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2015年全国新课标2卷高考文科数学及答案


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)

数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 2?, B ? ?x | 0 ? x ? 3? ,则 A ? B ? ( A.(-1,3) 2.若 a 为实数,且 A.-4 B.(-1,0) C.(0,2) ) D.4 D.(2,3) )

2 ? ai ? 3 ? i ,则 a ? ( 1? i

B.-3

C.3

3.根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形 图,以下结论中不正确的是( )

A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4.向量 a ? ?1,?1? , b ? ?? 1,2? ,则 ?2a ? b ? ? a ? ( A.-1 B.0 C.1 D.2
-1-

)

5.设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? a3 ? a5 ? 3 ,则 S 5 ? ( A.5 B.7 C.9 6. D.11

)

第 6 题图 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体 积与剩余部分体积的比值为( ) 1 8 1 7 1 6 1 5

A.

B.

C.

D.

7.已知三点 A?1, 0? B 0,3 , C 2,3 ,则 ?ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 ( 5 A. 3 21 3 2 5 3 4 3 8. )

?

?

?

?

B.

C.

D.

第 8 题图 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损 术”.执行该程序框图,若输入的 a,b 分别为 14,18,则输出的 a ? ( ) A.0 B.2 C.4 D.14
-2-

9.已知等比数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 2

1 , a 3 a5 ? 4?a4 ? 1? ,则 a 2 ? ( 4

)

A.2

B.1

C.

D.

1 8

10.已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点.若三 棱锥 O?ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( ) A.36π B.64π C.144π 11. D.256π

如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点.点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记∠BOP=x,将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x),则 y=f(x)的图象大致为( )

12.设函数 f ? x ? ? ln?1 ? x ? ?

1 ,则使得 f ?x? ? f ?2x ? 1? 成立的 x 的取值范围 1? x2 是( )

?1 ? A.? ,1? ?3 ? ? 1 1? C.?- , ? ? 3 3?

1? ? B. ? - ?, ? ? ?1, ? ?? 3? ? 1? ?1 ? ? D. ? - ?, - ??? , ? ?? 3? ? 3 ? ?

第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13.已知函数 f ?x ? ? ax3 ? 2 x 的图象过点 ?- 1,4? ,则 a ? ________.
-3-

?x+y-5≤0, 14.若 x,y 满足约束条件?2x-y-1≥0, ?x-2y+1≤0,
________.

则 z ? 2 x ? y 的最大值为

1 15.已知双曲线过点 4,3 ,且渐近线方程为 y ? ? x ,则该双曲线的标准方程 2 为________.

?

?

16.已知曲线 y ? x ? ln x 在点 ?1,1? 处的切线与曲线 y ? ax2 ? ?a ? 2?x ? 1相切,则

a ? ________.
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) ?ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分 ?BAC ,BD ? 2 DC (1)求
sin B sin C

(2)若 ?BAC ? 60? ,求 ? B

18.(本小题满分 12 分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分 别随机调查了 40 个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到 A 地区用户满意 度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表.
-4-

图①

B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分 分组 频数 [50,60) 2 [60,70) 8 [70,80) 14 [80,90) 10 [90,100] 6

2015· 新课标Ⅱ卷 第 4 页(1)在图②中作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直 方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出 具体值,给出结论即可).

图②

-5-

(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意 非常满意

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由.

19.

(本小题满分 12 分)如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 16 ,
BC ? 10 , AA1 ? 8 ,点 E , F 分别在 A1 B1 , D1C1 上, A1 E ? D1 F ? 4 .过点 E , F 的

平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);

(2)求平面 ? 把该长方体分成的两部分体积的比值.

-6-

20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y2 2 ? 2 ? 1 ?a. ? b ? 0? 的离心率为 ,点 2 2 a b

?2,2 ?在 C 上.
(1)求 C 的方程; (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, l 与 C 有两个交点 A , B ,线段 AB 的 中点为 M .证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ?x ? ? ln x ? a?1 ? x ? . (1)讨论 f ?x ? 的单调性; (2)当 f ?x ? 有最大值,且最大值大于 2a ? 2 时,求 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分. 作答时请 写清题号.
22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 O 是等腰三角形 ABC 内一点, ⊙O 与△ABC 的
-7-

A G E O B M D N C F

底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点. (I)证明 EF ∥ BC . (II)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四边形 EDCF 的面积

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? , (t 为参数,且 t ? 0 ),其中 0 ? ? ? ? ,在以 O ? y ? t sin ? ,

为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? , C3 : ? ? 2 3 cos? . (I)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (II)若 C1 与 C2 相交于点 A, C1 与 C3 相交于点 B,求 AB 最大值

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d.证明: (1)若 ab>cd,则 a+ b> c+ d;

-8-

(2) a+ b> c+ d是|a-b|<|c-d|的充要条件. 2015·新课标Ⅱ卷 第8页

-9-

1、选 A 2、故选 D 3、选 D 4、选 B 5、解:在等差数列中,因为

a1 ? a3 ? a5 ? 3, 所以a3 ? 1, S 5 ?

