.-2 C.3 D.-3
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第18讲 概率
[答案] (1)D (2)D

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[解析] (1)不等式组对应的区域 D 为如图所示的边长为 2 的正方形,其面积为 S1=4, 满足点到原点的距离大于 2 所表示的平面区域是以原点 为圆心,以 2 为半径的圆的外部(阴影部分),其面积为 π×22 S2=4- =4-π, 4 ∴在区域 D 内随机取一个点,则此 点到坐标原点的距离大于 2 的概率 4-π P= 4 .

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第18讲 概率
(2)在区间[-2, 4]上随机取一个数 x, 试验全部结果构成的 2 长度为 6,由 f(x)<0 的概率为3,得 f(x)<0 构成的区间长度 为 4,由 f(x)=x2-2x+m<0,得 1- 1-m<x<1+ 1-m, ∴2 1-m=4,得 m=-3.

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第18讲 概率

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[小结] 高考试题中几何概型主要考查线段型和面积 型.求解几何概型概率的关键是计算线段的长度、平面 图形的面积等,然后根据全部的基本事件的测度(长度、 面积)和所求的随机事件的测度(长度、面积)之间的关系, 根据几何概型的公式进行计算.

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第18讲 概率

变式题 已知 O,A,B 三地在同一水平面内,A 地在 O 地正东方向 2 km 处,B 地在 O 地正北方向 2 km 处,某测 绘队员在 A, B 之间的直线公路上任选一点 C 作为测绘点, 用测绘仪进行测绘,O 地为一磁场,距离其不超过 3 km 的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰,使测量结果不 准确,则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( ) 2 2 A.1- 2 B. 2 3 1 C.1- 2 D.2

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第18讲 概率
[答案] A

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[解析] 由题意,△AOB 是直角三角形,OA=OB=2,所以 1 AB=2 2,O 地为一磁场,距离其不超过 3 km 的范围为4 个圆,与 AB 相交于 C,D 两点,作 OE⊥AB,则 OE= 2, 所以 CD=2,所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是 2 2 1- =1- 2 . 2 2

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第18讲 概率
? 考点三 统计与概率的综合问题

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题型:解答 难度:中等

分值:6 分 热点:统计与概率

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第18讲 概率
例 3 某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化,举办了一 场由在校学生参加的厨艺大赛.组委会为了了解本次大赛参 赛学生的成绩情况,从参赛学生中抽取了 n 名学生的成绩(满 分 100 分)作为样本,将所得数据经过分析整理后画出了频率 分布直方图和茎叶图(如图所示), 其中茎叶图受到了污损, 请 据此解答下列问题:

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第18讲 概率

(1)求样本容量 n 和频率分布直方图中 a 的值; (2)规定大赛成绩在[80,90)的学生为厨霸,在[90,100]的学 生为厨神,现从被称为厨霸、厨神的学生中随机抽取 2 人去 参加校际之间举办的厨艺大赛,求所抽取的 2 人中至少有 1 人是厨神的概率.

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第18讲 概率
5 解:(1)由题意可知,样本容量 n= =40, 0.012 5×10 3 所以 a= =0.007 5. 40×10 (2)由题意可知,厨霸有 0.015 0×10×40=6(人),分别记 为 a1, a2, a3, a4, a5 , a6, 厨神有 0.007 5×10×40=3(人), 分别记为 b1,b2,b3,共 9 人. 从中任意抽取 2 人共有 36 种情况: (a1, a2), (a1, a3), ( a1 , a4),(a1,a5),(a1,a6),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2, a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,a6),(a2,b1),(a2,b2),(a2, b3),(a3,a4),(a3,a5),(a3,a6),(a3,b1),(a3,b2),(a3, b3),(a4,a5),(a4,a6),(a4,b1),(a4,b2),(a4,b3),(a5, a6),(a5,b1),(a5,b2),(a5,b3),(a6,b1),(a6,b2),(a6, b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3).
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第18讲 概率
其中至少有 1 人是厨神的情况有 21 种, 21 7 所以至少有 1 人是厨神的概率为36=12.

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第18讲 概率

[小结] 统计与概率的综合问题一般是以抽样方法、频 率分布直方图或茎叶图为前提,设计实际背景,再引出 古典概型或转化成统计案例.

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第18讲 概率
变式题 某出租车公司为了响应国家节能减排的号召,已 陆续购买了 140 辆纯电动汽车作为运营车辆.目前我国主 流纯电动汽车按续航里程数 R(单位:公里)分为 3 类,即 A 类:30≤R<150,B 类:150≤R<250,C 类:R≥250.该 公司对这 140 辆车的行驶总里程进行统计,结果如下表:
类型 A类 10 20 B类 40 20 C类 30 20

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已行驶总里程不超过 10 万公里的车辆数 已行驶总里程超过 10 万公里的车辆数

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第18讲 概率
(1)从这 140 辆汽车中任取 1 辆, 求该车行驶总里程超过 10 万公里的概率. (2)公司为了了解这些车的工作状况, 决定抽取 14 辆车进行 车况分析,按表中描述的六种情况进行分层抽样,设从 C 类车中抽取了 n 辆车. ①求 n 的值; ②如果从这 n 辆车中随机选取 2 辆车,求恰有一辆车行驶 总里程超过 10 万公里的概率.