(a1 ? a5 ) ? 5 ? 5a3 ? 5, 故选A. 2

6、解:如图所示,选 D.

7、选 B. 8、故选 B. 9、解:因为 ?a n ?满足 a1 ?
2

1 , a3 a5 ? 4(a 4 ? 1), 所以, 4 1 1 ? 2 ? . 故选 C. 4 2

a 4 ? 4(a 4 ? 1), 解得 a 4 ? 2, 又a 4 ? a1 q 3,所以 q ? 2, 所以 a 2 ? a1 q ?

10、解:因为 A,B 都在球面上,又 ?AOB ? 90?, C为该球面上动点, 所以 三棱锥的体积的最大值为 ?

1 1 2 1 R ? R ? R 3 ? 36 ,所以 R=6,所以球的表面积为 3 2 6

π R ? 144 π ,故选 C. S= 4
2

D
11、解:如图,当点 P 在 BC 上时,

P x

C

? ?BOP ? x, PB ? tan x, PA ? 4 ? tan2 x , ? PA ? PB ? tan x ? 4 ? tan2 x ,
当x ?

A

O

B

?
4

时取得最大值 1 ? 5 ,

以 A,B 为焦点 C,D 为椭圆上两定点作椭圆, 显然, 当点 P 在 C,D 之间移动时 PA+PB< 1 ? 5 . 又函数 f ( x) 不是一次函数,故选 B.
- 10 -

1 , 是偶函数, x ? [0,?? )时函数是增函数 1? x2 1 ? f ( x) ? f (2 x ? 1) ? x ? 2 x ? 1 ,? x 2 ? (2 x ? 1) 2 , 解得 ? x ? 1. 故选 A. 3
12、解:因为函数 f ( x) ? ln(1 ? x ) ? 第二卷 一、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分 13、答:a=-2 14、解:当 x=3,y=2 时,z=2x+y 取得最大值 8. 15、解:设双曲线的方程为 x 2 ? 4 y 2 ? k (k ? 0),点( 4,,3)代入方程,解得 k ? 4.

x2 ? 双曲线的标准方程为 ? y 2 ? 1 4
16、解: y ' ? 1 ?

1 ,? 切线的斜率为 2,切线方程为 y ? 2 x ? 1. x

将y ? 2 x ? 1与y ? ax2 ? (a ? 2) x ? 1联立得ax2 ? ax ? 2 ? 0, 由? ? a 2 ? 8a ? 0, 解得a ? 8或a ? 0.a ? 0时曲线为y ? 2 x ? 1与切线平行,不符。 所以a ? 8.
二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分)

sin ?B AC ? , sin ?C AB AC DC 1 sin ?B 1 ? ? , ? ? . 再由三角形内角平分线定理得 AB BD 2 sin ?C 2
17、解: (Ⅰ)由正弦定理得 (Ⅱ)? ?BAC ? 60?,? ?B ? ?C ? 120?

由( 1 )得

sin ?B 1 ? . ? sin ?C ? 2 sin ?B,? sin(120? ? ?B) ? 2 sin B, 展开得 sin ?C 2 3 tan?B ? ,? ?B ? 30?. 3

18、解: (1)B 地区频率分布直方图如图所示

- 11 -

频率 组距 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005

B 地区用户满意度评分的频率分布直方图

O

50

60

70

80

90 100 满意度评分

比较 A,B 两个地区的用户,由频率分布直方图可知: A 地区评分均值为 45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=67.5 分 B 地区评分均值为 55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=76.5 分 A 地区用户评价意见较分散,B 地区用户评价意见相对集中。 (2)A 地区的用户不满意的概率为 0.3+0.2+0.1=0.6, B 地区的用户不满意的概率为 0.05+0.20=0.25, 所以 A 地区的用户满意度等级为不满意的概率大。 19、解: (I)在 AB 上取点 M,在 DC 上取点 N,使得 AM=DN=10,然后连接 EM,MN,NF,即组成正方形 EMNF, 即平面α 。 (II)两部分几何体都是高为 10 的四棱柱,所以体积之比 等于底面积之比,即

D1 A1 E D A

F

C1 B1 C B

V1 S AMEA1 4 ? 10 7 ? ? ? . V2 S EMBB1 6 ? 12 9

c 2 20、解、(I)如图所示,由题设得 ? , a 2
4 2 又点的坐标满足椭圆的方程,所以 2 ? 2 ? 1 , a b
联立解得:

Y B M O A X C(2, 2 )

x2 y2 a 2 ? 8, b 2 ? 4, 所以切线C的方程为: ? ? 1. 8 4
(II)设 A,B 两点的坐标为

(x1 , y1),( x 2 , y 2) , 点M的坐标为( m, n) , k om ?

n . m

则x1 ? 2 y1 ? 8, x2 ? 2 y2 ? 8,
上面两个式子相减得:

2

2

2

2

2( y 2 ? y1 ) ? ( x2 ? x1 ) ? 0.变形得

2

2

2

2

y 2 ? y1 1 x1 ? x2 1 2m m ?? ?? ? ?? ? . x2 ? x1 2 y1 ? y 2 2 2n 2n
- 12 -

? k l ? k om ?

y 2 ? y1 n m n 1 ? ? (? ) ? ? ? . (定值) x2 ? x1 m 2n m 2

21、解:已知 f ? x ? ? ln x ? a ?1 ? x ? .