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第18讲 概率
解: (1)从这 140 辆汽车中任取 1 辆, 则该车行驶总里程超过 20+20+20 3 10 万公里的概率 P1= =7. 140 30+20 (2)①依题意 n= 140 ×14=5. ②5 辆车中已行驶总里程不超过 10 万公里的车有 3 辆,记 为 a,b,c;5 辆车中已行驶总里程超过 10 万公里的车有 2 辆,记为 m,n. “从 5 辆车中随机选取 2 辆车”的所有选法共 10 种:ab, ac,am,an,bc,bm,bn,cm,cn,mn. “从 5 辆车中随机选取 2 辆车,恰有一辆车行驶里程超过 10 万公里”的选法共 6 种:am,an,bm,bn,cm,cn. 6 3 则恰有一辆车行驶总里程超过 10 万公里的概率 P2=10=5.
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第18讲 概率
高考易失分题 15
多图、表格背景下的概率问题

范例 [2015· 全国卷Ⅱ] 某公司为了解用户对其产品 的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 40 个用户,根 据用户对产品的满意度评分,得到 A 地区用户满意度评分 的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布 表.
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第18讲 概率
B 地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评 分分组 频数 [50,60) 2 [60,70) 8 [70,80) 14 [80,90) 10 [90,100] 6

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(1)作出 B 地区用户满意 度评分的频率分布直方 图,并通过直方图比较 两地区满意度评分的 平均值及分散程度(不要 求计算出具体值,给出 结论即可).
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第18讲 概率
(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级:
满意度评分
满意度等级

低于70分
不满意

70分到89分
满意

不低于90分
非常满意

考 点 考 向 探 究

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明 理由.

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第18讲 概率
解:(1)B 地区用户满意度评分的频率分布直方图如图.通 过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出, B 地区用户满意度评分的平均值高于 A 地区用户满意度评 分的平均值;B 地区用户满意度评分比较集中,而 A 地区 用户满意度评分比较分散.

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第18讲 概率
(2)A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 记 CA 表示事件: “A 地区用户的满意度等级为不满意”; CB 表示事件:“B 地区用户的满意度等级为不满意”. 由直方图得 P(CA) 的估计值为 (0.01 + 0.02 + 0.03)×10 = 0.6, P(CB)的估计值为(0.005+0.02)×10=0.25. 所以 A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大.

考 考 点 点 考 考 向 向 探 探 究 究

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第18讲 概率

考 考 点 点 考 考 向 向 探 探 究 究

失分分析 (1) 概率与统计的综合问题文字一般较长,图 表一般较多,不认真审题就匆忙做题致错; (2)频率分布 直方图的纵轴刻度意义理解不清; (3) 部分表格实际意义 理解不到位.

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第18讲 概率

高考预测 某中学有高一新生 500 名, 分成水平相当的 A, B 两类进行教学实验.为了对比教学效果,现用分层抽样 的方法从 A,B 两类学生中分别抽取 40 人、60 人进行测 试. (1)求该学校高一新生 A,B 两类学生各多少人? (2)经过测试,得到以下三个数据图表:

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75 分以上 A,B 两类学生参加测试成绩的茎叶图

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第18讲 概率
100 名学生测试成绩的频率分布表
组号
1 2 3

分组
[55,60) [60,65) [65,70) [70,75) [75,80)

频数
5 20

频率
0.05 0.20

考 点 考 向 探 究

4 5

35

0.35

6
合计

[80,85)
100 1.00

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第18讲 概率
100 名学生测试成绩的频率分布直方图

考 点 考 向 探 究

①先填写频率分布表中的六个空格,然后将频率分布直方 图(图 188)补充完整; ②该学校拟定从参加考试的 79 分以上(含 79 分)的 B 类学 生中随机抽取 2 人代表学校参加市交流活动,求抽到的 2 人的分数均在 80 分以上的概率.
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第18讲 概率
解:(1)A 类学生有 500× =300(人). (2)①
组号 分组 频数 频率

40 =200(人);B 类学生有 500-200 100

1
2

[55,60)
[60,65) [65,70) [70,75)

5
20 25 35

0.05
0.20 0.25 0.35

考 点 考 向 探 究

3 4

5
6

[75,80)
[80,85] 合计

10
5 100

0.10
0.05 1.00

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第18讲 概率
②79 分以上(含 79 分)的 B 类学生共 4 人,记 80 分以上的 3 人分别是 1,2,3,79 分的学生为 a. 从中抽取 2 人,有 12,13,1a,23,2a,3a,共 6 种抽法; 抽到的 2 人的分数均在 80 分以上的有 12,13,23,共 3 种抽法. 3 1 则抽到的 2 人的分数均在 80 分以上的概率为6=2.