1 ? a. x 当a ? 0时,函数f ( x)在(0, ? ?)上是增函数; (1) ? f ' ( x) ? 1 1 当a ? 0时,函数f ( x)在(0, )上是增函数,在 ( ,??)上是减函数 . a a
(II)由(1)知,当 a ? 0时,函数 f ( x)在x ?

1 1 时取得最大值 f ( ) ? a ? 1 ? ln a. a a

由a ? 1 ? ln a ? 2a ? 2, 整理得ln a ? a ? 1 ? 0.
1 设g ( x) ? ln x ? x ? 1, 则g ( ' x) ? 1 ? ,? a ? 0 ? x ? 0,? g ' ( x) ? 0, g ( x)在(0, ? ?)是增 x 函数。又g (1) ? 0, 上述不等式即 g (a) ? g (1),? 0 ? a ? 1,即a ? (0,1 ) .

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题 号 22、(I)证明:由切线的性质得 AE=AF,所以△AEF 是等 腰三角形,又 AB=AC, 所以

A G E O B M D N C F

AE AF ? ,? ?AEF ? ?ABC ,? EF ∥ BC . AB AC

(II)解:

连接OE, 则OE ? AE,? AG ? OE ? OG ? R,

?OA ? 2R,? 4R 2 ? R 2 ? (2 3) 2, ? R ? 2, ?OM ? 2
? MD ?

1 AD 10 MN ? 3,? OD ? 1? AD ? 2 R ? 1 ? 5,? AB ? ? . 2 cos30? 3 ? OE ? AB,? ?BAD ? 30?,?BAC ? 60? ? ?ABC, ?AEF都是等边三角形 .
? S四边形 EBCF
2 1 ? 10 ? 1 16 3 ? ?? ? ? sin 60 ? ? ? 2 3 ? sin 60? ? . ? ? 2 ? 3? 2 3 2

? ?

- 13 -

23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? , (t 为参数,且 t ? 0 ),其中 0 ? ? ? ? , ? y ? t sin ? ,

在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? , C3 : ? ? 2 3 cos? . (I)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (II)若 C1 与 C2 相交于点 A, C1 与 C3 相交于点 B,求 AB 最大值. 解:(I)曲线 C2 : ? ? 2sin ? , C3 : ? ? 2 3 cos? . 的直角坐标方程是

C1 : x 2 ? y 2 ? y ? 0; C2 : x 2 ? y 2 ? 2 3x ? 0.
? ? 3 ? ? x ? 0 , 3 3 ? ?x ? 2 , 联立解得? ? C1 , C 2 交点的直角坐标为( 0,0) 、( , ) . ? 2 2 ? y ? 0. ? y ? 3 . ? ? 2 ? ?
(II)曲线 C1的极坐标方程为 ? ? ?(? ? R,? ? 0, 0 ? ? ? ?) .

因此点A的极坐标为( 2 sin ? , ?) , 点B的极坐标为( 2 3 cos? , ?) , 所以 AB ? 2 sin ? ? 2 3 cos? ? 4 sin(? ? ) . 3 5? ?当? ? 时, AB 取得最大值,最大值为 4. 6

?

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式证明选讲 设 a, b, c, d 均为正数,且 a ? b ? c ? d .证明: (I)若 ab ? cd ,则 a ? b ? c ? d ; (II) a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件.
2 ( a ? b) ? a ? b ? 2 ab , 24、证明:(I)因为

?

c? d

?

2

? c ? d ? 2 cd ,

由题设知 a ? b ? c ? d , ab ? cd.? a ? b ? c ? d . (II)(必要性)

若 a ? b ? c ? d , 则(a ? b) 2 ? (c ? d ) 2 , 变形得(a ? b) 2 ? 4ab ? (c ? d ) 2 ? 4cd.
- 14 -

? a ? b ? c ? d ,? ab ? cd,由( 1 )得 a ? b ? c ? d .
(充分性)若 a ? b ?

c ? d ,则 a ? b

?

? ??
2

c? d

?

2

? a ? b ? 2 ab ? c ? d ? 2 cd ,? a ? b ? c ? d ,? ab ? cd.

?a ? b?2 ? ?a ? b?2 ? 4ab ? ?c ? d ?2 ? 4ab ? ?c ? d ?2 ? 4cd ? ?c ? d ?2 .
? a ?b ? c?d.

所以,a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 成立的充要条件。

- 15 -


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