考 点 考 向 探 究
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第18讲 概率

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 例 1 是一道古典概型问题; 例 2 是以向量为载 体,考查几何概型知识;例 3 是一道综合统计与概率的问 题;例 4 是一道抽样方法与古典概型结合的综合题.

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第18讲 概率
例 1(配例 1 使用) 从 2,3,8,9 中任取两个不同的数 字,分别记为 a,b,则 logab 为整数的概率是________.
[答案] 1 6

[解析] 由题意可知,(a,b)可能的情况有(2,3),(2,8), (2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8, 9),(9,2),(9,3),(9,8),共 12 种,其中只有(2,8), 2 1 (3,9)满足题意,故所求概率为12=6.

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第18讲 概率
3 例 2(配例 2 使用) 已知 O(0, 0), A(2, 1), B(1, -2), C(5, 1 → ·OA → ≤2 且 0≤OP → ·OB →≤ - ),动点 P(a,b)满足 0≤OP 5 1 2,则点 P 到点 C 的距离大于 的概率为________. 4 5 [答案] 1- π 64 3 1 [解析] ∵O(0,0),A(2,1),B(1,-2),C(5,-5),P(a, → ·OA → =2a+b,且OP → ·OB → =a-2b. b),∴OP
→ ·OA → ≤2 且 0≤OP → ·OB → ≤2, ∵0≤OP ∴0≤2a+b≤2 且 0≤a-2b≤2,
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第18讲 概率
? ?0≤2a+b≤2, 作出不等式组? 对应的平 ? ?0≤a-2b≤2

面区域如图所示. 1 ∵点 P 到点 C 的距离大于4, 1 ∴|CP|>4,则对应的部分为阴影部分, 4 ? ? ?a=5, ?a-2b=0, 由? 解得? ? ?2a+b=2 ?b=2, 5 ? ?4 2? 4 2 2 2 4 ? ? 即 E 5,5 ,|OE|= (5) +(5) = , 5 ? ?
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第18讲 概率
4 1 2 4 π ∴阴影部分的面积为5-π×(4) =5-16, 4 π - 5 16 ∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为 = 4 5 5π 1- . 64

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第18讲 概率

例 3(配例 3 使用) 2015 年 8 月 12 日晚 11:20 左右,天津 港国际物流中心区域内瑞海公司所属危险品仓库发生爆 炸,并造成了重大伤亡,且对周边居民小区造成程度不同 的损毁,某民调组织对“政府的应急处理是否得当和满 意”进行了一次调查, 所有参与调查的人中, 持 “很满意” “比较满意”和“一般”态度的人数如下表所示:
态度 30岁以上(含30岁) 很满意 800 比较满意 450 一般 300

30岁以下

100

150

200

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第18讲 概率

(1)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n 人, 已知从“很满意”态度的人中抽取了 45 人,求 n 的值; (2)在持“一般”态度的人中, 用分层抽样的方法抽取 5 人, 从这 5 人中任意取 2 人,求至少有 1 人在 30 岁以下的概 率.

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第18讲 概率
800+100 800+450+300+100+150+200 解 :(1)由题知 = . n 45 解得 n=100. 200 m (2)设所选取的人中,有 m 人在 30 岁以下,则 = , 200+300 5 解得 m=2, 所以 30 岁以下抽取了 2 人, 另一部分抽取了 3 人, 分别记作 A1,A2,B1,B2,B3. 则从中任取 2 人的所有基本事件为(A1,A2),(A1,B1),(A1, B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1, B3),(B2,B3),共 10 个. 其中至少有 1 人在 30 岁以下的基本事件有 7 个:(A1,A2), (A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3). 7 ∴从中任意抽取 2 人,至少有 1 人在 30 岁以下的概率为10.
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第18讲 概率
例 4(配例 1 使用) [2015· 天津卷] 设甲、乙、丙三个乒乓 球协会的运动员人数分别为 27,9,18.现采用分层抽样的 方法从这三个协会中抽取 6 名运动员组队参加比赛. (1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数. (2)将抽取的 6 名运动员进行编号, 编号分别为 A1, A2, A3, A4,A5,A6,现从这 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打 比赛. (i)用所给编号列出所有可能的结果; (ii)设 A 为事件“编号为 A5 和 A6 的两名运动员中至少有 1 人被抽到”,求事件 A 发生的概率.

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第18讲 概率
解 :(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别 为 3,1,2. (2)(i)从 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛的所有可 能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1, A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4}, {A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共 15 种. (ii)编号为 A5 和 A6 的两名运动员中至少有 1 人被抽到的所 有可能结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6}, {A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共 9 种. 9 3 因此,事件 A 发生的概率 P(A)=15=5.
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